Ce travail comporte deux parties. La première partie est une étude bibliographique sur la modélisation du frottement sec et sur les différentes lois de frottement qui ont été introduites pour rendre compte des instabilités du mouvement des solides soumis à la friction sèche. La deuxième partie est une étude théorique et numérique d'un problème modèle dynamique où une lois de type Coulomb avec coefficient de frottement dépendant de la vitesse de glissement est appliquée à un solide élastique. Le cadre des inclusions différentielles est introduit pour traiter rigoureusement les modèles à nombre fini de degré de liberté et à pression de contact imposée. Ce cadre sert ensuite à l'analyse en détail d'un problème unidimensionnel d'une couche élastique glissant avec frottement sur une fondation rigide plane. On montre l'existence et l'unicité de la solution lorsque le coefficient de frottement est croissant, mais lorsque celui-ci comporte au moins une portion décroissante, ce qui est le cas dans la plupart des modélisation, on montre que le problème admet en général une infinité de solutions. Cela amène à considerer un critère de choix de solution appelé critère de retard maximal. Par ailleurs, on introduit une condition de frottement perturbée qui consiste en l'ajout d'une masse de surface et qui redonne aussi l'unicité de la solution. On montre le lien entre le critère de retard maximal et cette condition perturbée. On présente aussi des schémas numériques, des résultats de stabilité et de convergence, ainsi que des expériences numériques. On donne enfin des perspectives pour les problèmes en dimension deux ou trois. On présente des simulations numériques significatives, obtenues à l'aide d'un schéma numérique basé sur une méthode de type directions alternées, et sur la perturbation par une masse de surface.