Dans cette thèse, nous nous intéressons à des inclusions de la forme 0∈ f( x) + F(x), où f est une application univoque et F est une application multivoque à graphe fermé. Ces dernières années, diverses méthodes de résolutions d'inclusions de ce type ont été développées par les chercheurs et, après un bref rappel sur quelques notions d'analyse (univoque et multivoque) nous en présentons quelques unes utilisant l'hypothèse de régularité métrique sur l'application multivoque. Dans la suite de notre travail, plutôt que d'utiliser cette hypothèse de régularité métrique, nous lui préférons des hypothèses directement liées à la solution qui sont la semistabilité et l'hemistabilité. Notons que la semistabilité d'une solution x̅ de l'inclusion 0∈G(x) est en fait équivalente à la sous-régularité métrique forte de l'application multivoque G en x̅ pour 0. Après avoir présenté des méthodes utilisant la semistabilité et l'hemistabilité, nous exposons les nouveaux résultats auxquels nous avons abouti qui consistent essentiellement en des améliorations des méthodes présentées. Ce que nous entendons par améliorations se décline en deux points principaux : soit nous obtenons un meilleur taux de convergence, soit nous utilisons des hypothèses plus faibles qui nous permettent d'obtenir des taux de convergence similaires. / In this thesis, we focus on inclusions in the form of 0∈ f( x) + F(x), where f is a single-valued function and F is a set-valued map with closed graph. In the last few years, various methods to solve such inclusions have been developed; after having recalled some notions in analysis (single-valued and set-valued) we present some of them using metric regularity on the set-valued map. Then, instead of considering this metric regularity assumption, we prefer assumptions which are directly connected to the solution, that are semistability and hemistability. One can note that semistabily of a solution x̅ of the inclusion 0∈G(x) is actually equivalent strong metric subregularity on the set-valued map G at x̅ for 0. After having presented some methods using semistability and hemistability, we show the new results we obtained, most of them being improvement of the presented methods. What we mean by improvement is mainly a better convergence rate on the one hand, and weaker assumptions that lead to similar convergence rate, on the other.

Ce mémoire résume une quinzaine d'années de recherche dans le monde industriel et universitaire. Il est divisé en trois parties, traitant respectivement de la théorie de la morphologie mathématique, des systèmes dynamiques et enfin des applications au traitement des images. En morphologie mathématique, nos travaux ont porté principalement sur le filtrage et la segmentation d'images. En ce qui concerne le filtrage, nous avons proposé un algorithme quasi-linéaire pour calculer l'arbre des composantes, une des structures d'organisation naturelles des ensembles de niveaux d'une image. En segmentation, nous nous sommes principalement intéressé à la ligne de partage des eaux. Nous en avons proposé une définition continue. En nous servant du formalisme récemment introduit par Gilles Bertrand, nous avons comparé les propriétés de plusieurs définitions discrètes et nous avons proposé un algorithme quasi-linéaire permettant de calculer la ligne de partage des eaux topologique. Notre algorithme repose en partie sur celui de l'arbre des composantes. Enfin, nous avons proposé des schémas hiérarchiques pour utiliser la ligne de partage des eaux, et en particulier, nous avons proposé de valuer les contours produits par un critère de saillance donnant l'importance du contour dans la hiérarchie. Ces études nous ont conduit à proposer des classes de graphes adaptés pour la fusion de région, mettant en particulier en évidence l'équivalence existant entre une de ces classes de graphes et la classe des graphes pour lesquels toute ligne de partage des eaux binaire est mince. En ce qui concerne les systèmes dynamiques, nous avons utilisé les outils issus du cadre de l'analyse multivoque et de la théorie de la viabilité pour proposer un algorithme (dit des "Montagnes Russes") qui permet de converger vers le minimum global d'une fonction dont on connaît l'infimum. L'association du cadre algébrique des treillis complets, de l'algèbre et de la théorie des inclusions différentielles nous a permis de donner des propriétés algébriques et de continuité d'applications agissant sur des ensembles fermés, comme l'ensemble atteignable ou le noyau de viabilité. Nous avons utilisé le cadre des équations mutationnelles, permettant de dériver des tubes de déformations de formes dans des espaces métriques, pour prouver de manière rigoureuse et sans hypothèse de régularité sur la forme, l'intuition selon laquelle la dilatation transforme la forme dans la direction des normales à celle-ci en chacun de ses points. Nous avons adapté au cadre des équations mutationnelles le théorème d'Euler, qui permet d'approcher une solution à une équation mutationnelle par une s'equence de points dans un espace métrique. Enfin, nous avons proposé une approche générique de simulation, fondée sur les systèmes de particules, qui a prouvé son efficacité par sa mise en œuvre en milieu industriel, en particulier, pour la simulation de foules, pour la synthèse d'images, ou encore pour la simulation du déploiement d'airbags. Nous pensons que de bonnes études théoriques aident à réaliser des applications de qualité. Inversement, de bons problèmes théoriques peuvent trouver une source dans de bons problèmes applicatifs. On trouvera dans ce mémoire le résumé d'un certain nombre de travaux dont l'intérêt industriel a été prouvé par des brevets ou des logiciels. Citons par exemple un outil de segmentation 4D (3D+temps) en imagerie cardiaque utilisé par des médecins dans le cadre de leur pratique. Nous avons travaillé pendant plusieurs années dans le domaine du traitement d'images de documents. Nous avons proposé un outil basé sur la morphologie mathématique permettant d'estimer l'angle d'inclinaison d'un document scanné. Plus particulièrement, nous avons étudié des problèmes liés à l'indexation et à la reconnaissance de dessins techniques.

