Estuda-se o Modelo de Anderson de uma Impureza (AIM), incorporando o termo de hopping correlacionado (AIMC). O modelo considera uma banda larga do substrato metálico e uma impureza, a última com o único orbital não degenerado (exceto por spin). A constante de aclopamento para o hopping correlacionado reduz a amplitude da hibridização quando o nível da impureza está ocupado. Estudam-se os efeitos da adição deste termo no AIM original, investiga-se a densidade de estados (DOS) e a susceptibilidade magnética. Utiliza-se um esquema de desacoplamento das funções de Green, equivalente a uma aproximação de campo médio efetivo, para estudar o AIMC. Alguns conceitos e técnicas são revisados e compara-se vários resultados conhecidos para o AIM (incluindo a solução exata para um caso particular) com os resultados encontrados neste trabalho / We study the Anderson Model for one Imputity (AIM), incorporating the correlated hopping term (AIMC). The model considers a wide band metal substrate and one impurity, the latter with a single non degenerate spin. The correlated hopping coupling constant reduces the hybridization amplitude when the impurity level is occupied. We study the effects of adding this term to the original AIM, probing the impurity density of states (DOS) and the susceptibility. We use a decoupling Green´s function scheme, equivalent to an effective medium approach in order to study the AIMC. We review some of the concepts and techniques involved and compare several of the known results for the AIM (including an exact solution for a particular case) with our results

Este trabalho calcula analítica e numericamente a densidade espectral para o modelo de Anderson de duas impurezas sem correlação eletrônica (U=0). Nossos resultados servem como passo inicial para se entender o modelo com a correlação eletrônica. O modelo estudado descreve a interação entre elétrons de um metal e impurezas magnéticas localizadas, e a simplificação, U = 0, torna o Hamiltoniano quadrático permitindo assim que se divida o mesmo em dois termos: um envolvendo apenas operadores pares (canal par) e outro envolvendo apenas operadores ímpares (canal ímpar). Cada termo encontrado difere pouco do Hamiltoniano de Nível Ressonante. Nossos resultados abrangem tanto a diagonalização analítica como a numérica pelo método do Grupo de Renormalização, adaptado para o caso de duas impurezas. A simplicidade do Hamiltoniano permite que (1) se identifique características do modelo que afetam adversamente a precisão do cálculo numeríco e (2) se encontre uma maneira de circundar tais dificuldades. Os resultados aqui encontrados ajudaram o desenvolvimento do cálculo da densidade espectral do modelo correlacionado, desenvolvido paralelamente em nosso grupo de pesquisa. / This work calculates analytically and numerically the spectral density for the two impurity uncorrelated Anderson model (U = O). Our results serve as an initial step towards understanding models with electronic correlation. The studied model describes the interaction between conduction-band electrons of a metal and localized magnetic impurities. The simplification U = O turns the Hamiltonian quadratic, allowing us to split it into two parts: one involving only even operators (even channel), the other involving odd operators (odd channel). Each term has a form differing a little from that for the Resonant Level Hamiltonian. Our results include analytic diagonalization as well as numerical calculations using the method of the Renormalization Group, adapted for the two impurity case. The traditional tridiagonalization method imposes particle-hole symmetry, while our treatment preserves the energy dependence of the coupling, between the impurities and the conduction-band, and consequently, the natural asymmetry of the model. The simplicity of the Hamiltonian allowed us to (1) identify characteristics of the model that affect adversely the acuracy of the numeric calculation and (2) find a way to surround such difficulties. The results here found helped the development of the calculation of the spectral density of the correlated model, developed simultaneously in our research group.

