Dans une première partie, on étudie quelques problèmes d'arrêt optimal de la forme <br /> <br /> $sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~ou}~<br /> sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$<br /> où $V$ est un processus stochastique, $g$ et $\bar{g}$ deux fonctions boréliennes, $r>0$ et $\Delta$ est l'ensemble des $\F^V$-temps d'arrêt ($\F_.^V$ étant la filtration engendrée par le processus $V$). <br /> L'étude de ces problèmes est motivée par les applications dans plusieurs domaines comme la finance, l'économie ou la médecine.<br /> <br />La première partie est une mise en évidence du fait que le plus petit temps d'arrêt optimal est parfois un temps d'atteinte. C'est pourquoi, dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à la loi d'un temps d'atteinte d'un processus de Lévy à sauts ainsi qu'à quelques applications à la finance, plus précisément lors du calcul de l'intensité de ce temps d'arrêt associée à une certaine filtration $\F$. Deux cas sont présentés : quand le temps d'arrêt est un $\F$-temps d'arrêt et quand il ne l'est pas.

Ce travail porte sur l'arrêt optimal et le contrôle impulsionnel des processus de Markov généraux, principalement fellériens, et les inéquations variationnelles et quasi variationnelles associées. Les cas du contrôle instantané, avec retard , avec retards imbriqués, et les systèmes d 'inéquations sont étudiés. Les résultats concernent la caractérisation de la fonction coût optimal , l'existence et la caractérisation d'un controle optimal.