Les travaux de cette thèse portent sur les prédérivées d'applications multivoques et la théorie de l'optimisation. Dans un premier temps, nous établissons des résultats d'existence de différents types de prédérivées pour certaines classes d'applications. Spécialement, pour des applications multivoques possédant certaines propriétés de convexité. Par la suite, nous appliquons ces résultats dans le cadre de la théorie de l'optimisation multivoque en établissant des conditions nécessaires et des conditions suffisantes d'optimalité. Sous des hypothèses de convexité, nous établissons des résultats naturels propres aux minimiseurs en optimisation convexe. Ensuite, nous appliquons quelques uns de nos résultats théoriques à un modèle de l'économie du bien-être en établissant notamment une équivalence entre les allocations optimales faibles de Pareto du modèle économique et les minimiseurs faibles d'un problème d'optimisation multivoque associé. D'autre part, en utilisant certaines notions d'intérieur généralisé existant dans la littérature, nous discutons dans un cadre unifié divers concepts de minimiseurs relaxés. En vue d'étudier leur stabilité, nous introduisons une topologie sur des espaces vectoriels ordonnés dont découle une notion de convergence nous permettant de définir deux concepts de convergence variationnelle qui sont ensuite utilisés pour établir la stabilité supérieure et la stabilité inférieure des ensembles de minimiseurs relaxés considérés dans ce travail. / This work is devoted to the study of prederivatives of set-valued maps and the theory of optimization. First, we establish results regarding the existence of several kinds of prederivatives for some classes set-valued maps. Specially for set-valued maps enjoying convexity properties. Subsequently, we apply our results in the framework of set optimization by establishing both necessary and sufficient optimality conditions, involving such prederivatives, for set optimization problems. Under convexity assumptions, we prove some natural results fitting the paradigm of minimizers in convex optimization. Then, we apply some of our theoretical results to a model of welfare economics by establishing in particular an equivalence between the weak Pareto optimal allocations of the model and the weak minimizes of a set optimization problem associated. Taking adventadge of several generalized interiority notions existing in the literature, we discuss in a unified way corresponding notions of relaxed minimizers In order to establish stability results, we introduce a topology on vector ordered spaces from which we derive a concept of convergence that we use to define two concepts of variational convergence that allow us to study both the upper and the lower stability of sets of relaxed minimizers we consider.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes de point fixe pour des contractions multivoques définies sur des espaces métriques, et, sur des espaces de jauges munis d’un graphe. Nous illustrons également les applications de ces résultats à des inclusions intégrales et à la théorie des fractales. Cette thèse est composée de quatre articles qui sont présentés dans quatre chapitres. Dans le chapitre 1, nous établissons des résultats de point fixe pour des fonctions multivoques, appelées G-contractions faibles. Celles-ci envoient des points connexes dans des points connexes et contractent la longueur des chemins. Les ensembles de points fixes sont étudiés. La propriété d’invariance homotopique d’existence d’un point fixe est également établie pour une famille de Gcontractions multivoques faibles. Dans le chapitre 2, nous établissons l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions intégrales de Hammerstein sous des conditions de type de monotonie mixte. L’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions différentielles avec conditions initiales ou conditions aux limites périodiques est également obtenue. Nos résultats s’appuient sur nos théorèmes de point fixe pour des G-contractions multivoques faibles établis au chapitre 1. Dans le chapitre 3, nous appliquons ces mêmes résultats de point fixe aux systèmes de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté. Plus précisément, nous construisons un espace métrique muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés. En utilisant les points fixes de cette G-contraction, nous obtenons plus d’information sur les attracteurs de ces systèmes de fonctions itérées. Dans le chapitre 4, nous considérons des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe. Nous prouvons un résultat de point fixe pour des fonctions multivoques qui envoient des points connexes dans des points connexes et qui satisfont une condition de contraction généralisée. Ensuite, nous étudions des systèmes infinis de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté (H-IIFS). Nous donnons des conditions assurant l’existence d’un attracteur unique à un H-IIFS. Enfin, nous appliquons notre résultat de point fixe pour des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe pour obtenir plus d’information sur l’attracteur d’un H-IIFS. Plus précisément, nous construisons un espace de jauges muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés tels que ses points fixes sont des sous-attracteurs