Calculamos a densidade espectral do modelo de Anderson de duas impurezas por meio de uma extensão do grupo de renormalização numérico (GRN) preservando a assimetria partícula-buraco do modelo. O estado fundamental deste modelo depende fortemente da competição entre a interação RKKY 1 e a temperatura de Kondo TK. Essa competição gera três regimes característicos: (i) 11\\ « k B TK, regime Kondo; (ii) - 1» kBTK, regime ferromagnético; and (iii) 1» kBTK, regime antiferromagnético. O Hamiltoniano é invariante sob inversão das coordenadas da impureza ± R/2. Seus auto-estados, portanto, podem ser classificados de acordo com a paridade. Calculamos as densidades espectrais par e ímpar para os parâmetros representativos do modelo em cada um dos três regimes mencionados acima. Várias características dos resultados numéricos, associadas com a formação de um tripleto ou singleto entre as impurezas e com o efeito Kondo, são discutidas. / We calculated the spectral density for the two-impurity Anderson model by means of an extension of the numerical renormalization-group (NRG) preserving the particle-hole asymmetry of the model. The ground state of this model depends strongly on the competition between the RKKY interaction I and the Kondo temperature TK. That competition generates three characteristic regimes: (i) 11\\« kBTK, Kondo regime; (ii) - I» kBTK, ferromagnetic regime; and (iii) I > > k B TK, antiferromagnetic regime. The Hamiltonian is invariant under inversion of the impurity coordinates ± R/2 . Its eigenstates can therefare be classified according to parity. We have calculated the even and odd spectral densities for model parameters representative of each of the three above mentioned regimes. Various features af the numerical results, associated with the formation of an impurity singlet ar triplet and with the Kondo effect, are discussed.

Investigamos a transição de localização induzida por desordem em condensados de Bose- Einstein em redes unidimensionais, no limite não interagente, utilizando os modelos de Anderson e de Aubry-Andr´e para a desordem. Através de diagonalização numérica exata, mostramos que, além da fração de superfluído, usualmente empregada, outras ferramentas, como o emaranhamento e a fidelidade, são indicadores claros da transição. Os valores críticos que encontramos para a amplitude da desordem estão de acordo com os resultados conhecidos para a transição de Anderson nos dois modelos. É interessante ressaltar que a fidelidade exibe boa precisão mesmo para redes pequenas. Efeitos do tamanho do sistema são analisados em detalhe para os dois modelos. Isto inclui a determinação de uma lei de escala de tamanho finito para a amplitude de desordem crítica no modelo de Anderson. Já no modelo de Aubry-André observamos que efeitos de tamanho finito são muito menos pronunciados, estando basicamente associados a diferenças entre tamanho de rede e periodicidade do potencial. / We investigate the disorder-induced localization transition in Bose-Einstein condensates on one-dimensional lattices, in the non-interacting limit, utilizing the Anderson and Aubry- Andr´e models for disorder. Using exact numerical diagonalization, we show that, in addition to the standard superfluid fraction, other tools such as the entanglement and fidelity can provide clear signatures of the transition. The critical values we find for the disorder amplitude are in agreement with known results for the Anderson transition in both models. Interestingly, the fidelity exhibits good sensitivity even for small lattices. System-size effects are analyzed in detail for both models. This includes the determination of a finite-size-scaling law for the critical disorder strength in the case of the Anderson model. For the Aubry- Andr´e model we observe that finite-size effects are much less pronounced, being basically associated with the mismatching between lattice size and periodicity of the potential.

In random non-interacting electron systems in three-dimensional lattices with uncorrelated disorder, it has been well established that there is a metal-insulator transition, usually named Anderson transition, in which the one-electron eigenstates change their nature from extended to localized as a function of the disorder strength. In low-dimensional systems with d &#8804; 2, the scaling theory of localization predicts complete localization for any strength of the disorder. In recent years, several studies in d = 1 and d = 2 have shown a violation of the scaling theory of localization if disorder has special correlations or the system presents long-range couplings. In this work, we analyze some one-dimensional systems that do present extended states. We study the one-electron wave-packet dynamics in the one-dimensional diluted Anderson model. The disorder is diluted by introducing between each pair of random sites a new site with fixed potential. This model presents extended states in particular resonant energies which leads to a very interesting phenomena of sensitivity to the initial condition of wave-packet spread. When the electron is initially localized in a diluting site, the wave-packet presents a faster