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Load research is the study of load characteristics on a power distribution system which helps planning engineer make decisions about equipment ratings and future expansion decisions. As it is expensive to collect and maintain data across the entire system, data is collected only for a sample of customers, where the sample is divided into groups based upon the customer class. These sample measurements are used to calculate the load research factors like kWHr-to-peak kW conversion factors, diversity factors and 24 hour average consumption as a function of class, month and day type. These factors are applied to the commonly available monthly billing kW data to estimate load on the system. Among various customers on a power system, industrial customers form an important group for study as their annual kWHr consumption is among the highest. Also the errors with which the estimates are calculated are also highest for this class. Hence we choose the industrial class to demonstrate the Lawson-Hanson Non-Negative Least Square (NNLS) optimization technique to minimize the residual squared error between the estimated loads and the SCADA currents on the system. Five feeders with industrial dominant customers are chosen to demonstrate the improvement provided by the NNLS model. The results showed significant improvement over the Nonlinear Load Research Estimation (NLRE) method. / Master of Science

Ce travail de thèse porte sur l’étude théorique de la fragmentation de petits agrégats carbonés et d’hydrocarbures neutres par le modèle statistique Micarocanonical Metropolis Monte Carlo (MMMC). Ce modèle décrit, à contrainte d’énergie fixée, l’espace des phases associé à tous les degrés de liberté accessibles au système (partitions des masses, mouvements de translation et de rotation, spin et moment angulaire des fragments, etc.). Les ingrédients de base du modèle (énergies de dissociation, géométries, fréquences de vibration etc.) doivent être obtenus par un calcul ab initio. Ils ont été calculés à l’aide de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) au niveau de calcul B3LYP/6-311+G(3df). Les probabilités obtenues des voies de fragmentation en fonction de l’énergie d’excitation, ont été comparées aux données expérimentales obtenues auprès du Tandem. Des faisceaux de haute vitesse (projectile de Cn+ à v = 2.6 u.a. et de CnH+ à v = 4.5 u.a.) entraient en interaction avec les noyaux d’hélium. Tous les rapports de branchement des voies de fragmentation des Cn (n ≤ 9) et des CnH (n ≤ 4) résultant de capture électroniques ont été mesurés. La distribution d’énergie d’excitation de l’agrégat parent a du être ajustée pour que les mesures expérimentales soient reproduites d’une façon optimale, à l’aide de deux algorithmes : Non-Negative Least Squares et backtracing Bayesien. La comparaison des probabilités théoriques et expérimentales montre un bon accord global. Les deux algorithmes de minimisation ont convergé vers des distributions d’énergie déposée présentant des pics. Ces pics pourraient être la signature d’états moléculaires spécifiques jouant un rôle dans la fragmentation du cluster. / This thesis deals with the theoretical study of the fragmentation of small neutral carbon and hydrocarbon clusters using a statistical model called Microcanonical Metropolis Monte Carlo (MMMC). This model describes, at a given energy, the phase space associated with all the degrees of freedom accessible to the system (partition of the mass, translation and rotation, spin and angular momentum of the fragments, etc.). The basic ingredients of the model (cluster geometries, dissociation energies, harmonic frequencies, etc.) are obtained, for both the parent cluster and the fragments, by an ab initio calculation. These parameters were calculated using the density functional theory (DFT) at the B3LYP/6-311+G(3df) level. The results obtained for the probabilities of the fragmentation channels as a function of the excitation energy, were compared with the experimental data obtained at the Orsay Tandem. High velocity cluster beams (v = 2.6 u.a. Cn+ and v = 4.5 u.a. CnH+ projectiles) interacted with helium atoms. All the branching ratios of the fragmentation channels of Cn (n ≤ 9) and CnH (n ≤ 4) resulting from electron captures were measured. The deposited energy distributions were adjusted so that the experimental measurements were optimally reproduced. Two algorithms were used: Non-Negative Least Squares and Bayesien backtracing. The comparison of the theoretical and experimental probabilities shows a good global agreement. Both algorithms result in deposited energy distributions showing peaks. These peaks could be the signatures of specific molecular states which may play a role in the cluster fragmentation.

