Let E be a one-parameter family of elliptic curves over a number field. It is natural to expect the average root number of the curves in the family to be zero. All known counterexamples to this folk conjecture occur for families obeying a certain degeneracy condition. We prove that the average root number is zero for a large class of families of elliptic curves of fairly general type. Furthermore, we show that any non-degenerate family E has average root number 0, provided that two classical arithmetical conjectures hold for two homogeneous polynomials with integral coefficients constructed explicitly in terms of E.<br />The first such conjecture -- commonly associated with Chowla -- asserts the equidistribution of the parity of the number of primes dividing the integers represented by a polynomial. We prove the conjecture for homogeneous polynomials of degree 3.<br />The second conjecture used states that any non-constant homogeneous polynomial yields to a square-free sieve. We sharpen the existing bounds on the known cases by a sieve refinement and a new approach combining height functions, sphere packings and sieve methods.

Made available in DSpace on 2016-03-15T19:37:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mateus Interciso.pdf: 1720671 bytes, checksum: aa67cff2cc9f7abe5fb3b48bead6b38d (MD5) Previous issue date: 2011-08-23 / Fundo Mackenzie de Pesquisa / The search for cellular automata (CAs) rules capable of executing a determined task can be impossible to be achieve manually, given the huge size of the search space usually involved. A method for being able to find rules capable of executing the task at hand has been the usage of genetic algorithms (GAs) to evolve an initially random population, until the desired objective; each individual of those GAs are usually represented by a candidate transition rule. In problems formulated for the resolution by a binary cellular automaton, a recently used modification on the representation of the individuals was the usage of templates with the presence of an extra symbol, capable of representing every other valid symbol. Such schema of ternary representation is used on the present work, aiming for it s net effect on the search process on the GAs. This study is made for two classical tasks of binary unidimensional cellular automata, the density classification task and the parity problem, both traditional in the context of using GAs for searching transition rules with high performance. By comparing the results of the original GAs and their versions implemented with the ternary representation, it s shown that the ternary representation is able to improve the quality of the results. Particularly, it is analized the condition in which the usage of the ternary representation presents to be more effective, as well as some effects of the actual implementation. Possible future works are presented at the end. / A busca por regras de autômatos celulares que efetuem corretamente uma determinada tarefa pode ser impossível de ser efetuada manualmente, dado o enorme tamanho dos espaços de busca usualmente envolvidos. Uma forma para conseguir encontrar boas regras para a execução do problema em questão tem sido a utilização de algoritmos genéticos (AGs) para evoluir uma população inicialmente aleatória, até o objetivo desejado; nesses AGs cada indivíduo é normalmente representado como uma regra de transição candidata. Em problemas formulados para resolução por um autômato celular binário, uma alteração recentemente estudada na literatura para a representação dos indivíduos foi a utilização de templates (moldes) com a presença de um símbolo extra, capaz de representar os demais símbolos. Tal esquema de representação ternária é utilizada no presente trabalho, visando avaliar seu efeito no processo de busca realizado por AGs. O estudo é feito para duas tarefas clássicas de autômatos celulares unidimensionais binários, a tarefa de classificação da densidade e o problema da paridade, ambas tradicionais no contexto da utilização de AGs para encontrar regras de transição com alta performance. Ao comparar os resultados de AGs originais encontrados na literatura com suas versões implementadas com representação ternária, mostra-se que a representação ternária é capaz de melhorar a qualidade dos resultados. Em particular, analisam-se condições em que o uso da representação ternária se mostra mais efetivo, bem como apontam-se efeitos de alguns aspectos de implementação. Possíveis trabalhos futuros pertinentes ao estudo são discutidos ao final.

Made available in DSpace on 2016-03-15T19:37:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mateus Interciso.pdf: 1732926 bytes, checksum: f29787f421b0b5f1d6dedd2c1eb4e0fc (MD5) Previous issue date: 2011-09-23 / Fundo Mackenzie de Pesquisa / The search for cellular automata (CAs) rules capable of executing a determined task can be impossible to be achieve manually, given the huge size of the search space usually involved. A method for being able to find rules capable of executing the task at hand has been the usage of genetic algorithms (GAs) to evolve an initially random population, until the desired objective; each individual of those GAs are usually represented by a candidate transition rule. In problems formulated for the resolution by a binary cellular automaton, a recently used modification on the representation of the individuals was the usage of templates with the presence of an extra symbol, capable of representing every other valid symbol. Such schema of ternary representation is used on the present work, aiming for it s net effect on the search process on the GAs. This study is made for two classical tasks of binary unidimensional cellular automata, the density classification task and the parity problem, both traditional in the context of using GAs for searching transition rules with high performance. By comparing the results of the original GAs and their versions implemented with the ternary representation, it s shown that the ternary representation is able to improve the quality of the results. Particularly, it is analized the condition in which the usage of the ternary representation presents to be more effective, as well as some effects of the actual implementation. Possible future works are presented at the end. / A busca por regras de autômatos celulares que efetuem corretamente uma determinada tarefa pode ser impossível de ser efetuada manualmente, dado o enorme tamanho dos espaços de busca usualmente envolvidos. Uma forma para conseguir encontrar boas regras para a execução do problema em questão tem sido a utilização de algoritmos genéticos(AGs) para evoluir uma população inicialmente aleatória, até o objetivo desejado; nesses AGs cada indivíduo é normalmente representado como uma regra de transição candidata. Em problemas formulados para resolução por um autômato celular binário, uma alteração recentemente estudada na literatura para a representação dos indivíduos foi a utilização de templates (moldes) com a presença de um símbolo extra, capaz de representar os demais símbolos. Tal esquema de representação ternária é utilizada no presente trabalho, visando avaliar seu efeito no processo de busca realizado por AGs. O estudo é feito para duas tarefas clássicas de autômatos celulares unidimensionais binários, a tarefa de classificação da densidade e o problema da paridade, ambas tradicionais no contexto da utilização de AGs para encontrar regras de transição com alta performance. Ao comparar os resultados de AGs originais encontrados na literatura com suas versões implementadas com representação ternária, mostra-se que a representação ternária é capaz de melhorar a qualidade dos resultados. Em particular, analisam-se condições em que o uso da representação ternária se mostra mais efetivo, bem como apontam-se efeitos de alguns aspectos de implementação. Possíveis trabalhos futuros pertinentes ao estudo são discutidos ao final.