El objeto del estudio son las subvariedades propiamente inmersas en variedades ambientes que tienen al menos un polo. Tanto la variedad ambiente (a través de sus curvaturas seccionales) como la subvariedad (a través de su curvatura media radial) tienen sus geometrías controladas. Este estudio se lleva a cabo utilizando la distancia extrínseca y el análisis del Laplaciano y del Hessiano. Con todo ello se establecen resultados en dos campos del Análisis Geométrico: 1. La descripción en términos geométricos de la parabolicidad o hiperbolicidad de la subvariedad cuando la variedad ambiente es de Cartan-Hadamard. Se incluye también resultados sobre las superficies en el Espacio Euclídeo. 2. La generalización de la desigualdad de Chern-Osserman (establecida en principio para superficies minimales en el Espacio Euclídeo o en el Espacio Hiperbólico y posteriormente para no minimales en el Espacio Euclídeo) para superficies no necesariamente minimales en una variedad de Cartan-Hadamard.