Dans cette thèse, nous nous intéressons à la discrétisation par des schémas aux différences finies de problèmes faiblement bien posés. Nous donnons de nouvelles définitions qui prennent en compte la perte de régularité apparaissant dans les problèmes faiblement bien posés et nous étendons la condition nécessaire et suffisante de convergence de Lax-Richtmyer. En utilisant la théorie des perturbations et le développement en série de Puiseux, nous calculons le taux de convergence des schémas faisant partie d'une certaine classe. Nous illustrons numériquement nos résultats. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un cas particulier de problèmes faiblement bien posés: les couches parfaitement adaptées de Bérenger ou PML. Nous donnons des estimations d'énergie pour les équations de Maxwell que nous étendons au schéma de Yee. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique en temps de la solution d'une équation PML en utilisant l'approximation de l'optique géométrique.

Dans cette thèse, la Méthode des Points Matériels (MPM) est étendue à l’approximation de Galerkin Discontinue (DG) et appliquée aux problèmes hyperboliques en mécanique des solides. La méthode résultante (DGMPM) a pour objectif de suivre précisément les ondes dans des solides subissant de fortes déformations et dont les modèles constitutifs dépendent de l’histoire du chargement. A la croisée des méthodes de types éléments finis et volumes finis, la DGMPM s’appuie sur une grille de calcul arbitraire dans laquelle des flux sont calculés au moyen de solveurs de Riemann approximés sur les arêtes entre les éléments. L’intérêt de ce type de solveurs est qu’ils permettent l’introduction de la structure caractéristique des solutions des équations aux dérivées partielles hyperboliques directement dans le schéma numérique. Les analyses de stabilité et de convergence ainsi que l’illustration de la méthode sur des simulations de problèmes unidimensionnels et bidimensionnels montrent que le schéma numérique permet d’améliorer le suivi des ondes par rapport à la MPM. Par ailleurs, un deuxième objectif poursuivi dans cette thèse consiste à caractériser la réponse des solides élastoplastiques à des sollicitations dynamiques en deux dimensions en vue d’améliorer la résolution numérique de ces problèmes. Bien qu’un certain nombre de travaux aient déjà été menés dans cette direction, les problèmes étudiés se limitent à des cas particuliers. Un cadre unifié pour l’étude de la propagation d’ondes simples dans les solides élastoplastiques en déformations et contraintes plane est proposé dans cette thèse. Les trajets de chargement suivis à l’intérieur de ces ondes simples sont de plus analysés. / In this thesis, the material point method (MPM) is extended to the discontinuous Galerkin approximation (DG) and applied to hyperbolic problems in solid mechanics. The resulting method (DGMPM) aims at accurately following waves in finite-deforming solids whose constitutive models may depend on the loading history. Merging finite volumes and finite elements methods, the DGMPM takes advantage of an arbitrary computational grid in which fluxes are evaluated at element faces by means of approximate Riemann solvers. This class of solvers enables the introduction of the characteristic structure of the solutions of hyperbolic partial differential equations within the numerical scheme. Convergence and stability analyses, along with one and two-dimensional numerical simulations,demonstrate that this approach enhances the MPM ability to track waves. On the other hand, a second purpose has been followed: it consists in identifying the response of two-dimensional elastoplastic solids to dynamic step-loadings in order to improve numerical results on these problems. Although some studies investigated similar questions, only particular cases have been treated. Thus,a generic framework for the study of the propagation of simple waves in elastic-plastic solids under plane stress and plane strain problems is proposed in this thesis. The loading paths followed inside those simple waves are further analyzed.

L’Analyse isogéométrique (AIG) est une méthode innovante de résolution numérique des équations différentielles, proposée à l’origine par Thomas Hughes, Austin Cottrell et Yuri Bazilevs en 2005. Cette technique de discrétisation est une généralisation de l’analyse par éléments finis classiques (AEF), conçue pour intégrer la conception assistée par ordinateur (CAO), afin de combler l’écart entre la description géométrique et l’analyse des problèmes d’ingénierie. Ceci est réalisé en utilisant des B-splines ou des B-splines rationnelles non uniformes (NURBS), pour la description des géométries ainsi que pour la représentation de champs de solutions inconnus.L’objet de cette thèse est d’étudier la méthode isogéométrique dans le contexte des problèmes hyperboliques en utilisant les fonctions B-splines comme fonctions de base. Nous proposons également une méthode combinant l’AIG avec la méthode de Galerkin discontinue (GD) pour résoudre les problèmes hyperboliques. Plus précisément, la méthodologie de GD est adoptée à travers les interfaces de patches, tandis que l’AIG traditionnelle est utilisée dans chaque patch. Notre méthode tire parti de la méthode de l’AIG et la méthode de GD.Les résultats numériques sont présentés jusqu’à l’ordre polynomial p= 4 à la fois pour une méthode deGalerkin continue et discontinue. Ces résultats numériques sont comparés pour un ensemble de problèmes de complexité croissante en 1D et 2D. / Isogeometric Analysis (IGA) is a modern strategy for numerical solution of partial differential equations, originally proposed by Thomas Hughes, Austin Cottrell and Yuri Bazilevs in 2005. This discretization technique is a generalization of classical finite element analysis (FEA), designed to integrate Computer Aided Design (CAD) and FEA, to close the gap between the geometrical description and the analysis of engineering problems. This is achieved by using B-splines or non-uniform rational B-splines (NURBS), for the description of geometries as well as for the representation of unknown solution fields.The purpose of this thesis is to study isogeometric methods in the context of hyperbolic problems usingB-splines as basis functions. We also propose a method that combines IGA with the discontinuous Galerkin(DG)method for solving hyperbolic problems. More precisely, DG methodology is adopted across the patchinterfaces, while the traditional IGA is employed within each patch. The proposed method takes advantageof both IGA and the DG method.Numerical results are presented up to polynomial order p= 4 both for a continuous and discontinuousGalerkin method. These numerical results are compared for a range of problems of increasing complexity,in 1D and 2D.

