Cette thèse est construite autour de l'approximation et la représentation des fonctions sur la sphère avec des applications pour des problèmes inverses issues de la géodésie et de l'imagerie médicale. Le plan de la thèse est structuré de la façon suivante. Dans le premier chapitre, on donne le cadre général d'un problème inverse ainsi que la description du problème de la géophysique et de la M/EEG. L'idée d'un problème inverse est de retrouver une densité à l'intérieur d'un domaine (la boule unité modélisant la terre ou le cerveau humain), à partir des données des mesures d'un certain potentiel à la surface du domaine. On continue par donner les principales définitions et théorèmes qu'on utilisera tout au long de la thèse. De plus, la résolution du problème inverse consiste dans la résolution de deux problèmes : transmission de données et localisation de sources à l'intérieur de la boule. En pratique, les données mesurées sont disponibles que sur des parties de la sphère : calottes sphériques, hémisphère nord de la tête (M/EEG), continents (géodésie). Pour représenter ce type de données, on construit la base de Slepian qui a des bonnes propriétés sur les régions étudiées. Dans le Chapitre 4 on s'intéresse au problème d'estimation de données sur la sphère entière (leur développement sous la base des harmoniques sphériques) à partir des mesures partielles bruitées. Une fois qu'on connait ce développement, on applique la méthode du meilleur approximant rationnel sur des sections planes de la sphère (Chapitre 5). Ce chapitre traite trois types de densité : monopolaire, dipolaire et inclusions pour la modélisation des problèmes, ainsi que des propriétés de la densité et du potentiel associé, quantités mises en relation par un certain opérateur. Dans le Chapitre 6 on regarde les Chapitres 3, 4 et 5 du point de vue numérique. On présente des tests numériques pour la localisation de sources dans la géodésie et la M/EEG lorsqu'on dispose des données partielles sur la sphère.

La Synthèse d'Ouverture Optique permet d'obtenir la résolution d'un instrument de grand diamètre en faisant interférer les faisceaux issus de plusieurs sous-pupilles de diamètre inférieur. Néanmoins, la difficulté principale de cette méthode réside dans le cophasage de l'instrument, c'est-à-dire dans la mesure puis la correction des aberrations différentielles présentes entre les pupilles. Dans ce contexte, les techniques de type plan focal présentent un avantage certain. Ainsi, le phase retrieval et la diversité de phase (basés respectivement sur l'acquisition d'une ou d'au moins deux images dans des conditions de phase différentes) sont aujourd'hui couramment employés avec des instruments monolithiques; leur applicabilité au cophasage de systèmes multipupilles a également été démontrée en laboratoire. Toutefois, ces estimateurs présentent l'inconvénient d'être itératifs donc potentiellement coûteux en temps de calcul. Nous nous proposons dans ce manuscrit de développer de nouveaux estimateurs de cophasage qui soient analytiques, permettant ainsi une estimation en temps-réel des aberrations sur objet étendu. Pour cela, nous démontrons qu'en exprimant le critère à minimiser sous forme quadratique nous aboutissons à une estimée simple de la phase recherchée. Nous montrons également que nous pouvons parvenir à l'expression de ce nouveau critère en considérant une approximation affine de la fonction de transfert optique. Les performances obtenues en simulation révèlent qu'il est possible de fermer une boucle de cophasage à faible flux et par la même occasion de restaurer l'objet observé dans un but d'imagerie. La mise en oeuvre expérimentale de l'ensemble des algorithmes (itératifs et analytiques) dans le cadre de différents projets permet d'affirmer que l'approche plan focal peut désormais être utilisée pour cophaser des systèmes multipupilles complexes.

