Considerando as inúmeras vantagens de resinas fenólicas, como baixa geração de fumaça, superior resistência ao fogo, buscou-se no presente trabalho a melhora de propriedades deste material pela introdução de fibras vegetais como reforços, originando compósitos. Fibras celulósicas provenientes da indústria têxtil foram utilizadas (fios de algodão, com comprimentos diversificados, e Lyocel, em proporções variadas), a fim de avaliar a capacidade como reforço de matriz fenólica destas fibras, que apresentam vantagens sobre outras, por terem disponibilidade praticamente garantida e pela possibilidade de aquisição continuada de material com propriedades reprodutíveis, devido à demanda e exigências do setor têxtil, respectivamente. Fibras lignocelulósicas, como a de sisal usada no presente trabalho para fins comparativos, ainda não estão disponíveis com tais propriedades, o que pode dificultar a utilização em larga escala para obtenção de compósitos. Adicionalmente, foi avaliada a possibilidade de adição de borracha natural à matriz fenólica, visando melhorar a propriedade de resistência ao impacto deste material, mas os resultados mostraram pouca compatibilidade entre os dois tipos de materiais. As fibras foram caracterizadas quanto à composição química e analisadas via termogravimetria (TG), calorimetria exploratória diferencial (DSC), difração de raio-X, espectroscopia na região de infravermelho (IV), microscopia eletrônica de varredura (MEV) e resistência a tração. Os termorrígidos (não reforçados) e compósitos (matriz fenólica reforçada por fibras com distribuição aleatória) foram caracterizados por TG, DSC, IV, MEV, resistência ao impacto Izod e quanto à capacidade de absorção de água. Do conjunto de resultados obtidos, destaca-se que aqueles referentes à resistência ao impacto de compósitos mostraram que, utilizando-se processos adequados para impregnação dos fios de celulose e buscando-se diâmetro médio de fibras e comprimento apropriados, pode-se obter compósitos com resistência ao impacto no mesmo patamar (em torno de 400 J m-1) daqueles reforçados por sisal, uma fibra considerada como excelente reforço para matriz fenólica. No que se refere à fibra de Lyocel, embora os compósitos reforçados com este material tenham apresentado resistência ao impacto menor (valor máximo encontrado em torno de 240 J m-1), quando comparados com aqueles reforçados por algodão ou sisal, a maior porosidade desta fibra quando comparada as outras, permitiu uma difusão mais eficiente da resina fenólica para o interior do reforço, exercendo então uma ação impermeabilizante, conforme demonstrado pela menor absorção de água de compósitos reforçados por Lyocel. Os resultados obtidos são promissores e mostram que fibras têxteis podem ser utilizadas com êxito na preparação de compósitos de matriz fenólica, o que pode representar um avanço para a produção destes materiais em larga escala / Due to the large number of advantages of the phenolic thermosets, as low emission of smoke, high resistance to fire, the improvement of other properties of this material was rearched by the incorporation of natural fibres (reinforcing agents), resulting in composites. Cellullosic fibres derived from industry were used (cotton f bres, with different length, and Lyocell, with different proportions), with the purpose of evaluating the ability as reinforcing agent of the phenolic matrices. These fibres presents some advantages over the synthetic ones, as accessibility and possibility of continuous acquisition of material with reproductible properties, due to the demand and requiements of textile sector, respectively. Lignocellullosic fibres, like the sisal ones used in the present work for comparative reasons, are not available yet with such properties, what can difficult its utilization in large scale for composites processing. Moreover, it was evaluated the possibility of incorporating natural rubber to the phenolic matrix, aiming to improve the property of impact resistance of this material, but the results showed little compatibility between the two components. The fibres were characterized in terms of chemical composition and analysed by thermogravimetry (TG), differential scanning calorymetry (DSC), infrared spectroscopy (IV), scanning electron microscopy (SEM), X-ray diffraction and tensile strengh. The thermosets (not reinforced) and composites (phenolic matrix reinforced with fibres randomly dispersed) were