In this thesis, important theories in financial mathematics will be explained and derived. These theories will later be used to value financial derivatives. An analytical formula for valuing European call and put option will be derived and European call options will be valued under the Black-Scholes partial differential equation using three different finite difference methods. The Crank-Nicholson method will then be used to value American call options and solve their corresponding free boundary value problem. The optimal exercise boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The algorithm for valuing American call options will then be further developed to solve the stock loan problem. This will be achieved by exploiting a link that exists between American call options and stock loans. The Crank-Nicholson method will be used to value stock loans and their corresponding free boundary value problem. The optimal exit boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The results that are obtained from the numerical calculations will finally be used to discuss how different parameters affect the valuation of American call options and the valuation of stock loans. In the end of the thesis, conclusions about the effect of the different parameters on the optimal prices will be presented. / I det här kandidatexamensarbetet kommer fundamentala teorier inom finansiell matematik förklaras och härledas. Dessa teorier kommer lägga grunden för värderingen av finansiella derivat i detta arbete. En analytisk formel för att värdera europeiska köp- och säljoptioner kommer att härledas. Dessutom kommer europeiska köpoptioner att värderas numeriskt med tre olika finita differensmetoder. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer sedan användas för att värdera amerikanska köpoptioner och lösa det fria gränsvärdesproblemet (free boundary value problem). Den optimala omvandlingsgränsen (Optimal Exercise Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Algoritmen för att värdera amerikanska köpoptioner utökas därefter till att värdera lån med aktier som säkerhet. Detta kan åstadkommas genom att utnyttja ett samband mellan amerikanska köpoptioner med lån där aktier används som säkerhet. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer dessutom att användas för att värdera lån med aktier som säkerhet. Den optimala avyttringsgränsen (Optimal Exit Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Resultaten från de numeriska beräkningarna kommer slutligen att användas för att diskutera hur olika parametrar påverkar värderingen av amerikanska köpoptioner, samt värdering av lån med aktier som säkerhet. Avslutningsvis kommer slutsatser om effekterna av dessa parametrar att presenteras.