Partial transport barriers in the chaotic sea of Hamiltonian systems restrict classical chaotic transport, as they only allow for a small flux between phase-space regions. In two-dimensional (2D) symplectic maps, the most restrictive partial barriers are based on a cantorus, the remnants of a broken one-dimensional (1D) torus forming a Cantor set. Quantum mechanically for 2D symplectic maps one has a universal transition from impeded to unimpeded transport. The scaling parameter is the ratio of flux to the Planck cell of size h, so quantum transport is suppressed if h is much bigger than the flux while mimicking classical transport if it is much smaller. Whether a transition exists in higher-dimensional systems and how it scales is still an open question and will be answered in this talk. In a four-dimensional (4D) symplectic map, the cantorus is generalized to a normally hyperbolic invariant manifold (NHIM) with the structure of a cantorus. Using the general flux formula, we consider higher-order periodic NHIMs to approximate the global flux across a partial barrier. One naively expects that the scaling parameter of the universal transition is the same, but now with a Planck cell h squared. We show that due to classical diffusive transport along resonance channels, the quantized system exhibits dynamical localization and the localization length modifies the scaling parameter. / Partielle Transportbarrieren in der chaotischen See von Hamiltonischen Systemen schränken den klassischen chaotischen Transport ein, indem sie nur einen kleinen Fluss zwischen Phasenraumregionen zulassen. In zweidimensionalen (2D) symplektischen Abbildungen basieren die restriktivsten partiellen Barrieren auf einem Cantorus, die Cantor-Menge der Überreste eines zerstörten ein-dimensionalen (1D) Torus. In quantisierten 2D symplektischen Abbildungen findet man einen universellen Übergang von eingeschränktem zu uneingeschränktem Transport. Der Skalierungsparameter ist das Verhältnis vom Fluss zur Planck-Zelle der Größe h, so dass der quantenmechanische Transport unterdrückt ist, wenn h sehr viel größer ist als der Fluss, während klassischer Transport nachgeahmt wird, wenn er sehr viel kleiner ist. Ob jedoch auch ein universeller Übergang in höherdimensionalen Systemen existiert und wie er skaliert, ist bislang ungeklärt und wird in dieser Arbeit untersucht. In einer vierdimensionalen (4D) symplektischen Abbildung ist die Verallgemeinerung des Cantorus eine normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit (NHIM) mit der Struktur eines Cantorus. Wir betrachten periodische NHIMs höherer Ordnung um den globalen Fluss durch eine partielle Barriere mit der allgemeinen Flussformel zu approximieren. Naiverweise erwartet man, dass der Skalierungsparameter des universellen Übergangs gleich ist, jedoch mit der neuen Größe der Planck-Zelle h quadriert. Wir zeigen, dass aufgrund von klassischen, diffusiven Transport entlang von Resonanzkanälen das quantisierte System dynamische Lokalisierung aufweist und die Lokalisierungslänge Einfluss auf den Skalierungsparameter hat.

Carbon-based conductors like carbon nanotubes (CNTs) and graphene nanoribbons (GNRs) have many properties, which make them relevant for potential electronic applications. Among them are high conductances and tunable band gap sizes. These properties make CNTs and GNRs useful in many circumstances, e.g. as channel material in transistors or transparent electrodes in solar cells. Plenty of literature can be found on the topic of single linear CNTs/GNRs. Some applications however require a large network of these conductors. In addition, a single conductor has only a small impact on the network conductance, which reduces the need to control the properties of each individual nanotube/-ribbon. This leads to networks being easier to apply. In this work, the conductance of large networks of GNRs is calculated using the quantum-transport formalism (QT). This has not been done before in literature. In order to apply QT to such a large amount of atoms, the recursive Green's function formalism is used. For this the networks are devided into subcells, which are represented by tight-binding matrices. Similar networks are also examined using two different nodal analysis (NA) approaches, where the nanoribbons are treated as ohmic conductors. For NA with one-dimensional conductors, major discrepancies are found in regards to the QT model. However, networks consisting of two-dimensional conductors (NA-2D) have many properties similar to the QT networks. A recipe to approximate the QT results with NA-2D is presented.:1. Introduction 2. Theoretical Principles 2.1 Carbon-based Conductors 2.1.1 Structure and Properties 2.1.2 Networks 2.2 Tight-Binding Model 2.3 Quantum Transport 2.3.1 Introduction 2.3.2 Level Broadening 2.3.3 Current Flow 2.3.4 Transmission 2.4 Nodal Analysis 3. Implementation 3.1 Quantum Tranport 3.1.1 Network Generation 3.1.2 Density-Functional based Tight-Binding Method 3.1.3 Recursive Green's Function Algorithm 3.1.4 Conductance 3.2 Nodal Analysis 3.2.1 One-dimensional Conductors 3.2.2 Two-dimensional Conductors 4. Results 4.1 Quantum Transport 4.1.1 Band Structures and Fermi Energies 4.1.2 Ideal Transmission and Consistency Tests 4.1.3 Percolation 4.1.4 Transmission 4.1.5 Conductance 4.1.6 Power Law Scaling 4.1.7 Size Dependence and Confinement Effects 4.1.8 Calculation Time 4.2 Nodal Analysis 4.2.1 One-dimensional Conductors 4.2.2 Two-dimensional Conductors 4.2.3 Calculation Time 4.3 Approximating QT with NA 4.3.1 Optimal Parameters 4.3.2 Percolation 4.3.3 Conductance 4.3.4 Power Law Scaling 5. Conclusions / Graphenbasierte Leiter wie Kohlenstoff-Nanoröhrchen (engl. 'carbon nanotubes', CNTs) oder Graphen-Nanobänder (engl. 'graphene nanoribbons', GNRs) haben viele Eigenschaften, die sie für potenzielle elektronische Anwendungen interessant machen. Darunter sind hohe Leitfähigkeiten und einstellbare Bandlückengrößen. Dadurch sind CNTs und GNRs in vielen Bereichen nützlich, z.B. als Kanalmaterial in Transistoren oder als transparente Elektroden in Solarzellen. Es gibt viel Literatur über einzelne, lineare CNTs/GNRs. Einige Anwendungen benötigen jedoch ein großes Netzwerk dieser Leiter. Zusätzlich hat ein einzelner Leiter wenig Einfluss auf die Leitfähigkeit des Netzwerks, wodurch die Eigenschaften der einzelnen Nanoröhrchen/-streifen weniger streng kontrolliert werden müssen. Dies führt dazu, dass es einfacher ist Netzwerke zu nutzen. In dieser Arbeit wird die Leitfähigkeit von großen GNR-Netzwerken mittels Quantentransport (QT) berechnet. Dies wurde in der Literatur noch nicht getan. Um QT auf eine so große Menge an Atomen anzuwenden wird der rekursive Greenfunktions-Formalismus benutzt. Dazu werden die Netzwerke in Unterzellen unterteilt, die durch Tight-Binding-Matrizen dargestellt werden. Ähnliche Netzwerke werden auch mit zwei Versionen der Knotenanalyse (engl. 'nodal analysis', NA) untersucht, welche die Nanobänder wie ohmische Leiter behandelt. Die Ergebnisse der NA mit eindimensionalen Leitern weisen deutliche Unterschiede zu den mit QT erzielten Ergebnissen auf. Wenn jedoch zweidimensionale Leiter in NA verwendet werden (NA-2D) gibt es viele parallelen zu den QT Ergebnissen. Zuletzt wird ein Vorgehen präsentiert, mit dem QT Resultate durch NA-2D Rechnungen genähert werden können.:1. Introduction 2. Theoretical Principles 2.1 Carbon-based Conductors 2.1.1 Structure and Properties 2.1.2 Networks 2.2 Tight-Binding Model 2.3 Quantum Transport 2.3.1 Introduction 2.3.2 Level Broadening 2.3.3 Current Flow 2.3.4 Transmission 2.4 Nodal Analysis 3. Implementation 3.1 Quantum Tranport 3.1.1 Network Generation 3.1.2 Density-Functional based Tight-Binding Method 3.1.3 Recursive Green's Function Algorithm 3.1.4 Conductance 3.2 Nodal Analysis 3.2.1 One-dimensional Conductors 3.2.2 Two-dimensional Conductors 4. Results 4.1 Quantum Transport 4.1.1 Band Structures and Fermi Energies 4.1.2 Ideal Transmission and Consistency Tests 4.1.3 Percolation 4.1.4 Transmission 4.1.5 Conductance 4.1.6 Power Law Scaling 4.1.7 Size Dependence and Confinement Effects 4.1.8 Calculation Time 4.2 Nodal Analysis 4.2.1 One-dimensional Conductors 4.2.2 Two-dimensional Conductors 4.2.3 Calculation Time 4.3 Approximating QT with NA 4.3.1 Optimal Parameters 4.3.2 Percolation 4.3.3 Conductance 4.3.4 Power Law Scaling 5. Conclusions