characterized by TG, DSC, IV, MEV, Izod impact strengh and also the water absorption capacity was evaluated. Overall results, those referred to the impact resistance of composites showed that, with the appropriate processes of impregnation of cellulosic fibres and adjusted length and average diameter values, it can be obtained composites with impact resistance (around 400 J m-1) comparable to those obtained for sisal-reinforced composites, which is considered an excelent reinforcing agent for phenolic matrices. Related to the Lyocell fibre, although the composites reinforced with this material have presented low values of impact strengh (around 240 J m-1), when compared to those reinforced with cotton or sisal, the larger porosity of this fibre allowed a better diffusion of the phenolic resin into its inner, which in turn led to a better waterproof property, as observed by the lower water absorption of Lyocellreinforced composites. The results are promising and show that fibres can be successfully used in the preparation of phenolic matrix composites, what might represent an advance for their wide production

Neste trabalho, tratamos da teoria fundamental de dicotomias para certa equação diferencial linear com impulsos a tempo pré-fixado. Consideramos condições necessárias e suficientes para a existência de dicotomia exponencial e dicotomia ordinária para esta equação e apresentamos algumas consequências destes fatos. Escrevemos abreviadamente EDI para significar equação diferencial impulsiva. Alguns dos resultados interessantes contidos neste texto estão descritos a seguir. Apresentamos algumas relações entre crescimento limitado e dicotomia exponencial para a EDI em estudo. Apresentamos, também, condições para a equivalência entre a existência de dicotomia exponencial para a EDI que tratamos e a admissibilidade de certos pares de funções para uma perturbação desta EDI. Em particular, se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limitada, obtemos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada e vale a recíproca. Nós contribuímos com este resultado provando o fato de que o espaço das funções limitadas pode ser substituído pelo espaço das funções limitadas com limite no infinito. Assim, se a EDI tiver uma dicotomia exponencial, então dada uma perturbação limitada com limite no infinito, a EDI perturbada admitirá uma solução também limitada e com limite no infinito e a recíproca é verdadeira. Outro resultado importante diz que se a EDI estudada for quase periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R+, então ela terá uma dicotomia exponencial sobre toda a reta. E a nossa contribuição aqui se deu através de um resultado mais geral que diz que se a EDI tiver uma dicotomia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta. / In this work we deal with the fundamental theory of dichotomies for a linear differential equation with pre-assigned moments of impulse effects. We consider necessary and sufficient conditions for the existence of each of two types of dichotomies for this equation: ordinary and exponential dichotomies, and we present some consequences of these facts. We write IDE for impulsive differential equation. Some interesting results are mentioned below. We present some relations between bounded growth and the existence of exponential dichotomy for the IDE in question. We also present the equivalence between the existence of an exponential dichotomy for our IDE and the admissibility of certain pairs of function for the IDE with a perturbation. In particular, if our IDE has an exponential dichotomy, then given certain bounded perturbation, we obtain a non-homogeneous IDE which admits a bounded solution and the converse holds. We contribute to this result showing that the space of bounded functions can be replaced by the space of bounded function with limit at infinity. This means that if our IDE has an exponential dichotomy, then for any bounded perturbation with limit at infinity, the perturbed IDE admits a bounded solution with limit at infinity and we also have a converse. Another interesting result says that if the IDE we study is almost periodic and has an exponential dichotomy on M+ then it also has an exponential dichotomy on E. We generalize this results proving that if our IDE has an exponential dichotomy on a finite interval of sufficiently large length, then the IDE also has an exponential dichotomy on R.