spreading than that exhibited by a wave-packet initially localized in an Anderson site. Further, we explore the exact mapping between the one-electron eigen-states of tight-binding models onto the normal vibrational modes of harmonic chains to study the nature of collective excitations in harmonics chains with diluted disorder of the mass distribution. This model presents an extended harmonic state at &#969;c with null displacement at the random masses. For a initial pulse excitation, a super-diffusive energy spread is observed, similar to the one occurring in fully disordered chains. On the other hand, for an initial displacement excitation, the energy spreads diffusively, in contrast with the slower sub-diffusive spread in fully random chains. Finally, we study the classical and quantum percolation phenomena in power-law diluted chains for which the probability of occurrence of a bond between sites separated by a distance r decays a p(r) = p/r1+_. We present the phase diagram for both classical and quantum models for the range of the decay exponent 0 < &#963; < 1. In the case of classical percolation, we explore the scaling behavior of the mass of the largest clusters to obtain the critical parameters. We found that the critical percolation probability p grows continuously towards pc(&#963; = 1) = 1. Therefore, for coupling probabilities decaying with the square of the distance, the largest cluster is finite for any degree of dilution. The fractal dimension of the percolating cluster was estimated and displays two distinct regimes for &#963; < 1/2 and &#963; > 1/2. In the limit &#963; = 0 the fractal dimension is finite and converges to Df = 1 for &#963; = 1. Performing an exact diagonalization of the Hamiltonian of finite chains and using the scaling hypothesis, we investigate also the quantum percolation transition in the spanning cluster. Our results show the existence of a phase at which the one-electron eigenstates remain exponentially localized which means that the critical percolation probability for quantum percolation is larger than that for classical percolation. Finnaly, we found that the phase of extended states appears for &#963; < 0.78. This limiting value is larger than the one reported in the literature for the emergence of extended states in Anderson models in chains with power-law decaying couplings. Therefore, the present results indicate that there is not a direct correspondence between the quantum percolation and Anderson transition in chains with long-range couplings. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Em sistemas eletrônicos tridimensionais com desordem descorrelacionada é possível ocorrer uma transição de metal-isolante, conhecida como transição de Anderson, onde os estados eletrônicos podem ser localizados ou estendidos dependendo do grau de desordem imposto ao sistema. Em sistemas de dimensionalidade baixa d &#8804; 2, sem correlações na desordem, a teoria de escala prevê que todos os estados são localizados para qualquer valor finito do grau de desordem. Entretanto, vários estudos recentes para sistemas de dimensões d = 1 e d = 2 foram feitos mostrando a presença de estados estendidos se a desordem for correlacionada ou o sistema possuir acoplamentos de longo-alcance. Neste trabalho, nós analisamos alguns sistemas desordenados unidimensionais que apresentam estados estendidos. Nós estudamos a dinâmica do pacote de onda eletrônico em um modelo de Anderson diluído em uma dimensão. A diluição é feita pela introdução de um sítio com potencial fixo entre cada dois sítios de uma cadeia desordenada. Este modelo apresenta estados estendidos em uma energia ressonante, além de uma sensibilidade ás condições iniciais do pacote de onda eletrônico. Quando o elétron é inicialmente localizado em um sítio da rede pura o pacote de onda alarga mais rapidamente do que quando o pacote de onda é posto inicialmente num sítio da sub-rede de Anderson. Explorando o mapeamento exato dos modos vibracionais em cadeias harmônicas nos auto-estados eletrônicos de modelos tight-binding, nós estudamos a natureza das excitações coletivas em cadeias harmônicas diluídas com desordem nas massas. Este modelo apresenta um modo de vibração estendido em &#969;c com deslocamento nulo das massas da cadeia de Anderson. Para uma excitação inicial tipo impulso em um sítio puro, o alargamento do pulso de energia é super-difusivo tanto na cadeia totalmente desordenada quanto na cadeia com desordem diluída. Por outro lado, para excitação por deslocamento em um sítio da cadeia pura, o alargamento do pulso de energia é difusivo, contrastando com o alargamento sub-difusivo observado em cadeias totalmente desordenadas. Por fim, nós estudamos o problema da percolação em cadeias unidimensionais com acoplamentos de longo-alcance cujas ligações são ativadas segundo a probabilidade p(r) = p/r1+_. Nós apresentamos o diagrama de fases para ambas as versões no intervalo 0 < &#963; < 1. No caso da percolação clássica, exploramos as propriedades de escala da massa dos maiores clusters para fazer estimativas dos parâmetros críticos. Nós obtivemos que a densidade de ligações entre primeiros vizinhos