On étudie les surfaces plates à singularités coniques, leur géométrie, leur espaces des déformations et leur paramétrisation. La surface de base est la sphère à trois trous (pantalon). On trouve trois ensembles de paramètres pour le pantalon plat à un point singulier conique et on décrit son espace des déformations. On introduit un flot que l'on appelle flot de Fenchel-Nielsen sur un espace des déformations. On étudie l'injectivité de ce flot en examinant la variation des fonctions longueur de segments géodésiques ou de géodésiques simples fermées le long de ce flot. On étudie également la paramétrisation d'une surface plate à singularités coniques utilisant des longueurs des segments géodésiques joignant des points singuliers ou un point singulier à une composante du bord. A la fin du texte, trois annexes apportent des discussions supplémentaires.