Dióxido de estanho (SnO2) tem sido amplamente estudado devido às suas propriedades óticas e elétricas. Neste trabalho é investigada a preparação de filmes finos de SnO2 pela técnica sol-gel, usando diferentes procedimentos para a deposição das camadas. Além disso são incorporados aos filmes diferentes concentrações de dopante Sb, de modo a constituir um semicondutor do tipo-n. São apresentados resultados de absorção, transmissão e reflexão para uma ampla faixa de comprimentos de onda (0,2 &#181m- 6,0 &#181m).Observa-se um aumento da absorção e reflexão no infravermelho com o aumento da concentração de dopantes, o que pode ser explicado pela teoria de Drude. Análises estruturais, são feitas por técnicas tais como difração de raios-X, microscopia eletrônica de varredura e reflexão especular de raios-X, confirmando a estrutura da cassiterita e a espessura prevista para os filmes. O comportamento elétrico é verificado em função da presença de ar na câmara de tratamento térmico pós-deposição. É apresentado também um modelamento simples para explicar a alta resistividade dos filmes com base no espalhamento de elétrons no contorno de grão. / Tin dioxide (SnO2) has been widely studied due to its optical and electrical properties. In this work, preparation of SnO2 thin films through solgel technique is investigated, using distinct procedures for layer deposition. Besides, several Sb doping concentration are incorporated into the film, in order to get a n-type semiconductor. Results of absorption, transmission and reflection are presented for an wide wavelength range (0,2 &#181m - 6,0 &#181m). It is observed that an increase in the doping concentration increases absorption and reflection in the infrared range, which can be explained by Drude\'s theory. Structure analysis are carried out by techniques such as X-Ray diffraction, Scanning Electronic Microscopy and X-Ray Reflectometry, confirming cassiterite structure and the predicted film thickness. Electrical behavior is verified as function of air in the annealing chamber. It is also presented a simple modeling to explain the high resistivity of the films, based on electron scattering at grain boundary

Smale mostrou, usando a famosa construção do horseshoe, que para difeomorfismos com pontos homoclínicos transversais existe um conjunto invariante compacto no qual a ação de algum iterado do difeomorfismo é topologicamente conjugado à ação do shift de Bernoulli . Mostraremos este resultado utilizando o shadowing lemma. Nossa técnica básica é a teoria de dicotomias exponenciais. / Smale showed, using the famous horseshoe construction, that for diffeomorphisms with transversal homoclinic points there is a compact invariant set on which the action of some iterate of the diffeomorphism is topologically conjurate to the action of the Bernoulli shift. We will show this statement using the s-called shadowing lemma. Our basic technique is the theory of erxponential dichotomies.

Uma aplicação f: M → Em, de um espaço topológico compacto e conexo em um espaço Euclideano é justa se para todo semi-espaço fechado h ⊂ Em, a inclusão f-1(h) → M induz um monomorfismo em Z2-homologia de Cech. Neste trabalho consideramos aplicações com esta propriedade, enfatizando o estudo de propriedades de imersões justas de variedades em espaços euclideanos. Para variedades de dimensão 2 justeza é equivalente a curvatura total absoluta sendo mínima. Nosso principal objetivo é discutir a existência de imersões justas para superfícies em E3. Segue do trabalho de N. Kuiper, e de um resultado recente de F. Haab, que todas as superfícies, exceto o plano projetivo (x = 1), a garrafa de Klein (x = O) e o plano projetivo com uma alça (x = -1), admitem imersão justa em E3. Estudamos também uma família genérica especial de aplicações justas C∞-estáveis do plano projetivo em E3. / A mapping f : M → Em, from a topological compact, connected space into Euclidean space is tight if for every closed semi-space h ⊂ Em, the inclusion f-1 (h) → M induces a monomorphism in Cech Z2-homology. In this work we consider mappings with this property, emphasizing the study of properties of tight immersions of manifolds into Euclidean space. For 2-manifolds tightness is equivalent to the total absolute curvature being minimal. Our main purpose is to discuss the existence of tight immersions for surfaces into E3. It follows from the work of N. Kuiper, and recent result of F. Haab that all surfaces admit a tight immersion, except the projective plane (x = 1), the Klein\'s bottle (x = 0) and the projective plane with one handle (x = -1). We also study a special generic family of C∞-tight mapping from the projective plane into E3.

