Note:

No description available.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière d'un espace métrique. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P. Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogènes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge à homéomorphismes bi-Lipschitz près. On montre comment calculer la dimension conforme AR à partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique. Comme conséquence de cette égalité on obtient un critère général de dimension un. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale.On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques. / In this thesis we study the Ahlfors regular conformal dimension of a metric space. This is a quasisymmetric numerical invariant, introduced by P. Pansu, which was used to classify negatively curved homogeneous spaces up to quasi-isometries. It plays nowadays an important role in geometric group theory and in conformal dynamics.Using a sequence of finite coverings of a compact metric space, we construct distances in the (Ahlfors regular) conformal gauge of controlled dimension. We obtain in this way a combinatorial characterization (up to bi-Lipschitz homeomorphisms) of all the metrics of the gauge.We show how to compute the conformal dimension (AR) using the critical exponent associated to the combinatorial modulus. As a consequence of this equality we obtain a general criterion ensuring dimension one. The conditions are stated in terms of local cut points.Finally, we give applications of these results to the boundaries of Gromov hyperbolic groups and to the Julia sets of semi-hyperbolic rational maps.

Les applications rationnelles sont des objets fondamentaux en géométrie algébrique. Elles sont utilisées pour décrire certains objets géométriques, tels que la représentation paramétrique d'une variété algébrique rationnelle. Plus récemment, les applications rationnelles sont apparues dans des contextes d'informatique pour l'ingénierie, dans le domaine de la modélisation de formes, en utilisant des méthodes de conception assistée par ordinateur pour les courbes et les surfaces. Des paramétrisations des courbes et des surfaces sont utilisées de manière intensive afin décrire des objets dans la modélisation géométrique, tel que structures des voitures, des avions. Par conséquent, l'étude des applications rationnelles est d'intérêt théorique dans la géométrie algébrique et l'algèbre commutative, et d'une importance pratique dans la modélisation géométrique. Ma thèse étudie les images et les fibres des applications rationnelles en relation avec les équations des algèbres de Rees et des algèbres symétriques. Dans la modélisation géométrique, il est important d'avoir une connaissance détaillée des propriétés géométriques de l'objet et de la représentation paramétrique avec lesquels on travaille. La question de savoir combien de fois le même point est peint (c'est-à-dire, correspond à des valeurs distinctes du paramètre), ne concerne pas seulement la variété elle-même, mais également la paramétrisation. Il est utile pour les applications de déterminer les singularités des paramétrisations. Dans les chapitres 2 et 3, on étudie des fibres d'une application rationnelle de P^m dans P^n qui est génériquement finie sur son image. Une telle application est définie par un ensemble ordonné de (n+1) polynômes homogènes de même degré d. Plus précisément, dans le chapitre 2, nous traiterons le cas des paramétrisations de surfaces rationnelles de P^2 dans P^3, et y donnons une borne quadratique en d pour le nombre de fibres de dimension 1 de la projection canonique de son graphe sur son image. Nous déduisons ce résultat d'une étude de la différence du degré initial entre les puissances ordinaires et les puissances saturées. Dans le chapitre 3, on affine et généralise les résultats sur les fibres du chapitre précédent. Plus généralement, nous établissons une borne linéaire en d pour le nombre de fibres (m-1)-dimensionnelles de la projection canonique de son graphe sur son image, en utilisant des idéaux de mineurs de la matrice jacobienne.Dans le chapitre 4, nous considérons des applications rationnelles dont la source est le produit de deux espaces projectifs.Notre principal objectif est d'étudier les critères de birationalité pour ces applications. Tout d'abord, un critère général est donné en termes du rang d'une couple de matrices connues sous le nom "matrices jacobiennes duales". Ensuite, nous nous concentrons sur des applications rationnelles de P^1 x P^1 vers P^2 en bidegré bas et fournissons de nouveaux critères de birationalité en analysant les syzygies des équations de définition de l'application; en particulier en examinant la dimension de certaines parties bigraduées du module de syzygies. Enfin, les applications de nos résultats au contexte de la modélisation géométrique sont discutées à la fin du chapitre. / Rational maps are fundamental objects in algebraic geometry. They are used to describe some geometric objects,such as parametric representation of rational algebraic varieties. Lately, rational maps appeared in computer-engineering contexts, mostly applied to shape modeling using computer-aided design methods for curves and surfaces. Parameterized algebraic curves and surfaces are used intensively to describe objects in geometric modeling, such as car bodies, airplanes.Therefore, the study of rational maps is of theoretical interest in algebraic geometry and commutative algebra, and of practical importance in geometric modeling. My thesis studies images and fibers of rational maps in relation with the equations of the symmetric and Rees algebras. In geometric modeling, it is of vital importance to have a detailed knowledge of the geometry of the object and of the parametric representation with which one is working. The question of how many times is the same point being painted (i.e., corresponds to distinct values of parameter), depends not only on the variety itself, but also on the parameterization. It is of interest for applications to determine the singularities of the parameterizations. In the chapters 2 and 3, we study the fibers of a rational map from P^m to P^nthat is generically finite onto its image. More precisely, in the second chapter, we will treat the case of parameterizations of algebraic rational surfaces. In this case, we give a quadratic bound in the degree of the defining equations for the number of one-dimensional fibers of the canonical projection of the graph of $\phi$ onto its image,by studying of the difference between the initial degree of ordinary and saturated powers of the base ideal. In the third chapter, we refine and generalize the results on fibers of the previous chapter.More generally, we establish a linear bound in the degree of the defining equations for the number of (m-1)-dimensional fibers of the canonical projection of its graph onto its image, by using ideals of minors of the Jacobian matrix.In the fourth chapter, we consider rational maps whose source is a product of two subvarieties, each one being embedded in a projective space. Our main objective is to investigate birationality criteria for such maps. First, a general criterion is given in terms of the rank of a couple of matrices that came to be known as "Jacobian dual matrices". Then, we focus on rational maps from P^1 x P^1 to P^2 in very low bidegrees and provide new matrix-based birationality criteria by analyzing the syzygies of the defining equations of the map, in particular by looking at the dimension of certain bigraded parts of the syzygy module. Finally, applications of our results to the context of geometric modeling are discussed at the end of the chapter.

