Multiquadric collocation method is highly efficient for solving partial differential equations due to its exponential error convergence rate. More amazingly, there are two ways to reduce the error: the traditional way of refining the grid, and the unexpected way of simply increasing the value of shape constant $c$ contained in the multiquadric basis function, $sqrt{r^2 + c^2}$. The latter is accomplished without increasing computational cost. It has been speculated that in a numerical solution without roundoff error, infinite accuracy can be achieved by letting $c ightarrow infty$. The ability to obtain infinitely accurate solution is limited only by the roundoff error induced instability of matrix solution with large condition number. Using the arbitrary precision computation capability of {it Mathematica}, this paper tests the above conjecture. A sharper error estimate than previously obtained is presented in this paper. A formula for a finite, optimal $c$ value that minimizes the solution error for a given grid size is obtained. Using residual errors, constants in error estimate and optimal $c$ formula can be obtained. These results are supported by numerical examples.

Many types of radial basis functions, such as multiquadrics, contain a free parameter called shape factor, which controls the flatness of RBFs. In the 1-D problems, Fornberg et al. [2] proved that with simple conditions on the increasingly flat radial basis function, the solutions converge to the Lagrange interpolating. In this report, we study and extend it to the 1-D Poisson equation RBFs direct solver, and observed that the interpolants converge to the Spectral Collocation Method using Polynomial. In 2-D, however, Fornberg et al. [2] observed that limit of interpolants fails to exist in cases of highly regular grid layouts. We also test this in the PDEs solver and found the error behavior is different from interpolating problem.

Gerenciar riscos é fundamental para que investimentos estejam protegidos de quaisquer fatores que possam modificar um cenário idealizado. Imprevistos não podem ser controlados, mas seus impactos podem ser minimizados se forem tomadas medidas de planejamento considerando diversos cenários da realidade. A indústria mineral se encaixa neste paradigma, pois diversas de suas áreas são estocásticas, desde flutuações econômicas e políticas até fenômenos relativos ao clima e à geologia. Uma destas características de difícil previsão é o volume das mineralizações em um depósito. Um cenário ideal é aquele em que é conhecido o valor esperado da variável de interesse, bem como sua dispersão, com mínimo e máximo definidos. Isto pode ser obtido a partir da combinação dos resultados de estimativa, que resultam em um valor esperado, aliados ao resultado das simulações, em que pode ser obtida a variância entre todos os cenários equiprováveis. Este trabalho propõe uma técnica para quantificar a incerteza dos volumes na modelagem geológica de domínios mineralizados em dois modelos geológicos, interpolado e interpretado, através da transferência da variância obtida nos resultados da simulação, e desta forma criar uma ferramenta de gerenciamento de risco e planejamento a partir dos resultados de incerteza. Para isto foram utilizados os dados de descrição geológica de 168 testemunhos de sondagem de um depósito de cobre, localizado no norte da Bahia. Os resultados mostraram a possibilidade em se utilizar os dados de variância da simulação para quantificar a incerteza em cada domínio do depósito. A partir do volume esperado em determinado modelo, e com os valores da variância da simulação, foi possível identificar uma gama de possibilidades volumétricas. Adicionalmente, a probabilidade de que cada bloco faça parte de um domínio foi calculada, e os volumes dos domínios foram parametrizados para auxiliar na avaliação da incerteza. / Managing risks is essential for investments being safe from any factors that may modify an idealized scenario. Unpredictabilities cannot be controlled, but their impacts can be minimized if planning measures are taken considering various scenarios of reality. The mining industry fits this paradigm, since several of its fields are stochastic, from economic and political fluctuations to phenomena related to climate and geology. One of these characteristics, which are difficult to predict, is the volume of mineralization at the deposit. An ideal scenario is the one in which both the expected value and its dispersion are known, with defined minimum and maximum. This can be achieved with the combination of results from estimates and simulations, the first providing the expected value and the last providing the variance of the variable. This research proposes a technique to quantify the volumetric uncertainty in geological modeling of mineralized domains on two geological models, interpreted and interpolated, by transferring the variance obtained in the simulation results, thus creating a risk and planning management tool from the uncertainty results. For that, we used a geological logging from a database set with 168 drillholes of a copper deposit located north of Bahia state, Brazil. The results showed that it is possible to use the variance from simulation to quantify the uncertainty in each deposit domain. Using the expected volume value in a specific model with the variance values of the simulations, it were able to identify a range of possibilities for the volumetric content of each domain. In addition, the probability of each block being a domain was calculated, resulting in a volume parametrization by probability that can assist in the uncertainty analysis.

