We consider a stochastic differential equation on a domain D in n-dimensional real space, where the associated dynamical system is linear, and D contains a repulsive type stationary point at the origin O. We obtain an exit law for the first exit time of the solution process from a ball of arbitrary radius centered at the origin, which involves additive scaling as in Day (1995). The form of the scaling constant is worked out and shown to depend on the structure of the Jordan form of the linear drift. We then obtain an extension of this exit law to the first exit time of the solution process from the general domain D by considering the exit in two stages: first from the origin O to the boundary of the ball, for which the aforementioned exit law applies, and then from the boundary of the ball to the boundary of D. In this way we are able to determine for which Jordan forms we can obtain a limiting distribution for the first exit time to the boundary of D as the noise approaches 0. In particular, we observe there are cases for which the exit time distribution diverges as the noise approaches 0. / Ph. D.

Lorsqu’un sujet est soumis à des perturbations à la marche au sol ou sur tapis roulant, les réactions posturales et les ajustements posturaux anticipatoires s’améliorent progressivement avec la répétition des perturbations, entraînant une diminution de la perte d’équilibre. L’objectif du mémoire était d’analyser les ajustements posturaux et de l’équilibre anticipatoire entre des perturbations variées et aux déclenchements imprédictibles avec ou sans habituation au préalable. Deux études ont été effectuées pour le présent mémoire dans lesquelles 24 sujets jeunes en santé (moyenne ± écart type : 25,3 ±2,3 ans) ont été inclus. Les participants marchaient sur un tapis roulant à double courroie à marche confortable, sous différentes conditions : sans perturbation (Etudes 1 et 2), avec perturbations répétées (Etude 2), avec perturbations aléatoires (Etudes 1et 2). Les perturbations étaient générées par des accélérations ou des décélérations de différentes amplitudes, d’une des courroies du tapis pendant la phase d’appui droite ou gauche de façon aléatoire tous les 8 à 20 pas. Les données cinématiques et cinétiques ont été enregistrées. La difficulté à maintenir l’équilibre augmentait à la fin des essais de perturbations aléatoires comparativement au début avec (Etude 2) et sans habituation préalable (Etude 1) et à la fin des deux derniers essais d’habituations aux perturbations de type décélération (Etude 2). Aucun changement de l’équilibre n’a été observé lors des essais d’habituation aux perturbations de type accélération. L’augmentation de la difficulté à maintenir l’équilibre était due principalement à une diminution de la distance entre le centre de pression et la base de support. Aucun changement de l’équilibre n’a été observé lors des essais d’habituation aux perturbations de type accélération. Les changements observés lors des essais aléatoires seraient une stratégie posturale non-spécifique adoptée par les participants afin de répondre aux perturbations et en particulier lorsqu’elles sont imprévisibles. / When repeated postural perturbations are induced while walking on the floor or on a treadmill, reactive and proactive postural adjustments improve progressively. The objective of the study was to analyse proactive postural and balance adjustments between varied perturbations with unpredictable onsets with and without a previous period of habituation. Two studies have been conducted in which 24 young healthy subjects (mean ± standard deviation: 25.3 ± 2.3 years) participated. Participants walked on a slip-belt treadmill at comfortable speed under different conditions: without perturbations (studies 1 and 2), with repeated perturbations (study2), and with random perturbations (studies 1 and 2). Perturbations consisted in an accelerations or a decelerations of various magnitude, of one of the belt of the treadmill during right or left single support stance every 8 to 20 steps. Three dimensional whole-body kinematic and kinetic data were recorded. The difficulty to maintain balance increased at the end of trials with random perturbations compared to the beginning with (study 2) and without (study 1) habituation to the perturbations. Balance difficulty also increased at the end of the trials with repeated deceleration perturbations (Study 2). No change were observed during repeated acceleration perturbation trials. The increase of the difficulty to maintain balance was mainly due to a decrease between the center of pressure and the base of support. No change were observed during repeated acceleration perturbation trials. Changes observed during random trials may be a non-specific strategy adopted by the participants to respond to perturbations, particularly when they were unpredictable.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(人間・環境学) / 甲第19200号 / 人博第741号 / 新制||人||178(附属図書館) / 27||人博||741(吉田南総合図書館) / 32192 / 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻 / (主査)教授 宇敷 重廣, 教授 森本 芳則, 准教授 木坂 正史 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Human and Environmental Studies / Kyoto University / DGAM

В работе рассматривается дискретная нейронная модель, введенная впервые Рульковым Н.Ф., которая хорошо отражает быстро-медленную динамику нейрона. В работе проводится исследование устойчивости точек покоя и предельных циклов модели Рулькова к случайным возмущениям. В первой части изучаются точки покоя и циклы детерминированной одномерной модели, исследуется их устойчивость и проведен бифуркационный анализ. Во второй части анализируется поведение аттракторов этой модели под влиянием случайных возмущений. В третьей части проведен анализ расширенной двумерной модели, построены бифуркационные диаграммы и фазовые портреты, проведен анализ устойчивости. / This paper considers a discrete neural model pioneered by Rulkov N.F. This model clearly reflects the fast-slow dynamics of the neuron. In this paper, we study the stability of equilibrium points and limit cycles of Rulkov model to random perturbations. In the first part, we study equilibria and cycles of deterministic one-dimensional model, investigate stability and carry out the bifurcation analysis. In the second part, we analyze the behavior of the attractors under the influence of random perturbations. In the third part, the bifurcations and phase portraits of extended two-dimensional model are studied, and stability analysis is carried out.

