Dans cette thèse, on étudie des liens entre processus d'exploration et arbres aléatoires avec ou sans interaction, pour en déduire des extensions du théorème de Ray Knight. Dans la première partie nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres binaires. On montre que l'arbre associé à un processus d'exploration défini avec les paramètres mu et lambda décrivant les taux de ses minimas et maximas locaux respectivement à n'importe quel instant considéré, est un arbre binaire aléatoire de taux de naissance mu et de taux de mort lambda. De cette correspondance, nous déduisons une représentation discrète d'un processus de branchement linéaire en terme de temps local d'un processus d'exploration. Après renormalisation des paramètres, nous en déduisons une preuve du théorème de Ray Knight généralisé donnant une représentation en loi d'un processus de Feller linéaire en terme du temps local du mouvement brownien réfléchi en zéro avec une dérive. Dans la deuxième partie, nous considérons un modèle de population avec compétition définie par une fonction polynomiale f(x) = x^{alpha}, alpha>0 et partant de m ancêtres à l'instant initial 0. On étudie l'effet de la compétition sur la hauteur et la longueur de la forêt d'arbres généalogiques quand m tend vers l'infini. On montre que la hauteur est d'espérance finie si alpha> 1, et est infinie dans le cas contraire, tandis que la longueur est d'espérance finie si alpha > 2, et est infinie dans le cas contraire. / In this thesis, we study connections between explorations processes and random trees, from which we deduce Ray Knight Theorem. In the first part, we describe a bijection between exploration processes and Galton Watson binary trees. We show that the tree we obtain under the curve of an exploration process whose maxima and minima rates are respectively lambda and mu, is a Galton Watson binary tree with birth rate mu and death rate lambda. From this correspondence, we establish a discrete Ray Knight representation of the process population size of a Galton Watson tree in term of local time of exploration process associated to this tree. After some renormalization, we deduce from this discrete approximation with a limiting argument, a generalized Ray Knight theorem giving a representation of a Feller branching process in term of local time of a reflected Brownian motion with a linear drift. In the second part, we consider a population model with competition defined with a function f(x) = x^{alpha}. We study the effect of the competition on the height and the length of the genealogical trees of a large population. We show that the expectation of the height has a finite expectation stays finite if alpha> 1 and is infinite almost surely if alpha le 1, while the length has a finite expectation if alpha > 2, and is infinite almost surely if alpha le 2. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function f.

Cette thèse s'articule autour de la problématique de l'extinction de populations comportant différents types d'individus, et plus particulièrement de leur comportement avant extinction et/ou en cas d'une extinction très tardive. Nous étudions cette question d'un point de vue strictement probabiliste, puis du point de vue de l'analyse des risques liés à l'extinction pour un modèle particulier de dynamique de population, et proposons plusieurs outils statistiques. La taille de la population est modélisée soit par un processus de branchement de type Bienaymé-Galton-Watson à temps continu multitype (BGWc), soit par son équivalent dans un espace de valeurs continu, le processus de diffusion de Feller multitype. Nous nous intéressons à différents types de conditionnement à la non-extinction, et aux états d'équilibre associés. Ces conditionnements ont déjà été largement étudiés dans le cas monotype. Cependant la littérature relative aux processus multitypes est beaucoup moins riche, et il n'existe pas de travail systématique établissant des connexions entre les résultats concernant les processus BGWc et ceux concernant les processus de diffusion de Feller. Nous nous y sommes attelés. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement de la population avant son extinction, en conditionnant le processus de branchement X_t à la non-extinction (X_t≠0), ou plus généralement à la non-extinction dans un futur proche 0≤θ<∞ (X_{t+θ}≠0), et en faisant tendre t vers l'infini. Nous prouvons le résultat, nouveau dans le cadre multitype et pour θ>0, que cette limite existe et est non-dégénérée, traduisant ainsi un comportement stationnaire pour la dynamique de la population conditionnée à la non-extinction, et offrant une généralisation de la limite dite de Yaglom (correspondant au cas θ=0). Nous étudions dans un second temps le comportement de la population en cas d'une extinction très tardive, obtenu comme limite lorsque θ tends vers l'infini du processus X_t conditionné par X_{t+θ}≠0. Le processus conditionné ainsi obtenu est un objet connu dans le cadre monotype (parfois dénommé Q-processus), et a également été étudié lorsque le processus X_t est un processus de diffusion de Feller multitype. Nous examinons le cas encore non considéré où X_t est un BGWc multitype, prouvons l'existence du Q-processus associé, examinons ses propriétés, notamment asymptotiques, et en proposons plusieurs interprétations. Enfin, nous nous intéressons aux échanges de limites en t et en θ, ainsi qu'à la commutativité encore non étudiée de ces limites vis-à-vis de la relation de type grande densité reliant processus BGWc et processus de Feller. Nous prouvons ainsi une liste exhaustive et originale de tous les échanges de limites possibles (limite en temps t, retard de l'extinction θ, limite de diffusion). La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'analyse des risques liés à l'extinction d'une population et à son extinction tardive. Nous considérons un certain modèle de population branchante (apparaissant notamment dans un contexte épidémiologique) pour lequel un paramètre lié aux premiers moments de la loi de reproduction est inconnu, et construisons plusieurs estimateurs adaptés à différentes phases de l'évolution de la population (phase de croissance, phase de décroissance, phase de décroissance lorsque l'extinction est supposée tardive), prouvant de plus leurs propriétés asymptotiques (consistance, normalité). En particulier, nous construisons un estimateur des moindres carrés adapté au Q-processus, permettant ainsi une prédiction de l'évolution de la population dans le meilleur ou le pire des cas (selon que la population est menacée ou au contraire invasive), à savoir celui d'une extinction tardive. Ces outils nous permettent d'étudier la phase d'extinction de l'épidémie d'Encéphalopathie Spongiforme Bovine en Grande-Bretagne, pour laquelle nous estimons le paramètre d'infection correspondant à une possible source d'infection horizontale persistant après la suppression en 1988 de la voie principale d'infection (farines animales). Cela nous permet de prédire l'évolution de la propagation de la maladie, notamment l'année d'extinction, le nombre de cas à venir et le nombre d'animaux infectés, et en particulier de produire une analyse très fine de l'évolution de l'épidémie dans le cas peu probable d'une extinction très tardive.

Le système immunitaire adaptatif est capable de produire une réponse spécifique contre presque tous le pathogènes qui agressent notre organisme. Ceci est dû aux anticorps qui sont des protéines secrétées par les cellules B. Les molécules qui provoquent cette réaction sont appelées antigènes : pendant une réponse immunitaire, les cellules B sont soumises à un processus d’apprentissage afin d’améliorer leur capacité à reconnaitre un antigène donne. Ce processus est appelé maturation d’affinité des anticorps. Nous établissons un cadre mathématique très flexible dans lequel nous définissons et étudions des modelés évolutionnaires simplifies inspirés par la maturation d’affinité des anticorps. Nous identifions les éléments constitutifs fondamentaux de ce mécanisme d’évolution extrêmement rapide et efficace : mutation, division et sélection. En commençant par une analyse rigoureuse du mécanisme de mutation dans le Chapitre 2, nous procédons à l’enrichissement progressif du modelé en ajoutant et analysant le processus de division dans le Chapitre 3 ,puis des pressions sélectives dépendantes de l’affinité dans le Chapitre 4. Notre objectif n’est pas de construire un modèle mathématique très détaillé et exhaustif de la maturation d’affinité des anticorps, mais plutôt d’enquêter sur les interactions entre mutation, division et sélection dans un contexte théorique simplifie. On cherche à comprendre comment les différents paramètres biologiques influencent la fonctionnalité du système, ainsi qu’à estimer les temps caractéristiques de l’exploration de l’espace d’états des traits des cellules B. Au-delà des motivations biologiques de la modélisation de la maturation d’affinité des anticorps, l’analyse de ce processus d’apprentissage nous a amenée à concevoir un modèle mathématique qui peut également s’appliquer à d’autres systèmes d’évolution, mais aussi à l’étude de la propagation de rumeurs ou de virus. Notre travail théorique s’accompagne de nombreuses simulations numériques qui viennent soit l’illustrer soit montrer que certains résultats demeurent extensibles a des situations plus compliquées. / The adaptive immune system is able to produce a specific response against almost any pathogen that could penetrate our organism and inflict diseases. This task is assured by the production of antigen-specific antibodies secreted by B-cells. The agents which causes this reaction are called antigens: during an immune response B-cells are submitted to a learning process in order to improve their ability to recognize the immunizing antigen. This process is called antibody affinity maturation. We set a highly flexible mathematical environment in which we define and study simplified mathematical evolutionary models inspired by antibody affinity maturation. We identify the fundamental building blocks of this extremely efficient and rapid evolutionary mechanism: mutation, division and selection. Starting by a rigorous analysis of the mutational mechanism in Chapter 2, we proceed by successively enriching the model by adding and analyzing the division process in Chapter 3 and affinity-dependent selection pressures in Chapter 4. Our aim is not to build a very detailed and comprehensive mathematical model of antibody affinity maturation, but rather to investigate interactions between mutation, division and selection in a simplified theoretical context. We want to understand how the different biological parameters affect the system’s functionality, as well as estimate the typical time-scales of the exploration of the state-space of B-cell traits. Beyond the biological motivations of antibody affinity maturation modeling, the analysis of this learning process leads us to build a mathematical model which could be relevant to model other evolutionary systems, but also gossip or virus propagation. Our method is based on the complementarity between probabilistic tools and numerical simulations.

Nous étudions, dans cette thèse, le modèle de branchement avec duplication des trajectoires d'abord introduit pour l'étude des événements rares destiné à accélérer la simulation. Dans cette technique, les échantillons sont dupliqués en $R$ copies à différents niveaux pendant la simulation. L'optimisation de l'algorithme à coût fixé suggère de prendre les probabilités de transition entre les niveaux égales à une constante et de dupliquer un nombre égal à l'inverse de cette constante, nombre qui peut être non entier. Nous étudions d'abord la sensibilité de l'erreur relative entre la probabilité d'intérêt $\mathbb{P}(A)$ et <br />son estimateur en fonction de la stratégie adoptée pour avoir des nombres de retirage entiers. <br />Ensuite, puisqu'en pratique les probabilités de transition sont généralement inconnues (et de même pour <br />les nombres de retirages), nous proposons un algorithme en deux étapes pour contourner ce problème. <br />Des applications numériques et comparaisons avec d'autres modèles sont proposés.