crítica cresce em direção a pC c (&#963; = 1) = 1. Desta forma, quando a probabilidade de ativação das ligações decai de forma quadrática, o maior cluster permanece finito para qualquer diluição das ligações. A dimensão fractal Df do cluster percolante foi obtida e apresenta dois regimes bem característicos para &#963; > 1/2 e para &#963; < 1/2. No limite de &#963; = 0 a dimensão fractal permanece finita, enquanto Df = 1 para &#963; = 1. Através da diagonalização exata do Hamiltoniano de cadeias finitas e fazendo uso da hipótese de escala por tamanho finito, nós investigamos a transição entre as fases localizada e estendida do modelo de percolação quântica no cluster infinito. Nossos resultados mostraram a existência de uma fase onde os estados eletrônicos são exponencialmente localizados, mesmo na presença de um cluster percolante, ou seja pQc > pCc . Estados verdadeiramente estendidos surgem para &#963; < 0.78. Este valor é maior do que o valor limite obtido na literatura para a ocorrência de estados estendidos em modelos de Anderson em cadeias com acoplamentos de longo-alcance. Desta forma, não há uma correspondência direta entre as transições de Anderson e de percolação quântica em cadeias com acoplamentos cuja intensidade ou freqüência decaem como uma lei de potência. Em sistemas eletrônicos tridimensionais com desordem descorrelacionada é possível ocorrer uma transição de metal-isolante, conhecida como transição de Anderson, onde os estados eletrônicos podem ser localizados ou estendidos dependendo do grau de desordem imposto ao sistema. Em sistemas de dimensionalidade baixa d &#8804; 2, sem correlações na desordem, a teoria de escala prevê que todos os estados são localizados para qualquer valor finito do grau de desordem. Entretanto, vários estudos recentes para sistemas de dimensões d = 1 e d = 2 foram feitos mostrando a presença de estados estendidos se a desordem for correlacionada ou o sistema possuir acoplamentos de longo-alcance. Neste trabalho, nós analisamos alguns sistemas desordenados unidimensionais que apresentam estados estendidos. Nós estudamos a dinâmica do pacote de onda eletrônico em um modelo de Anderson diluído em uma dimensão. A diluição é feita pela introdução de um sítio com potencial fixo entre cada dois sítios de uma cadeia desordenada. Este modelo apresenta estados estendidos em uma energia ressonante, além de uma sensibilidade ás condições iniciais do pacote de onda eletrônico. Quando o elétron é inicialmente localizado em um sítio da rede pura o pacote de onda alarga mais rapidamente do que quando o pacote de onda é posto inicialmente num sítio da sub-rede de Anderson. Explorando o mapeamento exato dos modos vibracionais em cadeias harmônicas nos auto-estados eletrônicos de modelos tight-binding, nós estudamos a natureza das excitações coletivas em cadeias harmônicas diluídas com desordem nas massas. Este modelo apresenta um modo de vibração estendido em &#969;c com deslocamento nulo das massas da cadeia de Anderson. Para uma excitação inicial tipo impulso em um sítio puro, o alargamento do pulso de energia é super-difusivo tanto na cadeia totalmente desordenada quanto na cadeia com desordem diluída. Por outro lado, para excitação por deslocamento em um sítio da cadeia pura, o alargamento do pulso de energia é difusivo, contrastando com o alargamento sub-difusivo observado em cadeias totalmente desordenadas. Por fim, nós estudamos o problema da percolação em cadeias unidimensionais com acoplamentos de longo-alcance cujas ligações são ativadas segundo a probabilidade p(r) = p/r1+_. Nós apresentamos o diagrama de fases para ambas as versões no intervalo 0 < &#963; < 1. No caso da percolação clássica, exploramos as propriedades de escala da massa dos maiores clusters para fazer estimativas dos parâmetros críticos. Nós obtivemos que a densidade de ligações entre primeiros vizinhos crítica cresce em direção a pC c (&#963; = 1) = 1. Desta forma, quando a probabilidade de ativação das ligações decai de forma quadrática, o maior cluster permanece finito para qualquer diluição das ligações. A dimensão fractal Df do cluster percolante foi obtida e apresenta dois regimes bem característicos para &#963; > 1/2 e para &#963; < 1/2. No limite de &#963; = 0 a dimensão fractal permanece finita, enquanto Df = 1 para &#963; = 1. Através da diagonalização exata do Hamiltoniano de cadeias finitas e fazendo uso da hipótese de escala por tamanho finito, nós investigamos a transição entre as fases localizada e estendida do modelo de percolação quântica no cluster infinito. Nossos resultados mostraram a existência de uma fase onde os estados eletrônicos são exponencialmente localizados, mesmo na presença de um cluster percolante, ou seja pQc > pCc . Estados verdadeiramente estendidos surgem para &#963; < 0.78. Este valor é maior do que o valor limite obtido na literatura para a ocorrência de estados estendidos em modelos de Anderson em cadeias com acoplamentos de longo-alcance. Desta forma, não há uma correspondência direta entre as transições de Anderson e de percolação quântica em cadeias com acoplamentos cuja intensidade ou freqüência decaem como uma lei de potência.