В работе изучаются три нелинейных модели, предложенных Альбертом Голдбетером для описания ферментативной реакции в живой клетке. Математически эти нелинейные модели интересны своей быстро-медленной динамикой, автоколебаниями канардового типа, крайней неоднородностью детерминированных фазовых портретов, большой вариабельностью и сосуществованием динамических режимов. В этих условиях даже небольшие случайные возмущения существенно изменяют динамику системы и индуцируют такие феномены, как стохастическая возбудимость, мультимодальность, фантомный аттрактор и переходы от порядка к хаосу. Проведенное исследование данных моделей дает понимание основных механизмов этих явлений с помощью методов численного и статистического анализа, а также теоретического подхода, основанного на функции стохастической чувствительности и методе доверительных областей. / The work examines three nonlinear models proposed by Albert Goldbeter to describe the enzymatic reaction in a living cell. Mathematically, these nonlinear models are interesting for their slow-fast dynamics, canard-type self-oscillations, extreme inhomogeneity of deterministic phase portraits, great variability and coexistence of dynamic modes. Under these conditions, even small random perturbations significantly change the dynamics of the system and induce such phenomena as stochastic excitability, multimodality, phantom attractor, and transitions from order to chaos. The study of these models provides an understanding of the main mechanisms of these phenomena using methods of numerical and statistical analysis, as well as a theoretical approach based on the stochastic sensitivity function and the method of confidence domains.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés spectrales des opérateurs non-auto-adjoints aléatoires. Nous allons considérer principalement les cas des petites perturbations aléatoires de deux types des opérateurs non-auto-adjoints suivants :1. une classe d’opérateurs non-auto-adjoints h-différentiels Ph, introduite par M. Hager [32],dans la limite semiclassique (h→0); 2. des grandes matrices de Jordan quand la dimension devient grande (N→∞). Dans le premier cas nous considérons l’opérateur Ph soumis à de petites perturbations aléatoires. De plus, nous imposons que la constante de couplage δ vérifie e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), pour certaines constantes C, k > 0 choisies assez grandes. Soit ∑ l’adhérence de l’image du symbole principal de Ph. De précédents résultats par M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] et J. Sjöstrand [67] montrent que, pour le même opérateur, si l’on choisit δ ⪢ e(-1/Ch), alors la distribution des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl jusqu’à une distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 du bord de ∑. Nous étudions la mesure d’intensité à un et à deux points de la mesure de comptage aléatoire des valeurs propres de l’opérateur perturbé. En outre, nous démontrons des formules h-asymptotiques pour les densités par rapport à la mesure de Lebesgue de ces mesures qui décrivent le comportement d’un seul et de deux points du spectre dans ∑. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à un point, nous prouvons qu’il y a une loi de Weyl à l’intérieur du pseudospectre,une zone d’accumulation des valeurs propres dûe à un effet tunnel près du bord du pseudospectre suivi par une zone où la densité décroît rapidement. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à deux points, nous prouvons que deux valeurs propres sont répulsives à distance courte et indépendantes à grande distance à l’intérieur de ∑. Dans le deuxième cas, nous considérons des grands blocs de Jordan soumis à des petites perturbations aléatoires gaussiennes. Un résultat de E.B. Davies et M. Hager [16] montre que lorsque la dimension de la matrice devient grande, alors avec probabilité proche de 1, la plupart des valeurs propres sont proches d’un cercle. De plus, ils donnent une majoration logarithmique du nombre de valeurs propres à l’intérieur de ce cercle. Nous étudions la répartition moyenne des valeurs propres à l’intérieur de ce cercle et nous en donnons une description asymptotique précise. En outre, nous démontrons que le terme principal de la densité est donné par la densité par rapport à la mesure de Lebesgue de la forme volume induite par la métrique de Poincaré sur la disque D(0, 1). / In this thesis we are interested in the spectral properties of random non-self-adjoint operators. Weare going to consider primarily the case of small random perturbations of the following two types of operators: 1. a class of non-self-adjoint h-differential operators Ph, introduced by M. Hager [32], in the semiclassical limit (h→0); 2. large Jordan block matrices as the dimension of the matrix gets large (N→∞). In case 1 we are going to consider the operator Ph subject to small Gaussian random perturbations. We let the perturbation coupling constant δ be e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), for constants C, k > 0 suitably large. Let ∑ be the closure of the range of the principal symbol. Previous results on the same model by M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] and J. Sjöstrand [67] show that if δ ⪢ e(-1/Ch) there is, with a probability close to 1, a Weyl law for the eigenvalues in the interior of the pseudospectrumup to a distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 to the boundary of ∑. We will study the one- and two-point intensity measure of the random point process of eigenvalues of the randomly perturbed operator and prove h-asymptotic formulae for the respective Lebesgue densities describing the one- and two-point behavior of the eigenvalues in ∑. Using the density of the one-point intensity measure, we will give a complete description of the average eigenvalue density in ∑ describing as well the behavior of the eigenvalues at the pseudospectral boundary. We will show that there are three distinct regions of different spectral behavior in ∑. The interior of the of the pseudospectrum is solely governed by a Weyl law, close to its boundary there is a strong spectral accumulation given by a tunneling effect followed by a region where the density decays rapidly. Using the h-asymptotic formula for density of the two-point intensity measure we will show that two eigenvalues of randomly perturbed operator in the interior of ∑ exhibit close range repulsion and long range decoupling. In case 2 we will consider large Jordan block matrices subject to small Gaussian random perturbations. A result by E.B. Davies and M. Hager [16] shows that as the dimension of the matrix gets large, with probability close to 1, most of the eigenvalues are close to a circle. They, however, only state a logarithmic upper bound on the number of eigenvalues in the interior of that circle. We study the expected eigenvalue density of the perturbed Jordan block in the interior of thatcircle and give a precise asymptotic description. Furthermore, we show that the leading contribution of the density is given by the Lebesgue density of the volume form induced by the Poincarémetric on the disc D(0, 1).