Neste trabalho, calculam-se o calor específico e a entropia do Modelo de Anderson simétrico de uma impureza usando o Grupo de Renormalização Numérico (GRN). O método é baseado na discretização logarítmica da banda de condução do metal hospedeiro a qual a impureza está acoplada. Porém, esta discretização introduz oscilações nas propriedades termodinâmicas. Esta inconveniência, inerente ao método, é contornável para a suscetibilidade magnética, mas é crítica para o calor específico, restringindo o alcance do GRN. Para sobrepor essa dificuldade, é usado o novo procedimento denominado intercalado que foi desenvolvido para o cálculo da suscetibilidade magnética de modelos de duas impurezas. Para reduzir as matrizes e o tempo computacional, é usado, também, o operador carga axial, recentemente definido no contexto do Modelo de Kondo de duas impurezas, e que é conservado pelo Hamiltoniano de Anderson simétrico. As curvas obtidas são comparadas com resultados exatos obtidos por ansatz de Bethe e pelo Modelo de Nível Ressonante. / The specific heat and the entropy of the one-impurity symmetric Anderson Model are calculated using the Numerical Renormalization Group (NRG). The heart of the method is the logarithmic discretization of the metal conduction band where the impurity is coupled. However, this discretization, inherent in the method, introduces oscillations in the thermodynamical properties. For the susceptibility it is not so critical but for the specific heat the usual calculation is prohibitive. To overcome this difficulty, we use the new procedure called interleaved that was developed to calculate the susceptibility of two-impurity models. In order to reduce the matrices and computation time, use is made of the axial charge operator recently defined in the two-impurity Kondo Model context and that is conserved by the symmetric Anderson Hamiltonian. The curves obtained are compared with exacts results of Bethe ansatz and Resonant Level Model.

Made available in DSpace on 2015-04-22T22:07:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 WEENDEL_TRINDADE_PEREIRA.pdf: 828783 bytes, checksum: 994f37fcb693c6f17f9c55c21c004214 (MD5) Previous issue date: 2006-09-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this dissertation there was calculated the photoemission current of an impurity with fluctuation of valence in a host metal using both the Anderson model of resonant level (U = 0) with screening G and the numerical renormalization group method. The Anderson model is composed by the conduction band, representing the host metal, by the bound energy εf of the orbital of the valence fluctuation impurity, by the Coulomb interaction G (the screening) between the electrons of this orbital and the conduction electrons and by the hybridization of that orbital with the conduction band, in our calculation the Coulomb interaction of the electrons was disregarded inside the orbital. For Γ = 0 and G = 0 the orbital can have the next configurations: orbital empty nf = 0 with energy 0, orbital singly occupied nf = 1 with energy εf (spin up or down) or orbital doubly occupied nf = 2 with energy 2εf . It were considered also what |εf| À Γ in such a way that it is possible to use the approximation nf ≈ < nf >, where < nf > it is a mean occupation number of the orbital of the impurity. For G = 0 the photoemission current σ (ε) presents a peak around ε0 ≈ |εf || and width of the order of Γ, when G 6= 0 increases that there takes place a reduction of the width of the peak and an increase of the height of the same. The increase of G also does so that the position of the peak takes place in ε0 > |εf |, until the value limits G ≈ D/π < nf >, where D the width of the conduction band from the host metal, for which ε0 = εmax ≈ |εf − Γ/2|. In such a way that for G ≈ D/π < nf > the peak in σ (ε) it starts to take place in ε0 < |εf − Γ/2|. In the limit G → ∞ the current σ (ε) is a Dirac s delta (line) centered in ε = |εf |. Since σ (ε) it must obey to Friedel sum rule. one has then a very well-located orbital. The reduction of the width of the peak with the increase of G is a competitive effect between G and Γ, so that for G À Γ the orbital is completely uncoupled the conduction band. So, in the ground state, the orbital is doubly occupied if εf < 0 and empty εf > 0. Taking into account the potential G 6= 0 between the f-electrons and conduction electrons, the current of photoemission σ (ε) is mapped onto the photoemission current of the model with G = 0, and the renormalized parameters εfG and ΓG. / Nesta dissertação calculou-se analíticamente a corrente de fotoemissão de uma impureza com flutuação de valência num metal hospedeiro utilizando o modelo de Anderson do nível ressonante com blindagem e a técnica do grupo de renormalização numérico. O modelo é composto pela banda de condução, representando o metal hospedeiro, pela energia de ligação εf do orbital da impureza de valência flutuante, pela interação de Coulomb G entre os elétrons deste orbital e os elétrons de condução e pela hibridização Γ daquele orbital com a banda de condução, no nosso cálculo não foi considerada a interação de Coulomb entre os elétrons dentro do orbital. Para Γ = 0 e G = 0 o orbital pode ter as seguintes configurações: orbital vazio nf = 0 com energia εf = 0, orbital unitariamente ocupado nf = 1 com energia εf (spin para cima ou para baixo) ou orbital duplamente ocupado nf = 2 com energia 2εf . Considerou-se também que |εf| À Γ de forma que pode-se utilizar aproximação nf ≈ hnf i, onde hnf i é a ocupação média do orbital da impureza Para G = 0 a corrente de fotoemissão σ (ε) apresenta um pico em torno de ε0 ≈ |εf | e largura da ordemde Γ, a medida G 6= 0 aumenta ocorre uma redução da largura do pico e um aumento da altura do mesmo. O aumento de G também faz com que a posição do pico ocorra em ε0 > |εf |, até que o valor limite G ≈ D/π hnf i, onde D a meia largura da banda de condução do metal hospedeiro, para qual ε0 = εmax ≈ |εf − Γ/2|. De forma que para G > D/π hnf i o pico em σ (ε)passa a ocorrer em ε0 < |εf − Γ/2|. No limite G → ∞ a corrente σ (ε) é uma delta de Dirac (linha) centrada em ε = |εf |. Visto que σ (ε) deve obedecer a regra de soma de Friedel., tem-se um orbital muito bem localizado. Aredução da largura do pico como aumento de G indica a presença de um efeito competitivo entre G e Γ, de modo que para G À Γ o orbital está completamente desacoplado da banda de condução. Assim , no estado fundamental, o orbital está duplamente ocupado se εf < 0 e vazio se εf > 0. Considerando-se o potencial G 6= 0, corrente de fotoemissão σ (ε) é mapeada na corrente σ (ε) do modelo com G = 0, com os parâmetros renormalizados εfG e ΓG.

Neste trabalho, calculam-se o calor específico e a entropia do Modelo de Anderson simétrico de uma impureza usando o Grupo de Renormalização Numérico (GRN). O método é baseado na discretização logarítmica da banda de condução do metal hospedeiro a qual a impureza está acoplada. Porém, esta discretização introduz oscilações nas propriedades termodinâmicas. Esta inconveniência, inerente ao método, é contornável para a suscetibilidade magnética, mas é crítica para o calor específico, restringindo o alcance do GRN. Para sobrepor essa dificuldade, é usado o novo procedimento denominado intercalado que foi desenvolvido para o cálculo da suscetibilidade magnética de modelos de duas impurezas. Para reduzir as matrizes e o tempo computacional, é usado, também, o operador carga axial, recentemente definido no contexto do Modelo de Kondo de duas impurezas, e que é conservado pelo Hamiltoniano de Anderson simétrico. As curvas obtidas são comparadas com resultados exatos obtidos por ansatz de Bethe e pelo Modelo de Nível Ressonante. / The specific heat and the entropy of the one-impurity symmetric Anderson Model are calculated using the Numerical Renormalization Group (NRG). The heart of the method is the logarithmic discretization of the metal conduction band where the impurity is coupled. However, this discretization, inherent in the method, introduces oscillations in the thermodynamical properties. For the susceptibility it is not so critical but for the specific heat the usual calculation is prohibitive. To overcome this difficulty, we use the new procedure called interleaved that was developed to calculate the susceptibility of two-impurity models. In order to reduce the matrices and computation time, use is made of the axial charge operator recently defined in the two-impurity Kondo Model context and that is conserved by the symmetric Anderson Hamiltonian. The curves obtained are compared with exacts results of Bethe ansatz and Resonant Level Model.

