Ingeniero Civil Matemático / El trabajo presentado en esta memoria se sitúa en la interfaz entre el análisis y la geometría. El interés recae en el estudio de fenómenos de concentración para dos problemas "geométricos" no lineales: la existencia de hipersuperficies con r-curvatura constante en variedades Riemannianas, y una ecuación de Schrödinger no lineal. Esta memoria se puede dividir en dos partes principales. La primera está dedicada a explorar algunos resultados sobre concentración de familias de hipersuperficies de curvatura media constante (o en general curvatura r-media constante) con topología no trivial en variedades Riemannianas compactas. Se recuerda que la curvatura r-media de una hipersuperficie se define como la r-ésima función simétrica elemental de las curvaturas principales de la hipersuperficie. Se prueba que las técnicas desarrolladas en el trabajo de Mahmoudi, Mazzeo y Pacard se pueden extender para manejar el caso de curvatura r-media con r>=1. Este fenómeno de concentración se relaciona en general con un fenómeno de resonancia, que hace el análisis particularmente delicado y que también se encuentra en el estudio de una clase de ecuaciones elípticas no lineales que presentan concentración sobre conjuntos de dimensión mayor. En la segunda parte, correspondiente al paper presentado, se prueba un nuevo resultado sobre concentración en subvariedades para una ecuación de Schrödinger no lineal con potencial definido en una variedad Riemanniana suave y compacta M o el espacio Euclídeo R^n, resolviendo en completa generalidad una conjetura planteada por Ambrosetti, Malchiodi y Ni. Precisamente, se estudian soluciones positivas de la siguiente ecuación semilineal: $$\e^2\Delta_{\bar g} u - V(z)u + u^{p} =0 en M,$$ donde (M,g) es una variedad Riemanniana n-dimensional suave, compacta y sin borde o el espacio Euclídeo R^n, e es un parámetro positivo pequeño, p>1 y V es un potencial uniformemente positivo. Se prueba que dado k=1,...,n-1 y 1<p<(n+2-k)/(n-2-k), y suponiendo que K es una subvariedad k-dimensional suave y encajada de M, que es estacionaria y no degenerada con respecto al funcional $\int_K V^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n-k}{2}}dvol$, entonces existe una secuencia $e=\e_j \to 0$ y soluciones positivas asociadas $u=u_\e$ que concentran sobre K en el sentido de que decaen exponencialmente a cualquier distancia positiva a K. En particular este enfoque explora una conexión entre soluciones de esta ecuación de Schrödinger no lineal y subvariedades f-minimales en variedades con densidad.

The aim of this thesis is to study in detail the work of S. Kobayashi on the Riemannian geometry on principal S1-bundles. To be more precise, we explain how to obtain metrics with constant scalar curvature on these bundles. The method that we use is based in [18]. The basic idea behind Kobayashi’s construction is to slightly deform the Hopf fibration S1 ‹→ S2n+1 −→ CPn in a such a way that the corresponding sectional curvatures are not far from the produced by the standard metrics on the sphere and the complex projective space on the Hopf fibration. This deformations can be controlled applying the notions of Riemaniann and Kahlerian pinching (see Chapter 3). Furthermore, thanks to a technique developed by Hatakeyama in [14], it is possible to obtain less generic metrics but with a larger set of symmetries on the total space: Sasaki metrics. Actually, If one chooses as a base space a K¨ahler-Einstein manifold with positive scalar curvature one can obtain a Sasaki-Einstein metric. / Tesis

Clasificamos las superficies mínimas del grupo de Heisenberg, H₃, que son invariantes con respecto a un subgrupo unidimensional de isometrías de (H₃, g), haciendo uso de las técnicas de los grupos de transformaciones.

The aim of this thesis is to study in detail the work of S. Kobayashi on the Riemannian geometry on principal S1-bundles. To be more precise, we explain how to obtain metrics with constant scalar curvature on these bundles. The method that we use is based in [18]. The basic idea behind Kobayashi’s construction is to slightly deform the Hopf fibration S1 ‹→ S2n+1 −→ CPn in a such a way that the corresponding sectional curvatures are not far from the produced by the standard metrics on the sphere and the complex projective space on the Hopf fibration. This deformations can be controlled applying the notions of Riemaniann and Kahlerian pinching (see Chapter 3). Furthermore, thanks to a technique developed by Hatakeyama in [14], it is possible to obtain less generic metrics but with a larger set of symmetries on the total space: Sasaki metrics. Actually, If one chooses as a base space a K¨ahler-Einstein manifold with positive scalar curvature one can obtain a Sasaki-Einstein metric. / Tesis

El trabajo trata sobre encontrar una representación para superficies espaciales inmersas en L3 con curvatura media constante y con métrica de Lorentz. Basado en el paper [1], esto conlleva a estudiar la aplicación de Gauss, la ecuación de Beltrami y la fórmula de representación para la superficie espaciales inmersa en L3, en función de la aplicación de Gauss y la curvatura media de la superficie. Entre otros, se ha utilizado principalmente las bibliografías [2], [3], [7], [13], [14]. / Tesis

Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis

Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis