Notre travail de doctorat porte sur des questions de stabilité d'une certaine classe de systèmes que nous appelons non conservatifs. Il s'agit de systèmes de corps rigides élastiques soumis à des chargements non conservatifs positionnels. Des formes d'instabilité nouvelles étaient mises en évidence (flottement) et des comportements paradoxaux, Nous nous intéresserons à un type de perturbation consistant en l'ajout de contraintes cinématiques cet ajout de contraintes va dans le sens de la stabilité. Cette problématique peut être un moyen de justifier un critère omniprésent dans ce travail et qui n'est pas à proprement parler un critère de stabilité. Il est appelé critère du travail du second ordre (CTSO). Le CTSO ainsi que la problématique des contraintes additionnelles restent le fil directeur de notre travail. A la vue des résultats obtenus, on peut s'étonner que ces aspects soient si peu connus de la communauté du calcul des structures et l'on a espoir que grâce à ce travail une démarche de réflexion générale sur les aspects non hamiltoniens soit menée. Ce travail, outre ses résultats propres, a également ouvert sans les approfondir des voies originales (matrices p définies positives, degré géométrique de non conservativité,…) et laisse entrevoir des problématiques importantes comme celle des liens entre les instabilités par flottement, le CTSO et l'ajout de contraintes cinématiques, laissant ainsi de nombreux thèmes pour des recherches futures. / This paper investigates the linear static stability of constrained nonconservative mechanical systems. More precisely, the systems studied are elastic systems subjected to nonconservative positional forces. It is also well known that such systems may present paradoxical behaviors,. It is, however, less reported that other paradoxical effects may be met for additional constraints. The additional constraint may destabilize the system and preventing the instability by divergence of the constrained system (ie for any kinematic constraint) leads to the second order work criterion (CTSO). The CTSO and the problematic of additional constraints remain the principle of our work. Furthermore, the results obtained (p-positive definite matrices, The geometric degree of nonconservativity,….). THE CTSO AND additional KINEMATIC constraints, THUS LEAVING MANY THEMES FOR FUTURE RESEARCH.

Optical tweezers have been widely used by biophysicists to measure forces in single molecular processes, such as the force of a motor molecule walking and the force of a DNA molecule winding and unwinding. In these and similar force measurements, the usual assumption is that the force applied to a particle inside the tweezers is proportional to the displacement of the particle away from the trap center like Hookean springs, which would imply that the force field is conservative. However, the Gaussian beam model has indicated that the force field generated by optical tweezers is actually nonconservative, yet no experiments have measured or accounted for this effect. We introduce an experimental method -- the local drift method -- that can measure the force field in optical tweezers with high precision without any assumptions about the functional form of the force field. The force field is determined by analyzing the Brownian motion of a trapped particle. We successfully applied this method to different sizes of particles and measured the three dimensional force field with 10 nm spatial resolution and femtonewton precision in force. We find that the force field is indeed nonconservative. The nonconservative contribution increases radially away from the optical axis for both small and large particles. The curl vector field -- a measurement of the nonconservative force field -- reverses direction from counter-clockwise for small particles in the Rayleigh regime to clockwise for large particles in the ray optics regime, consistent with the different scattering force profiles in the two distinct scattering regimes. Together with the thermal fluctuations of the trapped particle, the nonconservative force can cause a complex flux of energy into the system. Optically-confined Brownian motion is further used to probe nanostructures such as a biopolymer network. This technique -- thermal noise imaging -- uses a Brownian particle as a "natural scanner" to explore a biopolymer network by moving the Brownian particle through the network with optical tweezers. The position fluctuations of the probe particle reflect the location of individual filaments as excluded volumes. The resolution of thermal noise imaging is directly coupled to the size of the probe particle. A smaller probe is capable of exploring smaller pore sizes formed by dense