Estudamos o calor específico de um sistema formado por duas impurezas adsorvidas, sem spin, em meio fermiônico (banda de condução do metal) e que contém um buraco (elétron) tunelando entre elas. Modelamos esse sistema por dois níveis acoplados e que sofrem interação Coulombiana com a banda de condução. Através da análise das curvas de calor específico, investigamos a alteração (renormalização) da taxa de tunelamento em função da interação eletrostática entre os elétrons da banda de condução e o buraco tunelante e da separação entre as impurezas. Utilizamos o Hamiltoniano de Kondo de tunelamento para representar esse modelo e usamos o Grupo de Renormalização Numérico para diagonalizá-lo. Analisamos a influência de cada termo do Hamiltoniano na renormalização da taxa de tunelamento e verificamos que a troca de paridade das funções de onda do buraco tunelante e dos elétrons da banda desempenha papel essencial. Encontramos uma expressão que combina a distância entre as impurezas e a interação Coulombiana em um único parâmetro (a), de tal forma que sistemas diferentes mas que apresentam o mesmo a e a mesma taxa de tunelamento livre têm a mesma curva de calor específico. / We calculate the specific heat of the two-spinless impurity coupled to a fermionic bath. The model takes into account the tunneling of a hole between the impurities. The two-level system representing the impurities is coupled electrostatically with the conduction electrons. Through the specific heat curves, we analyse the renormalization of the tunneling rate as a function of the Coulomb interaction and distance between impurities. The Numerical Renormalization Group is used to diagonalize the tunneling Hamiltonian proposed by Kondo. We analyse the role of each term of the Hamiltonian in the renormalization of the bare tunneling rate and we stress the importance of the exchange parity between impurity states and conduction states. Finally, a parameter a, is found which combines the distance between impurities and Coulomb interaction in such a way that every curve is specified only by a and the bare tunneling rate.

Este trabalho se dedica à paralelização de um programa para cálculos de propriedades físicas de ligas magnéticas diluídas. O método do grupo de renormalização aplicado ao modelo de Anderson de duas impurezas se mostrou particularmente adequado ao processamento paralelo visto que grande parte dos cálculos pode ser executada simultaneamente, assim como variações nos conjuntos de dados requeridas pelo método. Para tal reescrevemos o programa seqüencial usado anteriormente pelo Grupo de Física Teórica do IFSC e implementamos três versões paralelas. Essas versões diferem entre si em relação à abordagem dada à paralelização. O uso de clusters de computadores se revelou uma opção conveniente pois verificamos que o limitante no desempenho é o tempo tomado pelos cálculos e não pela comunicação. Os resultados mostram uma grande redução no tempo total de execução, porém deficiências no speedup e escalabilidade devido a problemas de balanceamento de carga. Analisamos esses problemas e sugerimos alternativas para solucioná-los. / This dissertation discuss the parallelization of a program that calculates physical properties of dilute magnetic alloys. The renormalization group method applied to Anderson's two impurities model showed to be specially suitable to parallel processing because a large amount of calculations as well as variations of data entries required by the method can be performed simultaneously. To achieve this we rewrote the sequential program previously used by the Theoretical Physics Group of the IFSC and wrote three parallel versions. These versions differ from each other by the parallelization approach. The use of computer clusters revealed to be an appropriate option because the calculation time is the limiting factor on performance instead of communication time. The results show a good reduction of execution time, but speedup and scalability lack due to load balancing problems. We analyze these problems and suggest possible solutions.

