This thesis is concerned with the development of numerical methods using finite difference techniques for the discretization of initial value problems (IVPs) and initial boundary value problems (IBVPs) of certain hyperbolic systems which are first order in time and second order in space. This type of system appears in some formulations of Einstein equations, such as ADM, BSSN, NOR, and the generalized harmonic formulation. For IVP, the stability method proposed in [14] is extended from second and fourth order centered schemes, to 2n-order accuracy, including also the case when some first order derivatives are approximated with off-centered finite difference operators (FDO) and dissipation is added to the right-hand sides of the equations. For the model problem of the wave equation, special attention is paid to the analysis of Courant limits and numerical speeds. Although off-centered FDOs have larger truncation errors than centered FDOs, it is shown that in certain situations, off-centering by just one point can be beneficial for the overall accuracy of the numerical scheme. The wave equation is also analyzed in respect to its initial boundary value problem. All three types of boundaries - outflow, inflow and completely inflow that can appear in this case, are investigated. Using the ghost-point method, 2n-accurate (n = 1, 4) numerical prescriptions are prescribed for each type of boundary. The inflow boundary is also approached using the SAT-SBP method. In the end of the thesis, a 1-D variant of BSSN formulation is derived and some of its IBVPs are considered. The boundary procedures, based on the ghost-point method, are intended to preserve the interior 2n-accuracy. Numerical tests show that this is the case if sufficient dissipation is added to the rhs of the equations. / Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Verfahren für die Diskretisierung des Anfangswertproblems und des Anfangs-Randwertproblems unter Einsatz von finite-Differenzen-Techniken für bestimmte hyperbolischer Systeme erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung im Raum. Diese Art von Systemen erscheinen in einigen Formulierungen der Einstein'schen-Feldgleichungen, wie zB. den ADM, BSSN oder NOR Formulierungen, oder der sogenanten verallgemeinerten harmonischen Darstellung. Im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersuche ich zunächst tiefgehend die mathematischen Eigenschaften von finite-Differenzen-Operatoren (FDO) erster und zweiter Ordnung mit 2n-facher Genaugigkeit. Anschließend erweitere ich eine in der Literatur beschriebene Methode zur Stabilitätsanalyse für Systeme mit zentrierten FDOs in zweiter und vierter Genauigkeitsordung auf Systeme mit gemischten zentrierten und nicht zentrierten Ableitungsoperatoren 2n-facher Genauigkeit, eingeschlossen zusätzlicher Dämpfungsterme, wie sie bei numerischen Simulationen der allgemeinen Relativitätstheorie üblich sind. Bei der Untersuchung der einfachen Wellengleichung als Fallbeispiel wird besonderes Augenmerk auf die Analyse der Courant-Grenzen und numerischen Geschwindigkeiten gelegt. Obwohl unzentrierte, diskrete Ableitungsoperatoren größere Diskretisierungs-Fehler besitzen als zentrierte Ableitungsoperatoren, wird gezeigt, daß man in bestimmten Situationen eine Dezentrierung des numerischen Moleküls von nur einem Punkt bezüglich des zentrierten FDO eine höhere Genauigkeit des numerischen Systems erzielen kann. Die Wellen-Gleichung in einer Dimension wurde ebenfalls im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersucht. In Abhängigkeit des Wertes des sogenannten Shift-Vektors, müssen entweder zwei (vollständig eingehende Welle), eine (eingehende Welle) oder keine Randbedingung (ausgehende Welle) definiert werden. In dieser Arbeit wurden alle drei Fälle mit Hilfe der 'Ghost-point-methode' numerisch simuliert und untersucht, und zwar auf eine Weise, daß alle diese Algorithmen stabil sind und eine 2n-Genauigkeit besitzen. In der 'ghost-point-methode' werden die Evolutionsgleichungen bis zum letzen Punkt im Gitter diskretisiert unter Verwendung von zentrierten FDOs und die zusätzlichen Punkte die am Rand benötigt werden ('Ghost-points') werden unter Benutzung von Randwertbedingungen und Extrapolationen abgeschätzt. Für den Zufluß-Randwert wurde zusätzlich noch eine andere Implementierung entwickelt, welche auf der sogenannten SBP-SAT (Summation by parts-simulatanous approximation term) basiert. In dieser Methode werden die diskreten Ableitungen durch Operatoren angenähert, welche die 'Summation-by-parts' Regeln erfüllen. Die Randwertbedingungen selber werden in zusätzlichen Termen integriert, welche zu den Evolutionsgleichnungen der Punkte nahe des Randes hinzuaddiert werden und zwar auf eine Weise, daß die 'summation-by-parts' Eigenschaften erhalten bleiben. Am Ende dieser Arbeit wurde noch eine eindimensionale (kugelsymmetrische) Version der BSSN Formulierung abgeleitet und einige physikalisch relevanten Anfangs-Randwertprobleme werden diskutiert. Die Randwert-Algorithmen, welche für diesen Fall ausgearbeitet wurden, basieren auf der 'Ghost-point-Methode' and erfüllen die innere 2n-Genauigkeit solange genügend Reibung in den Gleichungen zugefügt wird.