Esta tese apresenta um estudo com base em zoneamentos de parâmetros geotécnicos provenientes de sondagens rotativas, realizadas no maciço basáltico, localizado na área das obras de Usina Hidrelétrica de Itaipu (Foz do Iguaçu - PR). Estes zoneamentos foram realizados a partir de interpolação dos dados por meio de krigagem ordinária e equações multiquádricas. Os dados provenientes de sondagens rotativas analisados nesta pesquisa são: Rock Quality Designation (RQD), grau de alteração, grau de consistência e grau de fraturamento. Os métodos de interpolação foram avaliados para o parâmetro de RQD, pois tais métodos apresentam características matemáticas similares, assim, foram comparadas interpolações realizadas com krigagem ordinária e equações multiquádricas, sendo comprovada a similaridade destes métodos com dados reais. Sendo assim, os demais parâmetros, por se caracterizarem como variáveis categóricas e, portanto, discretas, e apresentarem complexidade para realização da análise variográfica dos dados (semivariograma experimental e modelagem do semivariograma), foram interpolados apenas pelo método das equações multiquádricas. A validação dos dados interpolados foi realizada a partir de um estudo de caso relativo ao comportamento hidrogeotécnico do maciço rochoso, o qual é monitorado por piezômetros do tipo standpipe. Esta validação mostrou que os métodos utilizados para obter os zoneamentos e os parâmetros de modelagem considerados foram adequados, pois se verificou alta correlação entre as tendências de comportamento obtidas pelas interpolações dos parâmetros geotécnicos do maciço rochoso e o comportamento revelado pelo conjunto de piezômetros instalados no mesmo local. Este trabalho teve como etapa primordial o levantamento de dados históricos relativos às investigações geológico-geotécnicas da área das obras de Itaipu, a partir destes dados foi composto um mapa interativo de localização dos diferentes tipos de investigação realizados no substrato rochoso e terroso. Tal documento permite uma busca rápida e dinâmica das informações geotécnicas, pois apresenta como referência a própria planta da barragem de Itaipu. Cada ponto de investigação está vinculado ao perfil geotécnico. As investigações utilizadas neste mapa são: sondagem rotativa, sondagem à percussão (SPT), ensaio de cone (CPT) e poço manual. Sendo assim, o resgate das informações históricas obtidas nas campanhas de investigação geotécnica na área das obras de Itaipu, resultou na compilação dos dados de forma digital, em que foi elaborado um conjunto de planilhas com formato capaz de ser utilizado em diferentes Sistemas de Informação Geográfica e de interpolação de dados georreferenciados. / This thesis presents a study based on the zoning of geotechnical parameters resulting from core boring, carried out in the basaltic bedrock located in the area of the Itaipu Hydroelectric Power Plant (Foz do Iguaçu - PR). These zonings were carried out based on the interpolation of the data by means of ordinary kriging and multiquadric equations. The data provided by core boring analyzed in this research are: Rock Quality Designation (RDQ), degree of alteration, degree of consistency and degree of fracturing. The interpolation methods were evaluated for the RQD parameter, since such methods present similar mathematical characteristics; therefore, comparisons were made between interpolations resulting from ordinary kriging and multiquadric equations, demonstrating the similarity of these methods with real data. In this manner, the remaining parameters due to being categorized as categorical variables and, therefore, discrete, and presenting complexity for the execution of the variographic analysis of the data (experimental semi-variogram and modeling of the semi-variogram), were interpolated only by the method of the multiquadric equations. The validation of the interpolated data was carried out on the basis of a case study relating to the hydrogeotechnical behavior of the bedrock mass, which is monitored by standpipe piezometers. This validation showed that the methods employed to obtain the zonings and the modeling parameters chosen were adequate, since a high correlation was verified between the behavior trends obtained by the interpolations of the geotechnical parameters of the bedrock mass and the behavior revealed by the set of piezometers installed in the same site. The primordial stage of this job was the acquisition of historical data relating to the geological-geotechnical investigations in the area of Itaipu Dam. This data served as a starting point for the composition of an interactive map showing the location of the different types of investigations carried out in the rock and earthen masses. The resulting document permit a rapid and dynamic search through the geotechnical information, since it presents as its reference the plan view of the Itaipu dam itself. Each point of investigation is linked to the geotechnical profile. The investigations utilized in this map are: core boring, standard penetration test (SPT), cone penetration test (CPT) and manual pit. In this manner, the recovery of the historical information obtained by the geotechnical investigation the Itaipu Dam area resulted in data compilations in digital format, based upon which, a set of tabular forms was obtained of a type capable of being utilized in different Systems of Geographical Information and of interpolation of geo-referenced data.

