Abstract In this thesis, we study quantum waveguides and their spectral properties. A quantum waveguide is a system of narrow strips or tubes. That is, the waveguide has large longitudinal but small transverse sizes. The study of quantum waveguides is essential in the semi-conductor industry, and the waveguides are used to model the electron behavior in these devices. We consider two- and three-dimensional waveguides with sharp bends and question whether the quantum particle can propagate in the waveguide. It is well known that a certain type of bends and bulges cause the resonance phenomena, that is, at some energy levels the electron motion is localized in a finite area, and the propagation is disturbed. The study of waveguides leads to the interesting field of mathematics - the spectral analysis of differential operators. For a waveguide having high purity and a crystalline structure, the electron motion can be considered as a free particle motion with effective mass. This gives rise to the spectral problem, that is, the eigenvalue problem of the Laplace operator. On the boundary we set the Dirichlet conditions. This thesis consists of three parts and in each part we study waveguides which form sharp bends in the junctions where two or three outlets are joined together. To be precise, we consider waveguides which resemble the letters Y, Z, and C. We study the discrete spectrum corresponding to these waveguides and the behavior of the bound modes when the geometry is slightly changed. For this, we apply the variational, numerical, and asymptotic methods. For the Y-shaped waveguide, we let one outlet become wider than the others and found that a critical width exists, so that for smaller width values, exactly one bound state exists, but for larger values, no bound modes exist. We also let the angle between the strips to vary and found that the number of the bound modes highly depends on the opening angle of the outlets in the Y-shaped waveguide. For the Z- and C-shaped waveguides, we let the height of the waveguide change. We saw that there may appear two bound states at most. Moreover, for the C-shaped waveguide, the first is monotone increasing as a function of height and the second eigenvalue is monotone decreasing. For the Z-shaped waveguide, we show that the lowest eigenvalue as a function of the height is not monotone. / Tiivistelmä Tässä väitöskirjassa tutkitaan kvanttiaaltojohteisiin liittyvää ominaisarvo-ongelmaa. Kvanttiaaltojohteessa aallon eteneminen on rajoitettu tiettyyn suuntaan, ja johde on poikittaissuunnassa nanokokoluokkaa. Kvanttiaaltojohteiden tutkimus on tärkeä osa nykyistä puolijohdeteknologiaa. Tutkimuksessamme olemme keskittyneet kaksi- ja kolmiulotteisiin aaltojohteisiin, jotka geometrialtaan muistuttavat Y-, Z- tai C-kirjainta. Haluamme tietää millaisissa tilanteissa elektronin liike aaltojohteessa estyy. Yleisesti tiedetään, että aaltojohteessa olevat pullistumat ja mutkat johtavat niin sanottuun sidottuun tilaan, ts. tilanteeseen että tietyllä taajuudella tai energiatasolla oleva partikkeli jää lokalisoituun tilaan. Aaltojohde rakentuu puhtaasta kiderakennemateriaalista, joka on kokoluokaltaan pieni poikittaissuunnassa, niin että elektronin liikettä voidaan kuvata vapaan elektronin mallilla Schrödingerin yhtälössä, jossa elektronilla on effektiivinen massa. Tämä johtaa Laplace-operaattorin ominaisarvo-ongelmaan, reunaehtoina on aaltojohteille käytetty Dirichlet nollareuna-arvoja. Tässä väitöstutkimuksessa on tutkittu kolmea erityyppistä aaltojohdetta, joiden geometriaa voidaan kuvata kirjainten Y, C ja Z avulla. Jokaisessa tapauksessa on tutkittu spektristä erityisesti diskreettiä osaa, ja erityisesti mahdollisia muutoksia diskreetissä spektrissä geometristen parametrien muuttuessa. Diskreetin spektrin tutkimiseen on käytetty variaatiomenetelmiä, asymptoottista analyysiä sekä numeerisista menetelmistä elementtimenetelmää. Geometrialtaan kirjainta Y muistuttava aaltojohde koostuu kolmesta haarasta, joista yhden leveyden annetaan varioida. Tällöin voidaan löytää kriittinen raja, siten että jalan leveyden ollessa tätä rajaa pienempi on diskreetti spektri epätyhjä kun taas leveyden ollessa kriittistä rajaa suurempi, diskreetti spektri on tyhjä. Toisessa tapauksessa jalan leveydet pidetään samana, mutta annetaan kulman kahden haaran välillä muuttua. Voidaan nähdä, että diskreetissä spektrissä olevien ominaisarvojen lukumäärä riippuu aaltojohteen kulmasta siten että mitä pienempi kulma kahden haaran välillä, sitä enemmän ominaisarvoja on diskreetissä spektrissä. Vastaavasti Z- ja C- aaltojohteissa, aaltojohteen korkeutta säädellään. Havaitaan, että korkeuden kasvaessa, voi aaltojohteessa esiintyä korkeintaan kaksi ominaisarvoa diskreetissä spektrissä. Lisäksi C-aaltojohteen ensimmäisen ominaisarvon voidaan havaita olevan kasvava aaltojohteen korkeuden funktiona kun taas toinen ominaisarvoista on vähenevä. Toisaalta taas Z-aaltojohteen pienin ominaisarvo korkeuden funktiona ei ole monotoninen.

The study of nano-electronic devices is fundamental to the advancement of the semiconductor industry. As electronic devices become increasingly smaller, they will eventually move into a regime where the classical nature of the electrons no longer applies. As the quantum nature of the electrons becomes increasingly important, classical or semiclassical theories and methods will no longer serve their purpose. For example, the simplest non-classical effect that will occur is the tunnelling of electrons through the potential barriers that form wires and transistors. This results in an increase in noise and a reduction in the device?s ability to function correctly. Other quantum effects include coulomb blockade, resonant tunnelling, interference and diffraction, coulomb drag, resonant blockade and the list goes on. This thesis develops both a theoretical model and computational method to allow nanoelectronic devices to be studied in detail. Through the use of computer code and an appropriate model description, potential problems and new novel devices may be identified and studied. The model is as accurate to the physical realisation of the devices as possible to allow direct comparison with experimental outcomes. Using simple geometric shapes of varying potential heights, simple devices are readily accessible: quantum wires; quantum transistors; resonant cavities; and coupled quantum wires. Such devices will form the building blocks of future complex devices and thus need to be fully understood. Results obtained studying the connection of a quantum wire with its surroundings demonstrate non-intuitive behaviour and the importance of device geometry to electrical characteristics. The application of magnetic fields to various nano-devices produced a range of interesting phenomenon with promising novel applications. The magnetic field can be used to alter the phase of the electron, modifying the interaction between the electronic potential and the transport electrons. This thesis studies in detail the Aharonov-Bohm oscillation and impurity characterisation in quantum wires. By studying various devices considerable information can be added to the knowledge base of nano-electronic devices and provide a basis to further research. The computational algorithms developed in this thesis are highly accurate, numerically efficient and unconditionally stable, which can also be used to study many other physical phenomena in the quantum world. As an example, the computational algorithms were applied to positron-hydrogen scattering with the results indicating positronium formation.