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PolinÃmios, equaÃÃes algÃbricas e o estudo de suas raÃzes reais / Polynomials, algebraic equations and the study of its real rootsCarlos Kleber Alves do Nascimento 29 July 2015 (has links)
CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho visa contribuir para que alunos e professores do ensino mÃdio possam aprimorar seus conhecimentos matemÃticos em nÃmeros complexos, polinÃmios e equaÃÃes polinomiais. Inicialmente foi analisado o contexto histÃrico dos nÃmeros complexos, em seguida foram vistos alguns conceitos importantes como o de corpo dos nÃmeros complexos, unidade imaginÃria e plano complexo. AlÃm disso, foram apresentadas as propriedades e operaÃÃes bÃsicas dos polinÃmios, o dispositivo de Briot-Ruffini, atravÃs do qual podemos obter o quociente e o resto da divisÃo de um polinÃmio p(x) por um polinÃmio linear. Parte significativa deste trabalho foi dedicado ao estudo de equaÃÃes algÃbricas. Nessa perspectiva, foram discutidos alguns teoremas e mÃtodos resolutivos de equaÃÃes como o mÃtodo de Gustavo, que nos auxilia na resoluÃÃo de equaÃÃes do terceiro e do quarto graus, o teorema das raÃzes racionais, entre outros. Para tanto, foi essencial provar o Teorema Fundamental da Ãlgebra, que afirma que todo polinÃmio nÃo constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Ademais, mostramos como podemos analisar o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo polinomial com coeficientes reais. Nesse sentido, provamos o Teorema de Descartes, que diz que o nÃmero de raÃzes positivas de uma equaÃÃo nÃo supera o nÃmero de mudanÃas de sinal na sequÃncia dos seus coeficientes nÃo nulos. Provamos tambÃm o Teorema de Bolzano, que investiga o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo num intervalo real e, finalmente, o Teorema de Lagrange que estabelece um limite superior das raÃzes reais de uma equaÃÃo. / This work aims to help students and high school teachers to improve their math skills in complex numbers, polynomials and polynomial equations. Initially it analysed the historical context of complex numbers then were seen some important concepts such as the body of complex numbers, imaginary unit and complex plane. In addition, the properties and basic operations of the polynomials were presented, the Briot-Ruffini device, through which we can get the quotient and remainder of the division of a polynomial p(x) by a linear polynomial. Significant part of this work was devoted to the study of algebraic equations. In this perspective, were discussed some theorems and methods of resolution of equations such as the method of Gustavo, who helps us in the resolution of equations of the third and fourth degrees, the theorem of rational roots, among others. For both, it was essential to prove the Fundamental Theorem of Algebra, which says that all polynomial not constant with complex coeficients has at least one complex root. Furthermore, we show how we can analyze the number of real roots of a polynomial equation with real coeficients. In this sense, we will prove the Theorem of Descartes, which says that the number of positive roots of an equation does not exceed the number of signal changes following its non-zero coeficients. We prove the theorem of Bolzano, which investigates the number of real roots of an equation in a real interval and finally the theorem of Lagrange the establishes an upper limit on roots of an equation.
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AvaliaÃÃo genÃtica da curva de lactaÃÃo de cabras saanen utilizando modelos de regressÃo aleatÃria / Genetic evaluation of goat milk production of saanen using random regression modelsTyssia Nogueira Maciel dos Santos 28 November 2014 (has links)
CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O objetivo deste estudo foi realizar uma avaliaÃÃo genÃtico-quantitativa da curva de lactaÃÃo atà 305 dias de cabras da raÃa Saanen, avaliando distintos modelos de regressÃo aleatÃria para o melhor ajuste das trajetÃrias fixa e aleatÃrias desta curva, e assim estimar as covariÃncias e parÃmetros genÃticos associados a este perÃodo. Foram utilizados 11.018 controles leiteiros de 950 lactaÃÃes de cabras pertencentes a rebanhos associados ao Programa de Melhoramento GenÃtico de Caprinos Leiteiros (CaprageneÂ). Os efeitos fixos utilizados nas anÃlises foram de grupo de contemporÃneos, sexo das crias, tipo de ordenha e manejo. Foram avaliados 18 modelos, com diferentes ordens, para verificar o melhor ajuste simultÃneo das regressÃes para as trajetÃrias fixa e aleatÃrias (efeitos genÃticos aditivos diretos, de ambiente permanente e residual). Para ajuste da regressÃo fixa, foram utilizados os polinÃmios ordinÃrios e os polinÃmios ortogonais de Legendre, de segunda ordem. Para as regressÃes aleatÃrias, foram utilizados os polinÃmios ordinÃrios, os polinÃmios ortogonais de Legendre e as funÃÃes b-spline, variando da segunda a quarta ordem. O modelo com os polinÃmios ortogonais de Legendre de segunda ordem para a parte fixa e as funÃÃes b-spline de quarta ordem para a parte aleatÃria foi o mais adequado para o ajuste dos dados analisados. Na trajetÃria fixa, este modelo estimou o pico de lactaÃÃo entre 52-61 dias, com valor mÃdio de 2,378 kg de leite/dia. A curva