Este trabalho se dedica à paralelização de um programa para cálculos de propriedades físicas de ligas magnéticas diluídas. O método do grupo de renormalização aplicado ao modelo de Anderson de duas impurezas se mostrou particularmente adequado ao processamento paralelo visto que grande parte dos cálculos pode ser executada simultaneamente, assim como variações nos conjuntos de dados requeridas pelo método. Para tal reescrevemos o programa seqüencial usado anteriormente pelo Grupo de Física Teórica do IFSC e implementamos três versões paralelas. Essas versões diferem entre si em relação à abordagem dada à paralelização. O uso de clusters de computadores se revelou uma opção conveniente pois verificamos que o limitante no desempenho é o tempo tomado pelos cálculos e não pela comunicação. Os resultados mostram uma grande redução no tempo total de execução, porém deficiências no speedup e escalabilidade devido a problemas de balanceamento de carga. Analisamos esses problemas e sugerimos alternativas para solucioná-los. / This dissertation discuss the parallelization of a program that calculates physical properties of dilute magnetic alloys. The renormalization group method applied to Anderson's two impurities model showed to be specially suitable to parallel processing because a large amount of calculations as well as variations of data entries required by the method can be performed simultaneously. To achieve this we rewrote the sequential program previously used by the Theoretical Physics Group of the IFSC and wrote three parallel versions. These versions differ from each other by the parallelization approach. The use of computer clusters revealed to be an appropriate option because the calculation time is the limiting factor on performance instead of communication time. The results show a good reduction of execution time, but speedup and scalability lack due to load balancing problems. We analyze these problems and suggest possible solutions.

Estudamos o calor específico de um sistema formado por duas impurezas adsorvidas, sem spin, em meio fermiônico (banda de condução do metal) e que contém um buraco (elétron) tunelando entre elas. Modelamos esse sistema por dois níveis acoplados e que sofrem interação Coulombiana com a banda de condução. Através da análise das curvas de calor específico, investigamos a alteração (renormalização) da taxa de tunelamento em função da interação eletrostática entre os elétrons da banda de condução e o buraco tunelante e da separação entre as impurezas. Utilizamos o Hamiltoniano de Kondo de tunelamento para representar esse modelo e usamos o Grupo de Renormalização Numérico para diagonalizá-lo. Analisamos a influência de cada termo do Hamiltoniano na renormalização da taxa de tunelamento e verificamos que a troca de paridade das funções de onda do buraco tunelante e dos elétrons da banda desempenha papel essencial. Encontramos uma expressão que combina a distância entre as impurezas e a interação Coulombiana em um único parâmetro (a), de tal forma que sistemas diferentes mas que apresentam o mesmo a e a mesma taxa de tunelamento livre têm a mesma curva de calor específico. / We calculate the specific heat of the two-spinless impurity coupled to a fermionic bath. The model takes into account the tunneling of a hole between the impurities. The two-level system representing the impurities is coupled electrostatically with the conduction electrons. Through the specific heat curves, we analyse the renormalization of the tunneling rate as a function of the Coulomb interaction and distance between impurities. The Numerical Renormalization Group is used to diagonalize the tunneling Hamiltonian proposed by Kondo. We analyse the role of each term of the Hamiltonian in the renormalization of the bare tunneling rate and we stress the importance of the exchange parity between impurity states and conduction states. Finally, a parameter a, is found which combines the distance between impurities and Coulomb interaction in such a way that every curve is specified only by a and the bare tunneling rate.