Ce travail de thèse porte sur l'étude théorique de la fragmentation de petits agrégats carbonés et d'hydrocarbures neutres par le modèle statistique Micarocanonical Metropolis Monte Carlo (MMMC). Ce modèle décrit, à contrainte d'énergie fixée, l'espace des phases associé à tous les degrés de liberté accessibles au système (partitions des masses, mouvements de translation et de rotation, spin et moment angulaire des fragments, etc.). Les ingrédients de base du modèle (énergies de dissociation, géométries, fréquences de vibration etc.) doivent être obtenus par un calcul ab initio. Ils ont été calculés à l'aide de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) au niveau de calcul B3LYP/6-311+G(3df). Les probabilités obtenues des voies de fragmentation en fonction de l'énergie d'excitation, ont été comparées aux données expérimentales obtenues auprès du Tandem. Des faisceaux de haute vitesse (projectile de Cn+ à v = 2.6 u.a. et de CnH+ à v = 4.5 u.a.) entraient en interaction avec les noyaux d'hélium. Tous les rapports de branchement des voies de fragmentation des Cn (n ≤ 9) et des CnH (n ≤ 4) résultant de capture électroniques ont été mesurés. La distribution d'énergie d'excitation de l'agrégat parent a du être ajustée pour que les mesures expérimentales soient reproduites d'une façon optimale, à l'aide de deux algorithmes : Non-Negative Least Squares et backtracing Bayesien. La comparaison des probabilités théoriques et expérimentales montre un bon accord global. Les deux algorithmes de minimisation ont convergé vers des distributions d'énergie déposée présentant des pics. Ces pics pourraient être la signature d'états moléculaires spécifiques jouant un rôle dans la fragmentation du cluster.

Muchos problemas procedentes de aplicaciones del mundo real pueden ser modelados como problemas matemáticos con magnitudes no negativas, y por tanto, las soluciones de estos problemas matemáticos solo tienen sentido si son no negativas. Estas magnitudes no negativas pueden ser, por ejemplo, las frecuencias en una señal sonora, las intensidades de los pixeles de una imagen, etc. Algunos de estos problemas pueden ser modelados utilizando un sistema de ecuaciones lineales sobredeterminado. Cuando la solución de dicho problema debe ser restringida a valores no negativos, aparece un problema llamado problema de mínimos cuadrados no negativos (NNLS por sus siglas en inglés). La solución de dicho problema tiene múltiples aplicaciones en ciencia e ingeniería. Otra descomposición no negativa importante es la Factorización de Matrices No negativas (NMF por sus siglas en inglés). La NMF es una herramienta muy popular utilizada en varios campos, como por ejemplo: clasificación de documentos, aprendizaje automático, análisis de imagen o separación de señales sonoras. Esta factorización intenta aproximar una matriz no negativa con el producto de dos matrices no negativas de menor tamaño, creando habitualmente representaciones por partes de los datos originales. Los algoritmos diseñados para calcular la solución de estos dos problemas no negativos tienen un elevado coste computacional, y debido a ese elevado coste, estas descomposiciones pueden beneficiarse mucho del uso de técnicas de Computación de Altas Prestaciones (HPC por sus siglas en inglés). Estos sistemas computacionales de altas prestaciones incluyen desde los modernos computadores multinucleo a lo último en aceleradores de calculo (Unidades de Procesamiento Gráfico (GPU), Intel Many Integrated Core (MIC), etc.). Para obtener el máximo rendimiento de estos sistemas, los desarrolladores deben utilizar tecnologías software tales como la programación paralela, la vectoración o el uso de librerías de computación altas prestaciones. A pesar de que existen diversos algoritmos para calcular la NMF y resolver el problema NNLS, no todos ellos disponen de una implementación paralela y eficiente. Además, es muy interesante reunir diversos algoritmos con propiedades diferentes en una sola librería computacional. Esta tesis presenta una librería computacional de altas prestaciones que contiene implementaciones paralelas y eficientes de los mejores algoritmos existentes actualmente para calcular la NMF. Además la tesis también incluye una comparación experimental entre las diferentes implementaciones presentadas. Esta librería centrada en el cálculo de la NMF soporta múltiples arquitecturas tales como CPUs multinucleo, GPUs e Intel MIC. El objetivo de esta librería es ofrecer un abanico de algoritmos eficientes para ayudar a científicos, ingenieros o cualquier tipo de profesionales que necesitan hacer uso de la NMF. Otro problema abordado en esta tesis es la actualización de las factorizaciones no negativas. El problema de la actualización se ha estudiado tanto para la solución del problema NNLS como para el calculo de la NMF. Existen problemas no negativos cuya solución es próxima a otros problemas que ya han sido resueltos, el problema de la actualización consiste