Aufgabengeeignete Rechenstrategien flexibel zu nutzen ist ein wichtiges Ziel mathematischer Bildung und Bestandteil der Bildungsstandards der Grundschulmathematik. Kinder sollen spontan entscheiden, ob sie arithmetische Aufgaben in üblicher Weise berechnen oder ob sie Zeit und Aufwand investieren, um nach Vereinfachungsstrategien zu suchen und diese anzuwenden. Der Schwerpunkt der aktuellen Arbeit ist, wie Schüler beim flexiblen Erkennen und Anwenden von Vereinfachungsstrategien unterstützt werden können. Kontextfaktoren werden untersucht, welche die spontane Nutzung von Vereinfachungsstrategien unterstützen und den Transfer zwischen ihnen beeinflussen. Kognitive Theorien über die Entwicklung von mathematischen Konzepten und Strategien wurden mit Erkenntnissen aus der Expertise Forschung verbunden, welche die Unterschiede in der Flexibilität zwischen Experten und Novizen offen legen. Im Rahmen der iterativen Entwicklung von mathematischen Konzepten könnte ein erfolgreiches Erkennen und Anwenden einer Vereinfachungsstrategie von Faktoren, die konzeptionelles und/oder prozedurales Wissen aktivieren, profitieren. Am Beispiel von Vereinfachungsstrategien, die auf dem Kommutativgesetz (a + b = b + a) basieren, werden drei Kontextfaktoren (Instruktion, Assoziation und Schätzen), die spontanen Strategiegebrauch unterstützen oder behindern, untersucht. Insgesamt zeigt die Dissertation, dass spontane Strategienutzung durch bestimmte Kontextfaktoren unterstützt und durch Andere behindert werden kann. Diese Kontextfaktoren können im Prinzip in der Schulumgebung gesteuert werden. / Flexible use of task-appropriate solving strategies is an important goal in mathematical education and educational standard of elementary school mathematics. Children need to decide spontaneously whether they calculate arithmetic problems the usual way or whether they invest time and effort to search for shortcut options and apply them. The focus of the current work lies on how students can be supported in spotting and applying shortcut strategies flexibly. Contextual factors are investigated that support the spontaneous usage of shortcuts and influences the transfer between them. Cognitive theories about how mathematical concepts and strategies develop were combined with findings from research on expertise, which disclose differences between the flexibility of experts and novices. In line with iterativ development of mathematical concepts successfully spotting and applying a shortcut might thus benefit from factors activating conceptual and/or procedural knowledge. Shortcuts based on commutativity (a + b = b + a) are used as a test case to investigat three contextual factors (instruction, association and estimation), which support or hinder spontaneous strategy use. Overall, the dissertation shows that spontaneous strategy use can be supported by some contextual factors and impeded by others. These contextual factors can, in principle, be controlled in school environment.