La démarche proposée dans la suite part d'une vision ingénieur des problèmes de mécaniques ayant comme base le calcul des structures. Dans nos recherches ont s'est focalisé sur deux aspects fondamen- taux de cette approche : les problèmes d'identi?cation et les problèmes de fatigue ou la prédiction de durée de vie. Si les techniques mis en ouvre dans les deux domaines semblent assez différentes il est néanmoins nécessaire de les maîtriser pour résoudre un certain nombre des problèmes pratiques. Le mémoire présenté est divisé en trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous abordons les problèmes inverses et d'identi?cation formulés pour des corps à comportement élastique. Le comportement linéaire permet le développement des méthodes spéci?ques pour leur résolution [A18] 1 , comme l'écart à la réciprocité [A6,A21], l'erreur en loi de comportement [A5,A8], ... . La présentation proposée essaie de trouver un chemin fédérateur entre ces différentes techniques. Le deuxième chapitre est consacré aux méthodes de type contrôle optimal appliquées à la résolution des problèmes d'identi?cation des paramètres de comportement. La généralité de ses méthodes permet leur application autant à des corps au comportement linéaire qu'à ceux au comportement non linéaire. Plus précisément s'est intéresses à la méthode de différentiation directe et de l'état adjoint. Les pro- blèmes d'identi?cation étudiés faisant intervenir des corps au comportement élastoviscoplastique et des conditions aux limites unilatérales. Les applications discutées dans ce cadre sont de l'identi?cation des paramètres matériaux pour des structures ou des essais géotechniques [A14,AS1,AS2] ou à partir des essais d'indentation [A10,A11,A12]. Le troisième chapitre discute les méthodes de conception à la fatigue des structures sous chargement thermomécanique. Les application en vue sont les collecteurs d'échappement en fonte [A9,A15,A20] et les culasses en aluminium. On présente l'identi?cation d'une loi de comportement, les grandes lignes du calcul mécanique ainsi que le critère de fatigue choisi. Les résultats de la méthode sur différentes pièces sont également discutées. Une série des problèmes traités dans différents travaux, comme par exemple les problèmes des contraintes résiduelles [A2,A3,A4], les problèmes de forabilité [A7], la modélisation mécanique du fonctionnement des poumons et de la cage thoracique [A13], ou encore le problème de la modélisation acoustique d'une clarinette [A17] ne serrons pas discutés dans ce mémoire. On ne discutera pas des relations entre la fa- tigue à grande et faible nombre des cycles [A16] ou des extensions des modèles de fatigue existantes dans le domaine anisotrope [A20].

L'imagerie par résonance magnétique (IRM) est une modalité non-invasive développée pour le diagnostic clinique. D'autres domaines se sont approprié cette technique, comme l'analyse de produits agroalimentaires. Le cadre applicatif de nos travaux est l'étude de la répartition des tissus adipeux chez le poisson en IRM bas champ. Au-delà de la visualisation, c'est la quantification des tissus qui nous intéresse ici. Une quantification précise requiert le débruitage des images et la correction des inhomogénéités d'intensité liées à la variation spatiale du champ magnétique radiofréquence (RF). En IRM pondérée-T1 utilisée ici, les inhomogénéités de la RF ont un effet complexe et introduisent un biais qui dépend du tissu en présence. La méthode proposée aborde de façon unifiée la correction et le débruitage dans le cadre de la résolution des problèmes inverses. Elle prend en compte un modèle de biais issu de la physique de l'IRM auquel s'ajoute un modèle de l'échantillon vu comme une somme pondérée de tissus. La méthode est basée sur la minimisation d'un critère pénalisé comprenant des termes d'attache aux données et des termes de régularisation assurant des solutions spatialement lisses tout en conservant les contours dans l'image. Elle impose d'acquérir plusieurs images avec des protocoles différents. La minimisation est basée sur une résolution par blocs de variables, chaque bloc faisant appel à l'algorithme du gradient conjugué. Des résultats obtenus sur des images de poisson valident l'approche. Nous présentons de plus les résultats préliminaires d'une démarche de planification d'expérience pour choisir les protocoles permettant une estimation optimale des variables.

Ce memoire presente les modelisations directe et inverse entreprisent dans le cadre de la preparation de l'exploitation scientique de l'experience Consert de la mission spatiale Rosetta. Nous nous sommes interesses a la modelisation de la propagation d'ondes radio dans le cas simplifie d'un noyau cometaire a geometrie bidimentionnelle. A cette fin, une technique de trace de rayons (Ray Tracing Method, RTM) a ete developpee et validee par comparaison avec les resultats d'une methode spectrale (Pseudo Spectral Time Domain, PSTD). Cette technique a ete ensuite etendue au cas plus complexe d'une geometrie tridimentionnelle, aboutissant a la realisation d'un simulateur pour l'instrument Consert. Le probleme inverse a ete aborde dans le cas d'une geometrie bidimentionnelle a faibles perturbations de permittivite en utilisant la methode de regularisation de Tikhonov. Son etude a montre son caractere mal pose et fortement non lineaire, ainsi que le role important des informations a priori lors de la reconstruction d'image.