Ce travail propose des éléments de description de roches naturelles en même temps qu'une réflexion sur quelques outils théoriques permettant d'appréhender la formation des roches métasomatiques, c'est à dire qui dérivent de transformations chimiques. A Costabonne (Pyrénées Orientales, France), des skarns se développent dans les niveaux de base de la série cambrienne de Canaveilles, au contact du granite hercynien dit de Costabonne. Plusieurs types de roches se font transformer en skarns: granites, marbres calcaires et dolomitiques, cornéennes calciques, schistes pélitiques et marbres à brucite. Les principaux systèmes de zones métasomatiques qui se développent sur les quatre premiers types de roches sont décrits. .Les transformations se font sur toute une gamme de conditions, ce qui peut amener les systèmes de zones à évoluer au cours du temps: ceci est particulièrement net dans le cas des skarns sur dolomies. Les conditions ont pu varier de (P > 2kb, T> 680°C) pour le début de la formation des skarns (eaux magmatiques -ou métamorphiques?-) jusqu'à (P < 2 kb, T < 200°C) pour les derniers stades (deux types d'eaux météoriques). Ces estimations reposent sur des données sur les inclusions fluides et la géochimie des isotopes stables (H, O, S, C) dont on propose une synthèse. La transformation des marbres est guidée au premier chef par l'apport de la silice et du fer tandis que celle des granites (et des schistes) est guidée par l'apport du calcium. Un aperçu sur le comportement spatial de divers éléments chimiques est donné. Les divers types de zonations sont illustrés par des photographies. Le modèle de la chromatographie proposé par Korzhinskii (1970) décrit de façon qualitative la formation des roches métasomatiques, et en particulier la propagation de fronts nets de transformation qui sont une caractéristique essentielle des skarns. Ce modèle a été repris et clarifié du point de vue théorique. Les conditions d'apparition même des fronts qui tiennent au conflit entre les vitesses des différentes compositions, sont reprécisées pour des conditions initiales et aux limites pouvant être quelconques. Il est commode de représenter ces fronts par des vraies discontinuités mathématiques, ce qui conduit à reprendre les formulations en se plaçant dans le cadre dit des distributions (en suivant ce qui est fait habituellement sur ce type de problème ou problème hyperbolique). L'existence et la propagation de discontinuités s'intègrent alors dans le modèle par une condition dérivée du second principe de la thermodynamique à rajouter au bilan matière: le front traduit ainsi l'instabilité d'une partie des compositions. Tout ceci a un intérêt plus général et permet de discuter l'apparition de discontinuités de composition à chaque fois qu'un mouvement différentiel entre deux entités (fluide aqueux/solide, liquide magmatique/solide) avec tendance à l'équilibre chimique a lieu. Des pistes d'application dans d'autres domaines (diagenèse, magmatisme) sont proposées. On peut s'attendre à ce que dans certaines conditions des strates apparaissent par compaction, ou à ce qu'un magma se sépare en sous-groupes distincts de compositions différentes au cours de son transport. L'effet de la variation de la porosité est analysé. On propose ensuite des simulations numériques pour l'échange de un et deux constituants. Dans le cas de deux constituants, l'effet des couplages est discuté. Dans certaines conditions particulières, les zonations peuvent être récurrentes et présenter des alternances ABAB etc. et l'on replace la situation de ce type de zonation dans le cadre du modèle d'ensemble. On parle enfin de deux autres approches : la première repose sur le dénombrement des degrés de liberté dans le cadre de la règle des phases et fait apparaître un système de zones comme un système lié. Dans la seconde on fait la proposition préliminaire d'une métrique dans les diagrammes en potentiels chimiques en utilisant le tableau des coefficients phénoménologiques Lij ; dans ce cadre, un principe de moindre distance permet, dans des conditions qui sont précisées, de relier deux points du diagramme représentant des situations contrastées et définir ainsi un trajet. On termine par quelques réflexions à caractère épistémologique consacrées en particulier au problème de la compréhension " scientifique " d'événements singuliers. Ces résultats s'appuient sur les travaux de toute une équipe, essentiellement stéphanoise.