en aprovechar la solución de un problema A que ya ha sido resuelto, para obtener la solución de un problema B cercano al problema A. Utilizando esta aproximación, el problema B puede ser resuelto más rápido que si se tuviera que resolver sin aprovechar la solución conocida del problema A. En esta tesis se presenta una metodología algorítmica para resolver ambos problemas de actualización: la actualización de la solución del problema NNLS y la actualización de la NMF. Además se presentan evaluaciones empíricas de las soluciones presentadas para ambos problemas. Los resultados de estas evaluaciones muestran que los algoritmos propuestos son más rápidos que reso / Molts problemes procedents de aplicacions del mon real poden ser modelats com problemes matemàtics en magnituts no negatives, i per tant, les solucions de estos problemes matemàtics només tenen sentit si son no negatives. Estes magnituts no negatives poden ser, per eixemple, la concentració dels elements en un compost químic, les freqüències en una senyal sonora, les intensitats dels pixels de una image, etc. Alguns d'estos problemes poden ser modelats utilisant un sistema d'equacions llineals sobredeterminat. Quant la solució de este problema deu ser restringida a valors no negatius, apareix un problema nomenat problema de mínims quadrats no negatius (NNLS per les seues sigles en anglés). La solució de este problema te múltiples aplicacions en ciències i ingenieria. Un atra descomposició no negativa important es la Factorisació de Matrius No negatives(NMF per les seues sigles en anglés). La NMF es una ferramenta molt popular utilisada en diversos camps, com per eixemple: classificacio de documents, aprenentage automàtic, anàlisis de image o separació de senyals sonores. Esta factorisació intenta aproximar una matriu no negativa en el producte de dos matrius no negatives de menor tamany, creant habitualment representacions a parts de les dades originals. Els algoritmes dissenyats per a calcular la solució de estos dos problemes no negatius tenen un elevat cost computacional, i degut a este elevat cost, estes descomposicions poden beneficiar-se molt del us de tècniques de Computació de Altes Prestacions (HPC per les seues sigles en anglés). Estos sistemes de computació de altes prestacions inclouen des dels moderns computadors multinucli a lo últim en acceleradors de càlcul (Unitats de Processament Gràfic (GPU), Intel Many Core (MIC), etc.). Per a obtindre el màxim rendiment de estos sistemes, els desenrolladors deuen utilisar tecnologies software tals com la programació paralela, la vectorisació o el us de llibreries de computació de altes prestacions. A pesar de que existixen diversos algoritmes per a calcular la NMF i resoldre el problema NNLS, no tots ells disponen de una implementació paralela i eficient. Ademés, es molt interessant reunir diversos algoritmes en propietats diferents en una sola llibreria computacional. Esta tesis presenta una llibreria computacional de altes prestacions que conté implementacions paraleles i eficients dels millors algoritmes existents per a calcular la NMF. Ademés, la tesis també inclou una comparació experimental entre les diferents implementacions presentades. Esta llibreria centrada en el càlcul de la NMF soporta diverses arquitectures tals com CPUs multinucli, GPUs i Intel MIC. El objectiu de esta llibreria es oferir una varietat de algoritmes eficients per a ajudar a científics, ingeniers o qualsevol tipo de professionals que necessiten utilisar la NMF. Un atre problema abordat en esta tesis es la actualisació de les factorisacions no negatives. El problema de la actualisació se ha estudiat tant per a la solució del problema NNLS com per a el càlcul de la NMF. Existixen problemes no negatius la solució dels quals es pròxima a atres problemes no negatius que ya han sigut resolts, el problema de la actualisació consistix en aprofitar la solució de un problema A que ya ha sigut resolt, per a obtindre la solució de un problema B pròxim al problema A. Utilisant esta aproximació, el problema B pot ser resolt molt mes ràpidament que si tinguera que ser resolt des de 0 sense aprofitar la solució coneguda del problema A. En esta tesis es presenta una metodologia algorítmica per a resoldre els dos problemes de actualisació: la actualisació de la solució del problema NNLS i la actualisació de la NMF. Ademés es presenten evaluacions empíriques de les solucions presentades per als dos problemes. Els resultats de estes evaluacions mostren que els algoritmes proposts son més ràpits que resoldre el problema des de 0 en tots els / Many real world-problems can be modelled as mathematical problems with nonnegative magnitudes, and, therefore, the solutions of these problems are meaningful only if their values are nonnegative. Examples of these nonnegative magnitudes are the concentration of components in a chemical compound, frequencies in an audio signal, pixel intensities on an image, etc. Some of these