network. Previously, a 200 nm polystyrene particle had been used to probe an agar network. In this work, 100 nm gold probe particles are used to enhance the resolution. A 100 nm particle explore a network with mesh 2³ times smaller and therefore enhance the network resolution by 2³ times. A 100 nm particle also improves the imaging speed by a factor of 2 because of its faster diffusion. Three-dimensional thermal noise images of agarose filaments are obtained and a resolution of 10 nm for the position of the filaments is achieved. In addition, a gold particle is trapped with significantly less power than a polystyrene particle of the same size, indicating the possibility for using even smaller gold particles to further improve the resolution. / text

Because of the inherent complexity of fiber-reinforced laminated composites, it can be challenging to manufacture composite structures according to their exact design specifications, resulting in unwanted material and geometric uncertainties. Thus the understanding of the effect of uncertainties in laminated structures on their static and dynamic responses is highly important for a reliable design of such structures. In this research, we focus on the deterministic and probabilistic stability analysis of laminated structures subject to subtangential loading, a combination of conservative and nonconservative tangential loads, using the dynamic criterion. Thus a shear-deformable laminated beam element, including warping effects, is derived to study the deterministic and probabilistic response of laminated beams. This twenty-one degrees of freedom element can be used for solving both static and dynamic problems. In the first-order shear deformable model used here we have employed a more accurate method to obtain the transverse shear correction factor. The dynamic version of the principle of virtual work for laminated composites is expressed in its nondimensional form and the element tangent stiffness and mass matrices are obtained using analytical integration. The stability is studied by giving the structure a small disturbance about an equilibrium configuration, and observing if the resulting response remains small. In order to study the dynamic behavior by including uncertainties into the problem, three models were developed: Exact Monte Carlo Simulation, Sensitivity-Based Monte Carlo Simulation, and Probabilistic FEA. These methods were integrated into the developed finite element analysis. Also, perturbation and sensitivity analysis have been used to study nonconservative problems, as well as to study the stability analysis using the dynamic criterion. / Ph. D.

Dans ce travail, nous nous intéressons à deux problèmes de la théorie des systèmes hyperboliques faisant intervenir des interfaces. Le premier concerne des modèles de couplages entre un fluide compressible et une particule ponctuelle et le second concerne la capture numérique précise des chocs, ces discontinuités qui apparaissent dans les solutions des systèmes hyperboliques.Sur la première thématique, nous commençons par introduire les différents modèles, dans lesquels la particule et le fluide interagissent à travers une force de frottement qui tend à rapprocher leurs vitesses. Le couplage est singulier car il fait intervenir le produit d’une fonction discontinue par une mesure de Dirac. On peut toutefois définir précisément le système en voyant la particule comme une interface à travers laquelle des relations liant les propriétés du fluide et celle de la particule sont imposées. Lorsque le fluide suit une équation de Burgers, nous démontrons la convergence d’une classe de schéma numérique, et nous obtenons l’existence d’une solution au problème de Cauchy pour une donnée initiale à variation totale bornée. Dans le cas plus complexe où le fluide est décrit par les équa- tions d’Euler isothermes, on prouve l’existence et l’unicité d’une solution autosemblable au problème de Riemann lorsque la particule est immobile. Des simulations numériques sont également présentées.La dernière partie de la thèse est consacrée à la construction de schémas non diffusifs pour les systèmes hyperboliques. Ces schémas, de type volumes finis, sont construits pour être exact lorsque la donnée initiale est un choc isolé. Ils sont basé sur une reconstruction discontinue de la solution au début de chaque itération en temps, dans le but de reconstituer des chocs à l’intérieur de certaines cellules du maillage. Cette stratégie mène à des schémas très peu diffusifs qui, lorsque l’opérateur de reconstruction est bien choisi, approchent correctement les solutions de cas tests problématiques (chocs lents, chocs forts, réflexions pour la dynamique des gaz, chocs non classiques