La première partie de cette thèse étudie la ligne de partage des eaux, un des outils fondamentaux développés par la morphologie mathématique dans le but de segmenter des images. Une caractérisation de cet objet pour des fonctions régulières est donnée, et un théorème de convergence de l'algorithme associe est démontré. Les liens entre la ligne de partage des eaux et le squelette par zones d'influence euclidien (ou diagramme de voronoï), ainsi qu'avec l'équation eikonale utilisée en shape from shading sont ensuite mis en valeur. Des algorithmes pour la reconstruction géodésique et pour la segmentation avec points d'ancrage sont construits sur le principe de celui de la ligne de partage des eaux. Enfin, un algorithme de segmentation hiérarchique fonde sur un nouveau principe de dynamique des contours, est développé. Il permet d'obtenir dans une seule image toute l'information du gradient utilisable pour la segmentation. La deuxième partie de cette thèse applique des outils de l'analyse multivoque et mutationnelle a la morphologie mathématique. La dérivée mutationnelle du tube de dilatation est calculée, justifiant de manière rigoureuse l'intuition selon laquelle un objet se dilate suivant ses normales en chacun de ses points. Les propriétés algébriques et de continuité d'applications induites par des inclusions différentielles et agissant sur des ensembles fermés sont caractérisées. Enfin, un algorithme d'optimisation (l'algorithme des montagnes russes), de nature non probabiliste, garantissant la convergence vers un minimum global, est proposé.