Esta tese apresenta um estudo com base em zoneamentos de parâmetros geotécnicos provenientes de sondagens rotativas, realizadas no maciço basáltico, localizado na área das obras de Usina Hidrelétrica de Itaipu (Foz do Iguaçu - PR). Estes zoneamentos foram realizados a partir de interpolação dos dados por meio de krigagem ordinária e equações multiquádricas. Os dados provenientes de sondagens rotativas analisados nesta pesquisa são: Rock Quality Designation (RQD), grau de alteração, grau de consistência e grau de fraturamento. Os métodos de interpolação foram avaliados para o parâmetro de RQD, pois tais métodos apresentam características matemáticas similares, assim, foram comparadas interpolações realizadas com krigagem ordinária e equações multiquádricas, sendo comprovada a similaridade destes métodos com dados reais. Sendo assim, os demais parâmetros, por se caracterizarem como variáveis categóricas e, portanto, discretas, e apresentarem complexidade para realização da análise variográfica dos dados (semivariograma experimental e modelagem do semivariograma), foram interpolados apenas pelo método das equações multiquádricas. A validação dos dados interpolados foi realizada a partir de um estudo de caso relativo ao comportamento hidrogeotécnico do maciço rochoso, o qual é monitorado por piezômetros do tipo standpipe. Esta validação mostrou que os métodos utilizados para obter os zoneamentos e os parâmetros de modelagem considerados foram adequados, pois se verificou alta correlação entre as tendências de comportamento obtidas pelas interpolações dos parâmetros geotécnicos do maciço rochoso e o comportamento revelado pelo conjunto de piezômetros instalados no mesmo local. Este trabalho teve como etapa primordial o levantamento de dados históricos relativos às investigações geológico-geotécnicas da área das obras de Itaipu, a partir destes dados foi composto um mapa interativo de localização dos diferentes tipos de investigação realizados no substrato rochoso e terroso. Tal documento permite uma busca rápida e dinâmica das informações geotécnicas, pois apresenta como referência a própria planta da barragem de Itaipu. Cada ponto de investigação está vinculado ao perfil geotécnico. As investigações utilizadas neste mapa são: sondagem rotativa, sondagem à percussão (SPT), ensaio de cone (CPT) e poço manual. Sendo assim, o resgate das informações históricas obtidas nas campanhas de investigação geotécnica na área das obras de Itaipu, resultou na compilação dos dados de forma digital, em que foi elaborado um conjunto de planilhas com formato capaz de ser utilizado em diferentes Sistemas de Informação Geográfica e de interpolação de dados georreferenciados. / This thesis presents a study based on the zoning of geotechnical parameters resulting from core boring, carried out in the basaltic bedrock located in the area of the Itaipu Hydroelectric Power Plant (Foz do Iguaçu - PR). These zonings were carried out based on the interpolation of the data by means of ordinary kriging and multiquadric equations. The data provided by core boring analyzed in this research are: Rock Quality Designation (RDQ), degree of alteration, degree of consistency and degree of fracturing. The interpolation methods were evaluated for the RQD parameter, since such methods present similar mathematical characteristics; therefore, comparisons were made between interpolations resulting from ordinary kriging and multiquadric equations, demonstrating the similarity of these methods with real data. In this manner, the remaining parameters due to being categorized as categorical variables and, therefore, discrete, and presenting complexity for the execution of the variographic analysis of the data (experimental semi-variogram and modeling of the semi-variogram), were interpolated only by the method of the multiquadric equations. The validation of the interpolated data was carried out on the basis of a case study relating to the hydrogeotechnical behavior of the bedrock mass, which is monitored by standpipe piezometers. This validation showed that the methods employed to obtain the zonings and the modeling parameters chosen were adequate, since a high correlation was verified between the behavior trends obtained by the interpolations of the geotechnical parameters of the bedrock mass and the behavior revealed by the set of piezometers installed in the same site. The primordial stage of this job was the acquisition of historical data relating to the geological-geotechnical investigations in the area of Itaipu Dam. This data served as a starting point for the composition of an interactive map showing the location of the different types of investigations carried out in the rock and earthen masses. The resulting document permit a rapid and dynamic search through the geotechnical information, since it presents as its reference the plan view of the Itaipu dam itself. Each point of investigation is linked to the geotechnical profile. The investigations utilized in this map are: core boring, standard penetration test (SPT), cone penetration test (CPT) and manual pit. In this manner, the recovery of the historical information obtained by the geotechnical investigation the Itaipu Dam area resulted in data compilations in digital format, based upon which, a set of tabular forms was obtained of a type capable of being utilized in different Systems of Geographical Information and of interpolation of geo-referenced data.