pour les systèmes qui ne sont pas vraiment non linéaires). / In this work, we study two problems concerning hyperbolic systems involving interfaces. The first one concerns the study of models of coupling between a compressible fluid and a pointwise particle. The second one deals with the sharp numerical approximation of shocks, which are discontinuities that appear in the solutions of hyperbolic systems.In the first two parts of the manuscript, we introduce different models of fluid-particle couplings. The fluid and the particle interact on each other through a drag force, which brings their velocities closer to one another. The coupling is singular because it can be written as the product of a discontinuous function by a Dirac measure. However, the system can be precisely defined as follows. The particle is seen as an interface through which interface conditions linking the properties of the fluid with those of the particle are imposed. When the fluid follows the compressible Burgers equations, we prove the convergence of a family of finite volume schemes and obtain the existence of a solution when the initial data has total bounded variation. In the more difficult case where the fluid is described by the isothermal Euler equations, we prove the existence and uniqueness of a selfsimilar solution to the Riemann problem, when the particle is motionless. Numerical experiments are also presented.In the last part of this work, we build non diffusive numerical schemes for different hyperbolic systems. These finite volume schemes are built to be exact when the initial data is an isolated shock. They are based on a discontinuous reconstruction of the solution at the beginning of each time step, in order to reconstruct shocks inside some specific cells of the mesh. The schemes we present have a very low numerical diffusion and, when the reconstruction operator is well chosen, they are able to correctly approximate the solution on various problematic test cases. These cases include slowly moving shocks, strong shocks and shock reflections for gas dynamics, as well as the apparition of nonclassical shocks for systems that are not truely nonlinear.

Dans divers domaines de la physique, certains phénomènes sont modélisés par des systèmes hyperboliques non-conservatifs. En particulier, dans le domaine de la physique des plasmas, dont l'un des champs d'application majeur est la Fusion par Confinement Inertiel, le système d'Euler bi-température, modélisant les phénomènes de transport de particules chargées, en est un exemple. La difficulté de l'étude de ces systèmes réside dans la présence de termes non-conservatifs, qui empêchent la définition classique des solutions faibles. Pour parvenir à une définition de ce type de solutions, on a recours à l'emploi de systèmes cinétiques sous-jacents. Dans ce manuscrit, on s'intéresse à l'étude numérique de ces systèmes cinétiques pour la résolution du système d'Euler bi-température.Ce manuscrit se divise en deux parties. La première partie contient l'étude numérique du système d'Euler bi-température. Dans un premier chapitre, on résout numériquement les équations en dimension 1 d'espace par le biais d'un système sous-jacent issu de la physique des plasmas: le système de Vlasov-BGK-Ampère. On présente une méthode numérique préservant l'asymptotique pour ce système sous-jacent et on montre, par des simulations numériques, que le schéma limite obtenu donne des résultats consistants avec Euler bi-température. Dans un second chapitre, on résout le même modèle en dimension 2 d'espace par un système sous-jacent de type BGK discret. On démontre une inégalité d'entropie pour les solutions issues du modèle sous-jacent, ainsi qu'une inégalité discrète de dissipation d'entropie pour le schéma.Dans la deuxième partie de ce manuscrit, on s'intéresse au développement de méthodes numériques pour quelques modèles cinétiques. On considère ici le cas des écoulements raréfiés de mélanges de gaz, dans l'optique d'une application aux cas des plasmas. Premièrement, on présente un schéma cinétique adaptatif et dynamique en vitesse pour les gaz inertes. Par l'emploi de lois de conservation discrètes, la solution est approchée sur un ensemble de vitesses discrètes local et dynamique. Dans un second temps, on propose une extension de cette méthode visant à améliorer les performances de celle-ci. Puis, ces deux versions de la méthode sont comparées à la méthode classique sur grille fixe uniforme sur une série de cas tests.Enfin, dans le dernier chapitre, on propose une méthode numérique pour la résolution d'une extension de ces équations, prenant en compte la présence de réactions chimiques au sein du mélange. Le contexte considéré est