Investigamos a transição de localização induzida por desordem em condensados de Bose- Einstein em redes unidimensionais, no limite não interagente, utilizando os modelos de Anderson e de Aubry-Andr´e para a desordem. Através de diagonalização numérica exata, mostramos que, além da fração de superfluído, usualmente empregada, outras ferramentas, como o emaranhamento e a fidelidade, são indicadores claros da transição. Os valores críticos que encontramos para a amplitude da desordem estão de acordo com os resultados conhecidos para a transição de Anderson nos dois modelos. É interessante ressaltar que a fidelidade exibe boa precisão mesmo para redes pequenas. Efeitos do tamanho do sistema são analisados em detalhe para os dois modelos. Isto inclui a determinação de uma lei de escala de tamanho finito para a amplitude de desordem crítica no modelo de Anderson. Já no modelo de Aubry-André observamos que efeitos de tamanho finito são muito menos pronunciados, estando basicamente associados a diferenças entre tamanho de rede e periodicidade do potencial. / We investigate the disorder-induced localization transition in Bose-Einstein condensates on one-dimensional lattices, in the non-interacting limit, utilizing the Anderson and Aubry- Andr´e models for disorder. Using exact numerical diagonalization, we show that, in addition to the standard superfluid fraction, other tools such as the entanglement and fidelity can provide clear signatures of the transition. The critical values we find for the disorder amplitude are in agreement with known results for the Anderson transition in both models. Interestingly, the fidelity exhibits good sensitivity even for small lattices. System-size effects are analyzed in detail for both models. This includes the determination of a finite-size-scaling law for the critical disorder strength in the case of the Anderson model. For the Aubry- Andr´e model we observe that finite-size effects are much less pronounced, being basically associated with the mismatching between lattice size and periodicity of the potential.

Este trabalho calcula analítica e numericamente a densidade espectral para o modelo de Anderson de duas impurezas sem correlação eletrônica (U=0). Nossos resultados servem como passo inicial para se entender o modelo com a correlação eletrônica. O modelo estudado descreve a interação entre elétrons de um metal e impurezas magnéticas localizadas, e a simplificação, U = 0, torna o Hamiltoniano quadrático permitindo assim que se divida o mesmo em dois termos: um envolvendo apenas operadores pares (canal par) e outro envolvendo apenas operadores ímpares (canal ímpar). Cada termo encontrado difere pouco do Hamiltoniano de Nível Ressonante. Nossos resultados abrangem tanto a diagonalização analítica como a numérica pelo método do Grupo de Renormalização, adaptado para o caso de duas impurezas. A simplicidade do Hamiltoniano permite que (1) se identifique características do modelo que afetam adversamente a precisão do cálculo numeríco e (2) se encontre uma maneira de circundar tais dificuldades. Os resultados aqui encontrados ajudaram o desenvolvimento do cálculo da densidade espectral do modelo correlacionado, desenvolvido paralelamente em nosso grupo de pesquisa. / This work calculates analytically and numerically the spectral density for the two impurity uncorrelated Anderson model (U = O). Our results serve as an initial step towards understanding models with electronic correlation. The studied model describes the interaction between conduction-band electrons of a metal and localized magnetic impurities. The simplification U = O turns the Hamiltonian quadratic, allowing us to split it into two parts: one involving only even operators (even channel), the other involving odd operators (odd channel). Each term has a form differing a little from that for the Resonant Level Hamiltonian. Our results include analytic diagonalization as well as numerical calculations using the method of the Renormalization Group, adapted for the two impurity case. The traditional tridiagonalization method imposes particle-hole symmetry, while our treatment preserves the energy dependence of the coupling, between the impurities and the conduction-band, and consequently, the natural asymmetry of the model. The simplicity of the Hamiltonian allowed us to (1) identify characteristics of the model that affect adversely the acuracy of the numeric calculation and (2) find a way to surround such difficulties. The results here found helped the development of the calculation of the spectral density of the correlated model, developed simultaneously in our research group.