Die Arbeit dient der numerischen Simulation der Spurbildung in Asphaltstraßen und der Herstellung widerstandsfähiger Asphaltmischungen. Zur Modellbildung musste die physikalisch-mechanische Ursache der bleibenden Verformungen bei hohen Temperaturen geklärt werden. Im Gegensatz zu bisher existierenden Stoffmodellen ist in dieser Arbeit das Verhalten teilgesättigter granulerer Stoffe unter zyklischer Belastung als die Grundlage der Untersuchung gewählt worden. Diese zeigen bei entsprechend hoher Sättigung der Hohlräume des mineralischen Korngerüsts unter zyklischer Scherbeanspruchung und bei gleichzeitigem Druck das Phänomen der „zyklischen Mobilität”. Die Erklärung dafür ist die Verdichtungsneigung des Korngerüstes und die Inkompressibilität des Porenfluids, wodurch Porenüberdrücke entstehen. Zyklische Mobilität bedeutet den Abfall der Steifigkeit. Durch die Zunahme der Dehnungsamplituden infolge zyklischer Scherbelastung und der Irreversibilität des granularen Materials verursacht dieses Verhalten die erhöhte Spurbildungsneigung. Die richtige Modellwahl konnte durch systematische experimentelle Ergebnisse belegt werden. Die monotonen triaxialen Kompressionsversuche beweisen die Barotropie und Pyknotropie der Steifigkeit, der Festigkeit und der Dilatanz des mineralischen Korngerüstes. Durch Kompression unter zyklischem Scheren wird die Existenz eines optimalen Bitumengehalts bewiesen, bei welchem die höchste Dichte des Kornegerüstes erreicht werden kann. Bei Mischungen über dem optimalen Bindemittelgehalt wird der Porenfluidüberdruck durch Druckmessungen im Mörtel nachgewiesen. Für den Strassenbauasphalt ist erstmalig zur numerischen Simulation das aus Karlsruhe stammende, mit der „intergranularen Dehnung” erweiterte hypoplastische Stoffgesetz herangezogen worden. Den Schwerpunkt der Arbeit bildet die Bestimmung der hypoplastischen Stoffparameter und die Überprüfung des gewählten Stoffgesetzes durch Nachrechnung von zyklischen Einfachscherversuchen und Triaxialversuchen. In einer selbstentwickelten Torsionszelle wird durch unmittelbare Messung gezeigt, dass der Bitumengehalt über dem Optimum die Schubsteifigkeit verringert. Die Triaxialversuche beweisen die Möglichkeit des Eintretens der zyklischen Mobilität und dadurch die extreme Neigung zur Spurbildung. Diese Messungen beweisen die praktische Bedeutung des optimalen Bitumengehaltes. Das positive Ergebnis der Überprüfung des genanntes Stoffgesetzes liefert die theoretische Unterstützung der experimentellen Ergebnisse. Diese können als Grundlage einer neuen Perspektive in der rechnerischen Prognose sowie beim Entwurf und bei der Herstellung von Asphaltmischungen dienen.

Die Arbeit dient der numerischen Simulation der Spurbildung in Asphaltstraßen und der Herstellung widerstandsfähiger Asphaltmischungen. Zur Modellbildung musste die physikalisch-mechanische Ursache der bleibenden Verformungen bei hohen Temperaturen geklärt werden. Im Gegensatz zu bisher existierenden Stoffmodellen ist in dieser Arbeit das Verhalten teilgesättigter granulerer Stoffe unter zyklischer Belastung als die Grundlage der Untersuchung gewählt worden. Diese zeigen bei entsprechend hoher Sättigung der Hohlräume des mineralischen Korngerüsts unter zyklischer Scherbeanspruchung und bei gleichzeitigem Druck das Phänomen der „zyklischen Mobilität”. Die Erklärung dafür ist die Verdichtungsneigung des Korngerüstes und die Inkompressibilität des Porenfluids, wodurch Porenüberdrücke entstehen. Zyklische Mobilität bedeutet den Abfall der Steifigkeit. Durch die Zunahme der Dehnungsamplituden infolge zyklischer Scherbelastung und der Irreversibilität des granularen Materials verursacht dieses Verhalten die erhöhte Spurbildungsneigung. Die richtige Modellwahl konnte durch systematische experimentelle Ergebnisse belegt werden. Die monotonen triaxialen Kompressionsversuche beweisen die Barotropie und Pyknotropie der Steifigkeit, der Festigkeit und der Dilatanz des mineralischen Korngerüstes. Durch Kompression unter zyklischem Scheren wird die Existenz eines optimalen Bitumengehalts bewiesen, bei welchem die höchste Dichte des Kornegerüstes erreicht werden kann. Bei Mischungen über dem optimalen Bindemittelgehalt wird der Porenfluidüberdruck durch Druckmessungen im Mörtel nachgewiesen. Für den Strassenbauasphalt ist erstmalig zur numerischen Simulation das aus Karlsruhe stammende, mit der „intergranularen Dehnung” erweiterte hypoplastische Stoffgesetz herangezogen worden. Den Schwerpunkt der Arbeit bildet die Bestimmung der hypoplastischen Stoffparameter und die Überprüfung des gewählten Stoffgesetzes durch Nachrechnung von zyklischen Einfachscherversuchen und Triaxialversuchen. In einer selbstentwickelten Torsionszelle wird durch unmittelbare Messung gezeigt, dass der Bitumengehalt über dem Optimum die Schubsteifigkeit verringert. Die Triaxialversuche beweisen die Möglichkeit des Eintretens der zyklischen Mobilität und dadurch die extreme Neigung zur Spurbildung. Diese Messungen beweisen die praktische Bedeutung des optimalen Bitumengehaltes. Das positive Ergebnis der Überprüfung des genanntes Stoffgesetzes liefert die theoretische Unterstützung der experimentellen Ergebnisse. Diese können als Grundlage einer neuen Perspektive in der rechnerischen Prognose sowie beim Entwurf und bei der Herstellung von Asphaltmischungen dienen.