iniciou-se com uma produÃÃo mÃdia de 2,298 kg/dia, encerrando aos 305 dias com uma produÃÃo mÃdia de 0,758 kg/dia. As estimativas de herdabilidade variaram de 0,294  0,135 a 0,794  0,075. Maior variabilidade genÃtica foi estimada para os controles leiteiros intermediÃrios na trajetÃria da curva de lactaÃÃo, entre 79 e 180 dias, com maiores estimativas de herdabilidade. As correlaÃÃes genÃticas entre os controles variaram entre 0,551  0,125 e 0,998  0,001, como maiores valores para produÃÃes de leite em dias prÃximos e subsequentes, e tornando-se menores à medida que os controles se distanciavam. A variabilidade genÃtica estimada indica que à possÃvel modificar por seleÃÃo a curva de lactaÃÃo das cabras Saanen da populaÃÃo estudada. Esta seleÃÃo deve ser realizada entre 79 e 180 dias de lactaÃÃo, perÃodo posterior ao pico de lactaÃÃo, entretanto onde se observaram as maiores herdabilidades. A seleÃÃo neste ponto permitirà alteraÃÃes na curva como um todo, em funÃÃo das respostas genÃticas correlacionadas. / The aim of this study was to perform a genetic-quantitative evaluation of the lactation curve up to 305 days of Saanen goats, fitting different random regression models to the best fit on the fixed and random trajectories of this curve and thus estimate the (co) variances and genetic parameters associated to this period. 11,018test-day milk yieldof 950 goats belonging to herds supported by the Dairy Goats Breeding Program (CaprageneÂ) were used. The fixed effects used in the analysis were contemporary group, sex of offspring, type of milking and management. 18 models with different orderswere evaluated, to verify the simultaneous best fit of the regressions for the fixed and random trajectories (direct additive genetic, permanent environmental and residual effects). Ordinary orthogonal polynomials and Legendre polynomials, of second order were used to fit the fixed regression. Ordinary polynomials, orthogonal Legendre polynomials and B-spline functions, ranging from second to fourth order, were used for fit the random regressions. The model with orthogonal Legendre polynomials of second order to the fixed part and the b-spline function of fourth order for the random part was the most suitable for the fitting of the data analyzed. In fixed path, this model estimated peak lactation between 52-61 days, with an average of 2.378 kg of milk / day. The curve began with an average yield of 2.298 kg / day, ending 305 days with an average yield of 0.758 kg / day. Heritability estimates ranged from 0.294  0.135 to 0.794  0.075. Greater genetic variability was estimated for the intermediate test-day yields in the trajectory of the lactation curve, between 79 and 180 days, with higher heritability estimates. Genetic correlations among the test-day yields ranged from 0.551  0.125 and 0.998  0.001, with higher values between milk yield in the next and subsequent days, and becoming smaller as the distanceamong the test-day yield increase. The estimated genetic variability indicates that it is possible to modify the lactation curve of Saanen goats of the study population. The selection should be performed between 79 and 180 days of lactation, after the peak of lactation, however where the greatest heritabilities were observed period. The selection on this point will change the curve as a whole on the basis of correlated genetic responses.
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NÃmeros complexos: um estudo de aplicaÃÃes a trigonometria e as equaÃÃes algÃbricas / Complex numbers: a study of applications trigonometry and algebraic equationsAdenildo Texeira de AraÃjo 10 June 2014 (has links)
O estudo dos nÃmeros complexos no ensino mÃdio à caracterizado, quase exclusivamente, pela abordagem algÃbrica deixando a parte geomÃtrica e suas aplicaÃÃes sem uma devida importÃncia. Este trabalho apresenta um estudo sobre nÃmeros complexos bem como algumas de suas aplicaÃÃes tanto da parte algÃbrica, aplicada a polinÃmios, quanto da parte geomÃtrica aplicada em especial à trigonometria. De inÃcio fizemos uma abordagem dos fatos histÃricos desses nÃmeros citando alguns matemÃticos que deram suas contribuiÃÃes acerca desse conjunto complexo. Em seguida à apresentada a parte teÃrica, algÃbrica e geomÃtrica, bem como algumas aplicaÃÃes a trigonometria. Por fim apresentamos a teoria das equaÃÃes algÃbricas quadrÃticas e cÃbicas e a interaÃÃo dessas com os nÃmeros complexos. / The study of the complex numbers in the medium teaching is characterized, almost exclusively, for the algebraic approach leaving the geometric part and their applications without a due importance. This work presents a study on complex numbers as well as some of their applications so much of the algebraic part, applied to polynomials, as of the geometric part especially applied to the trigonometry. Of I begin did an approach of the historical facts of those numbers mentioning some mathematical that gave their contributions near of that complex group. Soon afterwards the part theoretical, algebraic and geometric is presented, as well as some applications the trigonometry. Finally we presented the theory of the quadratic and cubic algebraic equations and the interaction of those with the complex numbers.
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