Estuda-se o Modelo de Anderson de uma Impureza (AIM), incorporando o termo de hopping correlacionado (AIMC). O modelo considera uma banda larga do substrato metálico e uma impureza, a última com o único orbital não degenerado (exceto por spin). A constante de aclopamento para o hopping correlacionado reduz a amplitude da hibridização quando o nível da impureza está ocupado. Estudam-se os efeitos da adição deste termo no AIM original, investiga-se a densidade de estados (DOS) e a susceptibilidade magnética. Utiliza-se um esquema de desacoplamento das funções de Green, equivalente a uma aproximação de campo médio efetivo, para estudar o AIMC. Alguns conceitos e técnicas são revisados e compara-se vários resultados conhecidos para o AIM (incluindo a solução exata para um caso particular) com os resultados encontrados neste trabalho / We study the Anderson Model for one Imputity (AIM), incorporating the correlated hopping term (AIMC). The model considers a wide band metal substrate and one impurity, the latter with a single non degenerate spin. The correlated hopping coupling constant reduces the hybridization amplitude when the impurity level is occupied. We study the effects of adding this term to the original AIM, probing the impurity density of states (DOS) and the susceptibility. We use a decoupling Green´s function scheme, equivalent to an effective medium approach in order to study the AIMC. We review some of the concepts and techniques involved and compare several of the known results for the AIM (including an exact solution for a particular case) with our results

Calculamos a densidade espectral do modelo de Anderson de duas impurezas por meio de uma extensão do grupo de renormalização numérico (GRN) preservando a assimetria partícula-buraco do modelo. O estado fundamental deste modelo depende fortemente da competição entre a interação RKKY 1 e a temperatura de Kondo TK. Essa competição gera três regimes característicos: (i) 11\\ « k B TK, regime Kondo; (ii) - 1» kBTK, regime ferromagnético; and (iii) 1» kBTK, regime antiferromagnético. O Hamiltoniano é invariante sob inversão das coordenadas da impureza ± R/2. Seus auto-estados, portanto, podem ser classificados de acordo com a paridade. Calculamos as densidades espectrais par e ímpar para os parâmetros representativos do modelo em cada um dos três regimes mencionados acima. Várias características dos resultados numéricos, associadas com a formação de um tripleto ou singleto entre as impurezas e com o efeito Kondo, são discutidas. / We calculated the spectral density for the two-impurity Anderson model by means of an extension of the numerical renormalization-group (NRG) preserving the particle-hole asymmetry of the model. The ground state of this model depends strongly on the competition between the RKKY interaction I and the Kondo temperature TK. That competition generates three characteristic regimes: (i) 11\\« kBTK, Kondo regime; (ii) - I» kBTK, ferromagnetic regime; and (iii) I > > k B TK, antiferromagnetic regime. The Hamiltonian is invariant under inversion of the impurity coordinates ± R/2 . Its eigenstates can therefare be classified according to parity. We have calculated the even and odd spectral densities for model parameters representative of each of the three above mentioned regimes. Various features af the numerical results, associated with the formation of an impurity singlet ar triplet and with the Kondo effect, are discussed.

Investigamos a transição de localização induzida por desordem em condensados de Bose- Einstein em redes unidimensionais, no limite não interagente, utilizando os modelos de Anderson e de Aubry-Andr´e para a desordem. Através de diagonalização numérica exata, mostramos que, além da fração de superfluído, usualmente empregada, outras ferramentas, como o emaranhamento e a fidelidade, são indicadores claros da transição. Os valores críticos que encontramos para a amplitude da desordem estão de acordo com os resultados conhecidos para a transição de Anderson nos dois modelos. É interessante ressaltar que a fidelidade exibe boa precisão mesmo para redes pequenas. Efeitos do tamanho do sistema são analisados em detalhe para os dois modelos. Isto inclui a determinação de uma lei de escala de tamanho finito para a amplitude de desordem crítica no modelo de Anderson. Já no modelo de Aubry-André observamos que efeitos de tamanho finito são muito menos pronunciados, estando basicamente associados a diferenças entre tamanho de rede e periodicidade do potencial. / We investigate the disorder-induced localization transition in Bose-Einstein condensates on one-dimensional lattices, in the non-interacting limit, utilizing the Anderson and Aubry- Andr´e models for disorder. Using exact numerical diagonalization, we show that, in addition to the standard superfluid fraction, other tools such as the entanglement and fidelity can provide clear signatures of the transition. The critical values we find for the disorder amplitude are in agreement with known results for the Anderson transition in both models. Interestingly, the fidelity exhibits good sensitivity even for small lattices. System-size effects are analyzed in detail for both models. This includes the determination of a finite-size-scaling law for the critical disorder strength in the case of the Anderson model. For the Aubry- Andr´e model we observe that finite-size effects are much less pronounced, being basically associated with the mismatching between lattice size and periodicity of the potential.