du H-IIFS. / In this thesis, we present fixed point theorems for multivalued contractions defined on metric spaces, and, on gauge spaces endowed with directed graphs. We also illustrate the applications of these results to integral inclusions and to the theory of fractals. chapters. In Chapter 1, we establish fixed point results for the maps, called multivalued weak G-contractions, which send connected points to connected points and contract the length of paths. The fixed point sets are studied. The homotopical invariance property of having a fixed point is also established for a family of weak G-contractions. In Chapter 2, we establish the existence of solutions of systems of Hammerstein integral inclusions under mixed monotonicity type conditions. Existence of solutions to systems of differential inclusions with initial value condition or periodic boundary value condition are also obtained. Our results rely on our fixed point theorems for multivalued weak G-contractions established in Chapter 1. In Chapter 3, those fixed point results for multivalued G-contractions are applied to graph-directed iterated function systems. More precisely, we construct a suitable metric space endowed with a graph G and an appropriate G-contraction. Using the fixed points of this G-contraction, we obtain more information on the attractors of graph-directed iterated function systems. In Chapter 4, we consider multivalued maps defined on a complete gauge space endowed with a directed graph. We establish a fixed point result for maps which send connected points into connected points and satisfy a generalized contraction condition. Then, we study infinite graph-directed iterated function systems (H-IIFS). We give conditions insuring the existence of a unique attractor to an H-IIFS. Finally, we apply our fixed point result for multivalued contractions on gauge spaces endowed with a graph to obtain more information on the attractor of an H-IIFS. More precisely, we construct a suitable gauge space endowed with a graph G and a suitable multivalued G-contraction such that its fixed points are sub-attractors of the H-IIFS.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Le but de cette thèse est d'étudier la méthode de Newton pour résoudre numériquement les inclusions variationnelles, appelées aussi dans la littérature les équations généralisées. Ces problèmes engendrent en général des opérateurs multivoques. La première partie est dédiée à l'extension des approches de Kantorovich et la théorie (alpha, gamma) de Smale (connues pour les équations non-linéaires classiques) au cas des inclusions variationnelles dans les espaces de Banach. Ceci a été rendu possible grâce aux développements récents des outils de l'analyse variationnelle et non-lisse tels que la régularité métrique. La seconde partie est consacrée à l'étude de méthodes numériques de type-Newton pour les inclusions variationnelles en utilisant la différentiabilité généralisée d'applications multivoques où nous proposons de linéariser à la fois les parties univoques (lisses) et multivoques (non-lisses). Nous avons montré que, sous des hypothèses sur les données du problème ainsi que le choix du point de départ, la suite générée par la méthode de Newton converge au moins linéairement vers une solution du problème de départ. La convergence superlinéaire peut-être obtenue en imposant plus de conditions sur l'approximation multivaluée. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des équations généralisées dans les variétés Riemaniennes à valeurs dans des espaces euclidiens. Grâce à la relation entre la structure géométrique des variétés et les applications de rétractions, nous montrons que le schéma de Newton converge localement superlinéairement vers une solution du problème. La convergence quadratique (locale et semi-locale) peut-être obtenue avec des hypothèses de régularités sur les données du problème. / This thesis is devoted to present some results in the scope of Newton-type methods applied for inclusion involving set-valued mappings. In the first part, we follow the Kantorovich's and/or Smale's approaches to study the convergence of Josephy-Newton method for generalized equation (GE) in Banach spaces. Such results can be viewed as an extension of the classical Kantorovich's theorem as well as Smale's (alpha, gamma)-theory which were stated for nonlinear equations. The second part develops an algorithm using set-valued differentiation in order to solve GE. We proved that, under some suitable conditions imposed on the input data and the choice of the starting point, the algorithm produces a sequence converging at least linearly to a solution of considering GE. Moreover, by imposing some stronger assumptions related to the approximation of set-valued part, the proposed method converges locally superlinearly. The last part deals with inclusions involving maps defined on Riemannian manifolds whose values belong to an Euclidean space. Using the relationship between the geometric structure of manifolds and the retraction maps, we show that, our scheme converges locally superlinearly to a solution of the initial problem. With some more regularity assumptions on the data involved in the problem, the quadratic convergence (local and semi-local) can be ensured.