Gerenciar riscos é fundamental para que investimentos estejam protegidos de quaisquer fatores que possam modificar um cenário idealizado. Imprevistos não podem ser controlados, mas seus impactos podem ser minimizados se forem tomadas medidas de planejamento considerando diversos cenários da realidade. A indústria mineral se encaixa neste paradigma, pois diversas de suas áreas são estocásticas, desde flutuações econômicas e políticas até fenômenos relativos ao clima e à geologia. Uma destas características de difícil previsão é o volume das mineralizações em um depósito. Um cenário ideal é aquele em que é conhecido o valor esperado da variável de interesse, bem como sua dispersão, com mínimo e máximo definidos. Isto pode ser obtido a partir da combinação dos resultados de estimativa, que resultam em um valor esperado, aliados ao resultado das simulações, em que pode ser obtida a variância entre todos os cenários equiprováveis. Este trabalho propõe uma técnica para quantificar a incerteza dos volumes na modelagem geológica de domínios mineralizados em dois modelos geológicos, interpolado e interpretado, através da transferência da variância obtida nos resultados da simulação, e desta forma criar uma ferramenta de gerenciamento de risco e planejamento a partir dos resultados de incerteza. Para isto foram utilizados os dados de descrição geológica de 168 testemunhos de sondagem de um depósito de cobre, localizado no norte da Bahia. Os resultados mostraram a possibilidade em se utilizar os dados de variância da simulação para quantificar a incerteza em cada domínio do depósito. A partir do volume esperado em determinado modelo, e com os valores da variância da simulação, foi possível identificar uma gama de possibilidades volumétricas. Adicionalmente, a probabilidade de que cada bloco faça parte de um domínio foi calculada, e os volumes dos domínios foram parametrizados para auxiliar na avaliação da incerteza. / Managing risks is essential for investments being safe from any factors that may modify an idealized scenario. Unpredictabilities cannot be controlled, but their impacts can be minimized if planning measures are taken considering various scenarios of reality. The mining industry fits this paradigm, since several of its fields are stochastic, from economic and political fluctuations to phenomena related to climate and geology. One of these characteristics, which are difficult to predict, is the volume of mineralization at the deposit. An ideal scenario is the one in which both the expected value and its dispersion are known, with defined minimum and maximum. This can be achieved with the combination of results from estimates and simulations, the first providing the expected value and the last providing the variance of the variable. This research proposes a technique to quantify the volumetric uncertainty in geological modeling of mineralized domains on two geological models, interpreted and interpolated, by transferring the variance obtained in the simulation results, thus creating a risk and planning management tool from the uncertainty results. For that, we used a geological logging from a database set with 168 drillholes of a copper deposit located north of Bahia state, Brazil. The results showed that it is possible to use the variance from simulation to quantify the uncertainty in each deposit domain. Using the expected volume value in a specific model with the variance values of the simulations, it were able to identify a range of possibilities for the volumetric content of each domain. In addition, the probability of each block being a domain was calculated, resulting in a volume parametrization by probability that can assist in the uncertainty analysis.