problems can be modelled to an overdetermined system of linear equations. When the solution of this system of equations should be constrained to nonnegative values, a new problem arises. This problem is called the Nonnegative Least Squares (NNLS) problem, and its solution has multiple applications in science and engineering, especially for solving optimization problems with nonnegative restrictions. Another important nonnegativity constrained decomposition is the Nonnegative Matrix Factorization (NMF). The NMF is a very popular tool in many fields such as document clustering, data mining, machine learning, image analysis, chemical analysis, and audio source separation. This factorization tries to approximate a nonnegative data matrix with the product of two smaller nonnegative matrices, usually creating parts based representations of the original data. The algorithms that are designed to compute the solution of these two nonnegative problems have a high computational cost. Due to this high cost, these decompositions can benefit from the extra performance obtained using High Performance Computing (HPC) techniques. Nowadays, there are very powerful computational systems that offer high performance and can be used to solve extremely complex problems in science and engineering. From modern multicore CPUs to the newest computational accelerators (Graphics Processing Units(GPU), Intel Many Integrated Core(MIC), etc.), the performance of these systems keeps increasing continuously. To make the most of the hardware capabilities of these HPC systems, developers should use software technologies such as parallel programming, vectorization, or high performance computing libraries. While there are several algorithms for computing the NMF and for solving the NNLS problem, not all of them have an efficient parallel implementation available. Furthermore, it is very interesting to group several algorithms with different properties into a single computational library. This thesis presents a high-performance computational library with efficient parallel implementations of the best algorithms to compute the NMF in the current state of the art. In addition, an experimental comparison between the different implementations is presented. This library is focused on the computation of the NMF supporting multiple architectures like multicore CPUs, GPUs and Intel MIC. The goal of the library is to offer a full suit of algorithms to help researchers, engineers or professionals that need to use the NMF. Another problem that is dealt with in this thesis is the updating of nonnegative decompositions. The updating problem has been studied for both the solution of the NNLS problem and the NMF. Sometimes there are nonnegative problems that are close to other nonnegative problems that have already been solved. The updating problem tries to take advantage of the solution of a problem A, that has already been solved in order to obtain a solution of a new problem B, which is closely related to problem A. With this approach, problem B can be solved faster than solving it from scratch and not taking advantage of the already known solution of problem A. In this thesis, an algorithmic scheme is proposed for both the updating of the solution of NNLS problems and the updating of the NMF. Empirical evaluations for both updating problems are also presented. The results show that the proposed algorithms are faster than solving the problems from scratch in all of the tested cases. / San Juan Sebastián, P. (2018). HPC algorithms for nonnegative decompositions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/113069

In this document, we study the nonnegative least squares primal-dual method for solving linear programming problems. In particular, we investigate connections between this primal-dual method and the classical Hungarian method for the assignment problem. Firstly, we devise a fast procedure for computing the unrestricted least squares solution of a bipartite matching problem by exploiting the special structure of the incidence matrix of a bipartite graph. Moreover, we explain how to extract a solution for the cardinality matching problem from the nonnegative least squares solution. We also give an efficient procedure for solving the cardinality matching problem on general graphs using the nonnegative least squares approach. Next we look into some theoretical results concerning the minimization of p-norms, and separable differentiable convex functions, subject to linear constraints described by node-arc incidence matrices for graphs. Our main result is the reduction of the assignment problem to a single nonnegative least squares problem. This means that the primal-dual approach can be made to converge in one step for the assignment problem. This method does not reduce the primal-dual approach to one step for general linear programming problems, but it appears to give a good starting dual feasible point for the general problem.