O Maciço Correas é um corpo granítico circunscrito de pequena dimensão (aproximadamente 5 km² de área aflorante), localizado na porção sul do Estado de São Paulo, entre os municípios de Ribeirão Branco e Itapeva. Regionalmente encontra-se inserido no contexto geológico/geotectônico da Faixa Ribeira, intrudido em rochas proterozóicas de médio grau metamórfico, representadas na área por ortognaisses, rochas cálciossilicáticas, xistos feldspáticos, metaultramafitos xistosos, anfibolitos e metassedimentos migmatizados. A ausência de foliação no maciço e seu posicionamento em relação às rochas encaixantes, indica um caráter tipicamente intrusivo e pós-tectônico. Os dados litogeoquimicos do Maciço Correas indicam altos teores em \'SiO IND. 2\' (72,28 a 75,70%) e \'K IND. 2\'O (4,55 a 5,68%), baixos teores em CaO (0,26 a 0,72%), FeO (0,53 a 1,60%), MgO (0,03 a 0,25%) e \'TiO IND. 2\' (0,03 a 0,14%), enriquecimento em elementos traços tais como Sn, F, Li, Cl e Rb, forte anomalia negativa do Eu (0,08 a 0,44 ppm) e alta razão inicial \'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.86 Sr\' (0,7228 \'+ ou -\' 0,0057), o que o caracteriza como um maciço fortemente diferenciado e metalogeneticamente especializado em metais raros (\'SN\' e W). Suas rochas graníticas apresentam composição subalcalina, ligeiramente peraluminosa, variando de monzogranitos a sienogranitos e álcali-feldspato granitos. Diferentes tipos de processos de alteração hidrotermal tardi a pós-magmáticos, afetaram tanto as rochas do corpo intrusivo quanto as encaixantes do maciço. Processos de microclinização, albitização e greisenização foram identificados na maioria das rochas graníticas estudadas. Com relação às rochas encaixantes, a greisenização foi o principal processo hidrotermal observado. No exocontato da extremidade NE do maciço Correas, a greisenização atingiu grande intensidade, dando origem a vários corpos de greisens mineralizados em cassiterita, wolframita, esfalerita e calcopirita, além de outros minerais metálicos que ocorreram associados. Este conjunto de rochas greisenizadas e mineralizadas constitui um depósito mineral primário de pequeno porte, porém com concentrações econômicas de minério. Dentre os vários aspectos geológicos e metalogenéticos abordados nesse estudo, pode-se destacar a relação espacial e genética do depósito primário com as rochas mais fracionadas do Maciço Correas (muscovita-albita granitos a topázio), além de sua localização em zona de fechamento de uma grande estrutura antiforme regional. Os resultados do estudo de inclusões fluidas em quartzo \"stockwork\", topázio-quartzo greisen e cassiterita-topázio greisen, indicam a presença de dois tipos distintos de inclusões: (1) inclusões aquo-carbônicas com razões volumétricas variáveis entre as fases \'V IND. CO2\'/\'V IND.H2O\' (10-95%), constituídas de \'CO IND.2\' \'+ ou -\' \'CH IND. 4\' - \'H IND.2\'O - \'Fe Cl IND. 2\' - NaCl, com salinidade variando entre 2 e 13% eq.NaCl e temperaturas de homogeneização entre 410 e 250°C; (2) inclusões aquosas com razões volumétricas constantes entre as fases gás/líquido (15%), apresentando temperaturas de homogeneização inferiores (260 a 110°C), salinidade muito variáveis ( 1 a 20% eq. NaCl), e uma solução aquosa composta por \'H IND. 2\'O-\'FeCl IND.2\'-\'CaCl IND.2\'-NaCl. Os dados microtermométricos obtidos permitem supor que mecanismos como \"boiling\" ou efervescência, mistura de fluidos externos e imiscibilidade de fluidos aprisionados a partir de um sistema heterogêneo, poderiam ter originado as inclusões presentes nos litotipos estudados. As características do Maciço Correas e a natureza da mineralização sugerem uma intrusão em níveis crustais elevados, apresentando um \"trend\" de fracionamento em direção a fácies mais evoluída (muscovita-albita granito a topázio). É provável que a pré-concentração de voláteis durante os estágios magmático/tardi-magmático tenha favorecido o enriquecimento do magma residual em elementos metálicos. Uma possível coexistência da fase fluida com o magma residual rico em Na e F, contribuiu para o estabelecimento de um importante estágio de concentração hidrotermal. A migração dos fluidos enriquecidos através de descontinuidades estruturais resultou na alteração pervasiva de zonas de baixa permeabilidade da rocha encaixante. Extensiva alteração hidrotermal fissural também se faz presente, originada por fraturamentos resultantes de alta pressão hidráulica e/ou componentes tectônicos. A avaliação preliminar do depósito estanífero primário apontou reservas medidas da ordem de 5.000 toneladas de Sn e 1.400 toneladas de W. / The Correas massif is a small circunscript granitic body, with approximately 5 Km² of outcrop área, located in the south of São Paulo State, between the city limits of Ribeirão Branco e