I detta arbete har målet varit att numeriskt beräkna en lösning till värmeledningsekvationen med rörlig rand med en slumpvandringsmetod. Analytiska lösningar samt lösningar med andra numeriska metoder nns det gott om, det stora problemet ligger i den rörliga randen. Första halvan behandlar en del teori kring värmeledningsekvationen, i synnerhet lösningar med Dirichletvillkor. I den andra halvan behandlas slumpvandringsmetoden för den homogena värmeledningsekvationen. Metoden appliceras först på enkla exempel, för att sedan lösa Stefanproblemet. I slutet av arbetet görs en kort felanalys för den numeriska lösningen av Stefanproblemet. Detta arbete har, som sagt, behandlat en lösning via en slumpprocess till ett exempel på värmeledningsekvationen med rörlig rand. Numeriska metoder genom slumpprocesser för att lösa partiella dierentialekvationer med just rörlig rand är något som det idag forskas på, varpå detta arbete ligger i linje med vad som är aktuellt för ämnet. Exempelvis så behandlar [1] en del kring vad som är aktuellt för s.k. free boundary problems och i [2] diskuteras det aktuella metoder för att utvidga slumpprocesser till ickelinjära problem.

The cause of unintentional initiations of energetic materials is an important area of study due to the risks that comes with storing energetic materials such as high explosives. The current models used to simulate the process of heating energetic materials by a hot metal fragment do not give reliable predictions. The objective of this thesis is to study the current models in order to get a better understanding of how to improve the accuracy of the simulations. The heat transfer in the fragment and energetic material is modeled using the heat equation and the reaction rates in the chemical decomposition of the energetic material are modeled using Arrhenius equations. This study shows the importance of accurately implementing the contact area and heat transfer coefficient between the fragment and the energetic material. The thermal conductivity has a significantly smaller affect on the initiation time compared to the heat transfer coefficient. Furthermore, the dimensions of the fragment affect the resulting simulations greatly, while the dimensions of the energetic material only does so for sufficiently small dimensions. / Orsaken till oavsiktliga initieringar av energetiska material är ett viktigt studieområde på grund av riskerna som följer med att lagra energiskt material, så som sprängämnen. De nuvarande modellerna som används för att simulera uppvärmningsprocessen av energetiska material med ett hett metallfragment ger inte tillförlitliga förutsägelser. Syftet med denna uppsats är att studera de nuvarande modellerna för att få en bättre förståelse för hur man kan förbättra noggrannheten i simuleringarna. Värmeöverföringen i fragmentet och det energetiska materialet modelleras med hjälp av värmeledningsekvationen och reaktionshastigheterna i den kemiska nedbrytningen av det energetiska materialet modelleras med hjälp av Arrhenius-ekvationer. Denna studie visar vikten av att korrekt implementera kontaktytan och värmeöverföringskoefficient mellan fragmentet och det energetiska materialet. Den termiska konduktiviteten har en betydligt mindre effekt på initieringstiden jämfört med värmeöverförings- koefficienten. Vidare så påverkar fragmentets dimensioner de resulterande simuleringarna i hög grad, medan dimensionerna av det energetiska materialet gör så endast för tillräckligt små dimensioner.

Heat transfer is key to understanding many processes in engineering. At a steel mill heat transfer is absolutely crucial to understanding most of the processes. One such a process is the pre-heating of a freshly relined ladle. The goal of this project was to develop code which could solve the diffusion equation, in an arbitrary three-dimensional geometry, subject to Dirichlet, Robin, Neumann, and certain kinds of non-linear boundary conditions. In order to approximate the solution the code uses a cell centred finite volume methodology. In order to verify the computational correctness of the code it was used on three simple cases where analytic solutions are known, a rarity for three-dimensional boundary value problems. A mathematical model for the heat conduction inside a ladle at Ovako’s site in Hofors was developed. The model was evaluated based on measurements on the outside of the ladle as well as from a temperature probe inside the bottom of the ladle. The model was found to adequately agree with the measured temperature. The code can thus be used to find a more optimal heating regiment of the ladle, possibly reducing emissions. / Värmeöverföring är nyckeln till att förstå många processer inom teknik. På ett stålverk är värmeöverföring helt avgörande för att förstå de flesta av processerna. En sådan process är förvärmning av en nymurad skänk. Målet med detta projekt var att utveckla en kod som kunde lösa diffusionsekvationen i en godtycklig tredimensionell geometri under Dirichlet-, Robin-, Neumann- och vissa typer av icke-linjära randvillkor. För att approximera lösningen använder koden en cellcentrerad finita volymmetodik. För att verifiera kodens beräkningsmässiga korrekthet användes den i tre enkla fall där analytiska lösningar är kända, vilket är en sällsynthet för tredimensionella randvärdesproblem. En matematisk modell för värmeledningen i en skänk vid Ovakos anläggning i Hofors utvecklades. Modellen utvärderades utifrån mätningar på utsidan av skänken samt från ett termoelement inuti botten av skänken. Modellen visade sig stämma väl överens med den uppmätta temperaturen. Koden kan därför användas för att hitta ett mer optimalt uppvärmningsschema för skänken, vilket eventuellt kan minska utsläppen från processen.

In this thesis, important theories in financial mathematics will be explained and derived. These theories will later be used to value financial derivatives. An analytical formula for valuing European call and put option will be derived and European call options will be valued under the Black-Scholes partial differential equation using three different finite difference methods. The Crank-Nicholson method will then be used to value American call options and solve their corresponding free boundary value problem. The optimal exercise boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The algorithm for valuing American call options will then be further developed to solve the stock loan problem. This will be achieved by exploiting a link that exists between American call options and stock loans. The Crank-Nicholson method will be used to value stock loans and their corresponding free boundary value problem. The optimal exit boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The results that are obtained from the numerical calculations will finally be used to discuss how different parameters affect the valuation of American call options and the valuation of stock loans. In the end of the thesis, conclusions about the effect of the different parameters on the optimal prices will be presented. / I det här kandidatexamensarbetet kommer fundamentala teorier inom finansiell matematik förklaras och härledas. Dessa teorier kommer lägga grunden för värderingen av finansiella derivat i detta arbete. En analytisk formel för att värdera europeiska köp- och säljoptioner kommer att härledas. Dessutom kommer europeiska köpoptioner att värderas numeriskt med tre olika finita differensmetoder. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer sedan användas för att värdera amerikanska köpoptioner och lösa det fria gränsvärdesproblemet (free boundary value problem). Den optimala omvandlingsgränsen (Optimal Exercise Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Algoritmen för att värdera amerikanska köpoptioner utökas därefter till att värdera lån med aktier som säkerhet. Detta kan åstadkommas genom att utnyttja ett samband mellan amerikanska köpoptioner med lån där aktier används som säkerhet. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer dessutom att användas för att värdera lån med aktier som säkerhet. Den optimala avyttringsgränsen (Optimal Exit Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Resultaten från de numeriska beräkningarna kommer slutligen att användas för att diskutera hur olika parametrar påverkar värderingen av amerikanska köpoptioner, samt värdering av lån med aktier som säkerhet. Avslutningsvis kommer slutsatser om effekterna av dessa parametrar att presenteras.