Calcula-se o espectro de foto emissão (XPS) no modelo de Anderson com degenerescência de spin. Baseado na técnica do grupo de renormalização, introduzindo originalmente por Wilson para calcular a suscetibilidade magnética do modelo de Kondo, o cálculo numérico tem precisão uniforme sobre todo o espaço paramétrico do modelo de Anderson; para qualquer energia foto eletrônica estima-se um erro máximo de 4% para a corrente de foto emissão calculada. O espectro calculado apresenta dois picos, associados com as duas possíveis transições induzidas pelo raios-X entre as ocupações do orbital <nf>= 0,1 ou 2: um primeiro pico de ionização correspondente à transição nf=2 &#8594 nf=1 e um segundo pico de ionização correspondente à transição nf=1 &#8594 nf=0. Para o caso em que a configuração nf=2 do orbital f tem a mais baixa energia, o primeiro pico é dominante. A medida que a energia da configuração duplamente ocupada cresce em relação à da configuração nf=1 (de maneira que o valor de nf no estafo fundamental diminui) o segundo pico de ionização cresce em relação ao primeiro. Finalmente quando nf 1 no estado fundamental, o segundo pico praticamente domina toda a intensidade espectral integrada; nesse caso (1) o primeiro pico torna-se estreito (com largura da ordem da temperatura de Kondo) centrado no nível de Fermi e (2) próximo ao nível de Fermi a corrente de foto emissão é representada por uma função universal da energia foto eletrônica escalada pela temperatura de Kondo. / X-ray photoemission spectra (XPS) are calculated for the spin-degenerate Anderson modelo f Valence fluctuation compounds. Based on the renormalization group technique originally introduced by Wilson to calculate the magnetic susceptibility for the Kondo model, the numerical calculation has uniform accurancy over the entire parameter space of the Anderson model; at any given photo-electron energy, a maximum error of 4% is estimated for the calculated photoemission current. The calculated spectra display two peaks associated with the two possible x-ray induced transitions between the nf= 0,1 or 2 occupations of the f-orbital: a first ionization peak corresponding to the nf=2 &#8594 nf=1 transition and a second ionization peak due to the nf=1 &#8594 nf=0 transition. For the case in which the nf=2 configuration of the f-orbital has the lowest energy, the former peak is dominant. As the energy of the doubly occupied configuration increases relative to the nf=1 configuration, (so that decreases in the ground state) the second ionization peak grows relative to the first one. Finally, as &#8594 1 in the ground state the second ionization peak covers mosto f the integrated spectral density; in this case (1) the first ionization peak becomes a Spike (width of the order of the Kondo temperature) centered at the Fermi level and (2) in the vicinity of the Fermi level the photoemission current is described by a universal function of the photoelectron energy scaled by the Kondo temperature.

A microscopia de varredura por tunelamento (MVT) é uma nova maneira de se observar experimentalmente o efeito Kondo. Quando uma concentração de átomos é adicionada a um meio metálico (metal hospedeiro), a corrente de tunelamento passa a depender de fatores de origem não geométrica. O rearranjo das cargas dentro do volume metálico (oscilações de Friedel) e o espalhamento de spins eletrônicos (efeito Kondo), devido a introdução de impurezas, mudam o valor da corrente e influenciam o levantamento da topografia do espécime examinado. Esses fatores devem ser considerados para que a topografia gerada seja condizente com a topografia verdadeira. Utilizamos como modelo teórico para descrição desse sistema, o modelo de Anderson de uma impureza para simular o espécime examinado e uma banda de condução livre para representar os elétrons da agulha metálica do microscópio. Nossa abordagem usa a fórmula de Kubo para o cálculo da corrente de tunelamento, supondo Hamiltoniano de tunelamento como perturbação e o potencial elétrico no regime linear. Apresentamos inicialmente um estudo para o Modelo do Nível Ressonante, isto é, o modelo de Anderson sem correlação, com o objetivo de demonstrar a precisão do método do Grupo de Renormalização Numérico. Em seguida, analisamos o Modelo de Anderson correlacionado. Os resultados tanto para a condutância em função da distância entre ponta e impureza a temperatura fixa, como para condutância em função da temperatura e distância fixa, permitem interpretação física transparente desde que levem em conta a ressonância de Kondo na densidade espectral. / The scanning tunneling microscopy (STM) is a new way to observe experimentally the Kondo effect. When a concentration of atoms id added to a sample (host metal), the tunneling current begins to depend on other non-geometric factors. The rearrangement of charges in the metallic bulk (Friedel oscillations) and the electronic spin scattering (Kondo effect), due to the presence of impurities, change the current value and affect the sample´s topography. These factors must be considered in order to make a correspondence between the generated topography with the true one. As a theoretical description of the system, we use the single impurity Anderson model to simulate the examined sample and a free conduction band to represent the electrons of the microscope metallic tip. Our treatment uses the Kubo formula to calculate the tunneling current, assuming the tunneling Hamiltonian as a perturbation and the electric potential in the linear regime. We initially present a study of the Resonant Level Model, i.e, the Anderson model without correlaction, to show the accuary of the Numerical Renormalization Group procedure. In the next step, we analyse the correlated Anderson model. The dependence of the conductance on tip-impurity distance, at constant temperature, and its dependence on temperature for constant tip-impurity distance, allow a clear physical interpretation after taking into account the Kondo resonance in the spectral density.

