La teoría de las superficies mínimas y en general las inmersiones mínimas es un tema muy atrayente en el que se realiza un intenso trabajo de investigación dentro de la Geometría Diferencial. Desde los inicios de esta teoría se pudo notar la relación entre la propiedad de minimalidad y las aplicaciones armónicas. En los inicios E. Beltrami establece que una superficie en R3 es mínima si sus componentes son funciones armónicas. Hasta llegar a nuestros días donde Eells-Sampson establece que una inmersión isométrica es mínima si tal aplicación es armónica.

En este trabajo se presenta una breve introducción a las aplicaciones armónicas entre variedades Riemannianas. Hacemos esto desde el punto de vista tensorial. Es decir, una aplicación es armónica si el trazo de su segunda forma fundamental es cero.

El trabajo trata sobre encontrar una representación para superficies espaciales inmersas en L3 con curvatura media constante y con métrica de Lorentz. Basado en el paper [1], esto conlleva a estudiar la aplicación de Gauss, la ecuación de Beltrami y la fórmula de representación para la superficie espaciales inmersa en L3, en función de la aplicación de Gauss y la curvatura media de la superficie. Entre otros, se ha utilizado principalmente las bibliografías [2], [3], [7], [13], [14]. / Tesis

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis