Submitted by Jose Luis Castañeda Terrones (joseluiscastanedat@gmail.com) on 2018-09-26T18:09:17Z No. of bitstreams: 1 Tese Jose Castaneda Final.pdf: 575058 bytes, checksum: 286cdeb9575d9c271e1d873096c5ad93 (MD5) / Approved for entry into archive by Hellen Sayuri Sato null (hellen@ift.unesp.br) on 2018-10-09T14:26:09Z (GMT) No. of bitstreams: 1 castanedaterrones_js_me_ift.pdf: 18481 bytes, checksum: e7b453cf971ef08437a1e5e5f83e4380 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-09T14:26:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 castanedaterrones_js_me_ift.pdf: 18481 bytes, checksum: e7b453cf971ef08437a1e5e5f83e4380 (MD5) Previous issue date: 2018-08-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / A quantização geométrica é um procedimento para construir uma teoria quântica a partir de elementos geométricos de um sistema clássico considerado como uma variedade simplética. Ele fornece uma abordagem matemática para uma teoria quântica com uma ampla gama de aplicações que vão desde sistemas com partículas até teorias de campo quântico, para as quais a variedade simplética é o espaço cotangente do espaço de campos (elementos do espaço cotangente são variações infinitesimais). Por outro lado, o método WKB fornece uma maneira de construir uma solução aproximada para a equação de Schrödinger na mecânica quântica a partir de elementos geométricos no espaço de fase de soluções de um sistema clássico. Estas notas são uma revisão de alguns artigos sobre essas duas abordagens da mecânica quântica. / Geometric quantization is a procedure to construct a quantum theory from geometric elements of a classical system regarded as a symplectic manifold. It provides a mathematical approach to a quantum theory with a wide range of applications that go from systems with particles to quantum field theories, for which the symplectic manifold is the cotangent space of the space of fields (elements of the cotangent space are infinitesimal variations). On the other side, WKB method provides a way to construct an approximate solution to the Schrödinger equation in quantum mechanics from geometric elements on the phase space of solutions of a classical system. These notes are a review of some papers on those two approaches to quantum mechanics.

A quantização geométrica e um método desenvolvido para prover uma construção geométrica que relacione a mecânica clássica com a quântica. O primeiro passo consiste em apresentar uma forma simplética, \'omega\'!, sobre uma variedade simplética, M, como a forma curvatura da conexão abla de um brado linear, L, sobre M. As funções sobre M operam como seções de L. Mas o espaço de todas as seções é grande demais. Queremos considerar seções constantes em certa direção, com respeito a derivada covariante dada por abla, e para isso precisamos o conceito de polarizações, essas seções são chamadas de seções polarizadas. Para obter uma estrutura de espaco de Hilbert nestas seções, precisamos de certos objetos chamados de meias densidades. Além disso, também temos um empareamento sesquilinear entre seções de polarizações diferentes. Neste trabalho, primeiramente consideraremos o empareamento para seções polarizadas adaptadas a polarizações reais não transversais, como método para obter aplicações integrais entre estes espaços de Hilbert que em combinação com a convolução do par grupóide M x \' M BARRA\', pode definir um produto integral de funções definidas na variedade simplética. Este produto, no caso do plano euclidiano e do plano de Bieliavsky, coincide com produto de Weyl integral e o produto de Bieliavsky, respectivamente. Jáa no caso do plano hiperbólico, este tipo de polarizações reais não são transversais nem são não transversais, dessa forma, escolhemos o empareamento entre uma polarização real e uma polarização holomorfa do par grupóide, as quais são transversais, para obter um produto integral no plano hiperbólico, que no caso do plano euclidiano e o produto de Weyl / The geometric quantization is a method developed to provide a geometrical construction relating classical to quantum mechanics. The first step consists of realizing the symplectic form, \'omega\', on a symplectic manifold, M, as the curvature form of a line bundle, L, over M. The functions on M then operate as sections of L. However, the space of all sections of L is too large. One wants to consider sections which are constant in certain directions (polarized sections) and for that one needs to introduce the concept of a polarization. To get a Hilbert space structure on the polarized sections, one needs to consider objects known as half densities. In this work, first we consider a sesquilinear pairing between objects associated to certain different polarizations, which are nontransverse real polarizations, to obtain integral applications between their associated Hilbert spaces, and to use the convolution of the pair groupoid M x \' M BARRA\' to obtain an integral product of functions on M. In the euclidian plane case, we recover the integral Weyl product and, in the Bieliavsky plane case, we obtain the Bieliavsky product. On the other hand, for the hyperbolic plane, such real polarizations are neither transverse nor nontransverse, so we use the pairing between a real polarization and a holomorphic polarization, which are transverse polarizations on the pair groupoid, to obtain an integral product of functions on the hyperbolic plane. This same procedure, in the euclidian plane case, also produces the integral Weyl product

A quantização geométrica e um método desenvolvido para prover uma construção geométrica que relacione a mecânica clássica com a quântica. O primeiro passo consiste em apresentar uma forma simplética, \'omega\'!, sobre uma variedade simplética, M, como a forma curvatura da conexão abla de um brado linear, L, sobre M. As funções sobre M operam como seções de L. Mas o espaço de todas as seções é grande demais. Queremos considerar seções constantes em certa direção, com respeito a derivada covariante dada por abla, e para isso precisamos o conceito de polarizações, essas seções são chamadas de seções polarizadas. Para obter uma estrutura de espaco de Hilbert nestas seções, precisamos de certos objetos chamados de meias densidades. Além disso, também temos um empareamento sesquilinear entre seções de polarizações diferentes. Neste trabalho, primeiramente consideraremos o empareamento para seções polarizadas adaptadas a polarizações reais não transversais, como método para obter aplicações integrais entre estes espaços de Hilbert que em combinação com a convolução do par grupóide M x \' M BARRA\', pode definir um produto integral de funções definidas na variedade simplética. Este produto, no caso do plano euclidiano e do plano de Bieliavsky, coincide com produto de Weyl integral e o produto de Bieliavsky, respectivamente. Jáa no caso do plano hiperbólico, este tipo de polarizações reais não são transversais nem são não transversais, dessa forma, escolhemos o empareamento entre uma polarização real e uma polarização holomorfa do par grupóide, as quais são transversais, para obter um produto integral no plano hiperbólico, que no caso do plano euclidiano e o produto de Weyl / The geometric quantization is a method developed to provide a geometrical construction relating classical to quantum mechanics. The first step consists of realizing the symplectic form, \'omega\', on a symplectic manifold, M, as the curvature form of a line bundle, L, over M. The functions on M then operate as sections of L. However, the space of all sections of L is too large. One wants to consider sections which are constant in certain directions (polarized sections) and for that one needs to introduce the concept of a polarization. To get a Hilbert space structure on the polarized sections, one needs to consider objects known as half densities. In this work, first we consider a sesquilinear pairing between objects associated to certain different polarizations, which are nontransverse real polarizations, to obtain integral applications between their associated Hilbert spaces, and to use the convolution of the pair groupoid M x \' M BARRA\' to obtain an integral product of functions on M. In the euclidian plane case, we recover the integral Weyl product and, in the Bieliavsky plane case, we obtain the Bieliavsky product. On the other hand, for the hyperbolic plane, such real polarizations are neither transverse nor nontransverse, so we use the pairing between a real polarization and a holomorphic polarization, which are transverse polarizations on the pair groupoid, to obtain an integral product of functions on the hyperbolic plane. This same procedure, in the euclidian plane case, also produces the integral Weyl product