Nozières e Blandin generalizaram o Modelo Kondo através da inclusão de mais graus de liberdade. Eles investigaram um sistema formado de uma impureza magnética em um metal hospedeiro, considerando a estrutura orbital da impureza, campo cristalino e interações spin-órbita. Este sistema é representado pelo Hamiltoniano de Kondo Multicanal: a interação entre a impureza local e a banda de condução é feita via canais (cada canal representa um conjunto de números quânticos bem definidos). Nozières e Blandin mostraram o aparecimento de um ponto fixo anômalo no regime de acoplamento finito. Esse ponto fixo anômalo pode explicar o comportamento não-líquido de Fermi de compostos de terras-raras e actinídeos. Cox e colaboradores usaram o Hamiltoniano Kondo Quadrupolar para representar sistemas de férmions pesados em urânio e óxidos supercondutores de alta temperatura, os quais podem ser mapeados em um Modelo Kondo de dois canais. Como o Modelo Kondo tradicional (um canal) é o limite de baixa temperatura do Modelo Anderson, é interessante também generalizar este último para incluir mais canais. Nesta tese nós mostramos que o mesmo procedimento trivial, o qual generaliza o Hamiltoniano Kondo, não funciona para o Modelo de Anderson. Nós usamos um Hamiltoniano proposto por Cox para representar o Modelo de Anderson de dois canais. Usando a transformação de Schrieffer-Wolff nós demonstramos que este Hamiltoniano é equivalente ao Hamiltoniano Kondo de dois canais em baixas temperaturas. E finalmente, nós aplicamos o Grupo de Renormalização Numérico para investigar os níveis de mais baixa energia, a suscetibilidade magnética e o calor específico. / Nozières and Blandin generalized the Kondo Model by including more degrees of freedom. They investigated a system made of magnetic impurity in a metal host, considering impurity orbital structure, crystalline field and spin-orbit interactions. This system is represented by multichannel Kondo Hamiltonian: the interaction between local impurity and conduction band is done via channels (each channel represents a set of well defined quantum numbers). They showed that anomalous fixed point appears at finite coupling. The anomalous fixed point can explain the non-Fermi Liquid behaviour of rare earths and actinides compounds. Cox et al used a quadrupolar Kondo Hamiltonian for uranium heavy-fermion materials and high-temperature superconducting oxides, which can be mapped to a two-channel Kondo Model. Since Kondo Model is a low temperature limit of Anderson Model, would be interesting to generalize this last one including many channels. In this thesis we show that the same trivial procedure, which generalizes the Kondo Hamiltonian, does not work with the Anderson Model. We use a model Hamiltonian proposed by Cox to represent the two-channel Anderson Model. Using the Schrieffer-Wolf transformation we prove this Hamiltonian is equivalent to the two-channel Kondo Hamiltonian. And finally, we have applied Numerical Renormalization Group calculations to investigate the lowest energy levels, susceptibility and specific heat.