In this paper we study the Gauss map of minimal surfaces in the Heisenberg group, H₃. We obtain a representation formula for minimal surfaces in H₃ by means of the Gauss map. As consequence we conclude that: The Gauss map of a minimal surface of H₃ is antiholomorphic if the minimal surface is a plane.

Clasificamos las superficies mínimas del grupo de Heisenberg, H₃, que son invariantes con respecto a un subgrupo unidimensional de isometrías de (H₃, g), haciendo uso de las técnicas de los grupos de transformaciones.

El objeto del estudio son las subvariedades propiamente inmersas en variedades ambientes que tienen al menos un polo. Tanto la variedad ambiente (a través de sus curvaturas seccionales) como la subvariedad (a través de su curvatura media radial) tienen sus geometrías controladas. Este estudio se lleva a cabo utilizando la distancia extrínseca y el análisis del Laplaciano y del Hessiano. Con todo ello se establecen resultados en dos campos del Análisis Geométrico: 1. La descripción en términos geométricos de la parabolicidad o hiperbolicidad de la subvariedad cuando la variedad ambiente es de Cartan-Hadamard. Se incluye también resultados sobre las superficies en el Espacio Euclídeo. 2. La generalización de la desigualdad de Chern-Osserman (establecida en principio para superficies minimales en el Espacio Euclídeo o en el Espacio Hiperbólico y posteriormente para no minimales en el Espacio Euclídeo) para superficies no necesariamente minimales en una variedad de Cartan-Hadamard.

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis

El trabajo trata sobre encontrar una representación para superficies espaciales inmersas en L3 con curvatura media constante y con métrica de Lorentz. Basado en el paper [1], esto conlleva a estudiar la aplicación de Gauss, la ecuación de Beltrami y la fórmula de representación para la superficie espaciales inmersa en L3, en función de la aplicación de Gauss y la curvatura media de la superficie. Entre otros, se ha utilizado principalmente las bibliografías [2], [3], [7], [13], [14]. / Tesis