celui des réactions chimiques bi-moléculaires réversibles lentes. La méthode proposée, de type implicite-explicite, est linéaire, stable et conservative. / In various domains of physics, several phenomena can be modeled via the use of nonconservative hyperbolic systems. In particular, in plasma physics, in the process of developping and understanding the phenomena leading to Inertial Confinement Fusion, the bi-temperature Euler sytem can be used to model particle transport phenomena in a plasma. The difficulty of the mathematical study of such systems dwells in the presence of so-called non-conservative products, which prevent the classical definition of weak solutions via distribution theory. To attempt to define these quantities, it is useful to supplement the hyperbolic system with an underlying kinetic model. In this work, the objective is the numerical study of such kinetic systems in order to solve the bi-temperature Euler system.This manuscript is split in two parts. The first one contains the study of the bi-temperature Euler system. In the first chapter, this system in dimension 1 is solved by the use of an underlying kinetic model sprung from plasma physics: the Vlasov-BGK-Ampère system. An asymptotic-preserving numerical method is introduced, and it is shown that the scheme obtained in the limit is consistant with a scheme for teh bi-temperature Euler system. In the following chapter, the same hyperbolic model in dimension 2 is studied, this time via a discrete-BGK type underlying model. An entropy inequality is proved for solutions coming from the kinetic model, as well as a discrete entropy dissipation inequality.In the second part of the manuscript, we are interested in the development of numerical schemes for gas mixture rarefied flows. Firstly, an adaptive kinetic scheme is introduced for inert gas mixtures. By the use of discrete conservation laws, the solution is approximated on a set of discrete velocities that depends on space, time and species. Secondly, an extension of the method is proposed in order to improve the efficiency of the first method. Finally, the two methods are compared to the classical fixed grid method on a series of test cases.In the last chapter, a numerical method is proposed for rarefied flows of reacting mixtures. The setting considered is the case of slow bimolecular reversible chemical reactions. The method introduced is an explicit-implicit treatment of the relaxation operator, which is shown to be stable, linear and conservative.

Lors que nous examinons numériquement des phénomènes multiphasiques suite à un accidentgrave dans le réacteur nucléaire, la dimension caractéristique des zones multi-fluides(non-réactifs et réactifs) s’avère beaucoup plus petite que celle du bâtiment réacteur, cequi fait la Simulation Numérique Directe de la configuration à peine réalisable. Autrement,nous proposons de considérer la zone de mélange multiphasique comme une interface infinimentfine. Puis, le solveur de Riemann réactif est inséré dans la Méthode des ÉquationsDiscrètes Réactives (RDEM) pour calculer le front de combustion à grande vitesse représentépar une interface discontinue. Une approche anti-diffusive est ensuite couplée avec laRDEM afin de précisément simuler des interfaces réactives. La robustesse et l’efficacité decette approche en calculant tant des interfaces multiphasiques que des écoulements réactifssont à la fois améliorées grâce à la méthode ici proposée : upwind downwind-controlled splitting(UDCS). UDCS est capable de résoudre précisément des interfaces avec les maillagesnon-structurés multidimensionnels, y compris des fronts réactifs de détonation et de déflagration. / When numerically investigating multiphase phenomena during severe accidents in a reactorsystem, characteristic lengths of the multi-fluid zone (non-reactive and reactive) are foundto be much smaller than the volume of the reactor containment, which makes the directmodeling of the configuration hardly achievable. Alternatively, we propose to consider thephysical multiphase mixture zone as an infinitely thin interface. Then, the reactive Riemannsolver is inserted into the Reactive Discrete Equations Method (RDEM) to compute highspeed combustion waves represented by discontinuous interfaces. An anti-diffusive approachis also coupled with RDEM to accurately simulate reactive interfaces. Increased robustnessand efficiency when computing both multiphase interfaces and reacting flows are achievedthanks to an original upwind downwind-controlled splitting method (UDCS). UDCS is capableof accurately solving interfaces on multi-dimensional unstructured meshes, includingreacting fronts for both deflagration and detonation configurations.