Itapeva. Regionally, the massif is inserted in the geological/geotectonic context of Ribeira Belt, intruded im medium metamorphic grade Proterozoic rocks, which is represented by orthogneiss, calc-silicate rocks, feldspathic schist, ultramafic schist, amphibolites and migmatized metasediments. The lack of foliation and the emplacement relationship with the rocks indicate a typical post-orogenic intrusive character. The granitic rocks of the massif rocks of the massif exhibit subalkaline and weakly peraluminous composition, varying from monzogranites to syenogranites and alkali-feldspar granites. The petrochemical data of the Correas massif indicate high \'SiO IND.2\' (72,28 - 75,70%) and \'K IND. 2\'O (4,55 - 5,68%), FeO(0,53 - 1,60%), MgO (0,03 -0,25%) and \'TiO IND.2\' (0,03 - 0,14%), enrichment in trace elements (Sn, F, Li, Rb), strong negative Eu anomaly (0,08 - 0,44 ppm) and high initial \'Sr POT. 87\'/\'Sr POT. 86\' ratio (0,7228 \'+ ou -\' 0,0057), which characterize the strong differentiation and a metallogenetic specialization (Sn-W) of the massif. Different types of late to post-magmatic hydrothermal alteration affected the intrusive body and the host rocks as well. Microclinization, albitization and greisenization processes were identified in most of the studied granitic rocks. In the host rocks, greisenization is the main hydrothermal process observed. In the north-eastern exocontact of the Correas massif, an extensive greisenization resulted in several mineralized greisen bodies with cassiterite, wolframite, sphalerite, chalcopyrite and other associated metallic minerals. These greisenized and mineralized rocks constitue a primary mineral deposit which has a small size but economic ore concentrations. Among the several geologic and metallogenetic aspects discussed in this present study, it is important to mention the genetic and spatial relationship of the deposit with the most fractionated rocks of the Correas massif (topaz-albite granite), besides its location in the closure of a regional antiform structure. Fluid inclusions data from quartz stockwork, topaz-quartz greisen and topaz greisen indicate the presence of two distinct inclusions type: (1) \'CO IND.2\'-rich inclusions with variable phase ratios \'V IND. CO2\'/ \'V IND. H2O\' (10-90%), consisting of \'CO IND.2\'+ ou -\'\'CH IND.4\'-\'H IND. 2\'O-\'FeCl IND.2\'-NaCl, with salinity ranging from 2 to 13% eq.NaCl and homogenization temperatures ranging from 410 to 250°C; (2) aqueous-rich inclusions with constant gas/liquid volume ratios (15%), showing lower homogenization temperatures (260 to 110°C), high variable salinity (1 to 20% eq.NaCl), and an aqueous solution composed by \'H IND.2\'O - Fe\'Cl IND.2\'\'CaCl IND. 2\' - NaCl. These results indicate that boiling and mixing of meteoric water may have occurred during trapping of immiscible fluids from a heterogeneous system. The nature of mineralization suggests that Correas massif is a typical high level intrusion which exhibits a fractionation trend towards the topaz-rich muscovite-albite granite end-member. The preconcentration of volatiles during magmatic/late-magmatic stages favours the metallic element enrichment. The possible coexistence of a fluid phase with the Na and F-rich residual melt may have enhanced an important hydrothermal concentration stage. Migration of enriched fluids throughout structural discontinuities propitiated pervasive hydrothermal alteration in low permeability host-rock zones. Extensive fissural hydrothermal alteration is also present, probably as a result of hydrothermal alteration is also present, probably as a result of hydraulic overpressure and tectonic components. Prelimary ore evaluation of the primary tin deposit pointed out a measured reserve of about 5.000 tons of Sn and 1.400 tons of W.

Nesta dissertação de mestrado, exploramos o uso do método de Laplace para aproximações de integrais numa análise Bayesiana da distribuição Gaussiana Inversa, considerando diferentes densidades a priori para os parâmetros do modelo. Além disso, consideramos testes acelerados, planejamentos de experimentos e esquemas de controle de qualidade a partir de densidades preditivas para a distribuição Gaussiana Inversa. Esses resultados podem ser de grande interesse prático, como é ilustrado em alguns exemplos de aplicação. / In this dissertation we explore the use of Laplace\'s method for approximation of integrals in a Bayesian analysis of the lnverse Gaussian distribution, considering different prior densities for the parameters of the model. We also consider, accelerated life tests, design of experiments and quality control criteria using predictive densities for the lnverse Gaussian distribution. These results could be of great practical interest, as it is illustrated in some applied examples.

Este trabalho define uma linguagem para consulta e manipulação em bases de dados, baseada nos conceitos do MRO (Modelo de Representação de Objetos), denominada LAMRO (Linguagem de Acesso ao MRO). A implementação de um subconjunto de comandos da linguagem foi realizada através de um interpretador de comandos, utilizando o sistema GEO (GErenciador de Objetos) que suporta parte dos conceitos definidos no MRO. A linguagem é caracterizada como uma linguagem de comandos, e situa-se entre as linguagens definidas para um modelo de base de dados especifico. O processo de definição da linguagem utilizou padrões e procedimentos bem determinados para garantir que todos os conceitos do MRO estivessem presentes na linguagem. Foram criados na linguagem dois novos conceitos: Seleções de Objetos e Máscaras. A consulta aos objetos na base de dados é realizada por comandos que manipulam o conceito de Seleções de Objetos. Estes comandos permitem elaborar consultas utilizando a semântica presente na base de dados. As Seleções de Objetos obtidas, podem ser formatadas utilizando o conceito de Máscara. Os comandos que manipulam a seleção de objetos com Máscaras podem ser caracterizados como geradores de relatórios. / This work defines a language for database queries, based on the MRO\'s (Object Representation Model) concepts, which is named LAMRO (Access Language to MRO). The implementation of a subset of commands for that language was perfomed through a cotrunand interpreter, using the GEO (Object Manager) system which supports partially the concepts defined in MRO. The LAMRO is characterized as a command language, and it is placed among the languages defined for a specific data base model. Well defined procedures and standards were used in the process of defining this language, which assured that every MRO\'s concepts were presents in the language. Two new concepts were created: Object Selection and Mask. The objects queries in the data base is performed by commands that manipulate the concept of Object Selection. These commands allow to elaborate queries using the semanthics present in the data base. The obtained Object Selection can be formated thorough the concept of Mask. The commands that permit Object Selection through Masks can be characterized as report generator.

Este trabalho apresenta o desenvolvimento e a implementação de um sistema servidor de correio eletrônico que interliga um ambiente computacional distribuído a outros ambientes (nacionais ou internacionais) através de um sistema distribuído SunOS. A idéia básica de um servidor de correio eletrônico em uru sistema computacional distribuído é ter um servidor responsável pelo serviço de correio eletrônico. Usualmente um servidor de correio eletrônico é dividido em uma interface com o usuário (software que interage com o usuário para auxiliá-lo a compor e organizar suas correspondências) e em um sistema servidor (processo que gerencia entre outras coisas o endereçamento e a entrega das mensagens). Durante o desenvolvimento deste sistema servidor de correio eletrônico, buscou-se privilegiar o tratamento da interface com o cliente, levando-se em consideração a diversidade dos possíveis usuários e a utilização deste serviço no âmbito do ICMSC. Também foram considerados conceitos de Engenharia de Software durante o desenvolvimento e a implementação, para assegurar um produto de software de boa qualidade. / This work presents the development and implementation of an electronic-mail server interconnecting the distributed computing environment to other computing environments around the world. through a SunOS distributed system. The basic idea of an electronic-mail server in a distributed computing environment is to have a special server responsible for the management of the eletronic mau l service. Usually, the electronic-mail server is split into two modules: the user interface (the software which directly interacts with users, helping then in the composition and organization of messages) and the serve\'. (a process that manages the handles the routing and delivering of messages). During the development of this system special emphasis was given to user-interface aspects, considering the vide variety of user and the potencial utilization of the software on the whole ICMSC computing environment. Software Engineering concepts were adopted during the development and the implementation phasys in order to ensure the production of high quality software.

Estudamos o Teorema da Bifurcação de Hopf para equações diferenciais funcionais do tipo retardado. Uma aplicação deste teorema é dada para uma equação diferencial diferença no plano. / We study the Hopf Bifurcation Theorem for functional differential equations of retarded type. An application of this theorem is given for a planar differential difference equation.