<div>This dissertation is based on joint work with Monte Cooper and is broken into two main parts, both of which study the defining ideals of the Rees rings of determinantal and Pfaffian ideals of generic height. In both parts, we attempt to place degree bounds on the defining equations.</div><div> </div><div> The first part of the dissertation consists of Chapters 3 to 5. Let $R = K[x_{1},\ldots,x_{d}]$ be a standard graded polynomial ring over a field $K$, and let $I$ be a homogeneous $R$-ideal generated by $s$ elements. Then there exists a polynomial ring $\mathcal{S} = R[T_{1},\ldots,T_{s}]$, which is also equal to $K[x_{1},\ldots,x_{d},T_{1},\ldots,T_{s}]$, of which the defining ideal of $\mathcal{R}(I)$ is an ideal. The polynomial ring $\mathcal{S}$ comes equipped with a natural bigrading given by $\deg x_{i} = (1,0)$ and $\deg T_{j} = (0,1)$. Here, we attempt to use specialization techniques to place bounds on the $x$-degrees (first component of the bidegrees) of the defining equations, i.e., the minimal generators of the defining ideal of $\mathcal{R}(I)$. We obtain degree bounds by using known results in the generic case and specializing. The key tool are the methods developed by Kustin, Polini, and Ulrich to obtain degree bounds from approximate resolutions. We recover known degree bounds for ideals of maximal minors and submaximal Pfaffians of an alternating matrix. Additionally, we obtain $x$-degree bounds for sufficiently large $T$-degrees in other cases of determinantal ideals of a matrix and Pfaffian ideals of an alternating matrix. We are unable to obtain degree bounds for determinantal ideals of symmetric matrices due to a lack of results in the generic case; however, we develop the tools necessary to obtain degree bounds once similar results are proven for generic symmetric matrices.</div><div> </div><div> The second part of this dissertation is Chapter 6, where we attempt to find a bound on the $T$-degrees of the defining equations of $\mathcal{R}(I)$ when $I$ is a nonlinearly presented homogeneous perfect Gorenstein ideal of grade three having second analytic deviation one that is of linear type on the punctured spectrum. We restrict to the case where $\mathcal{R}(I)$ is not Cohen-Macaulay. This is a natural next step following the work of Morey, Johnson, and Kustin-Polini-Ulrich. Based on extensive computation in Macaulay2, we give a conjecture for the relation type of $I$ and provide some evidence for the conjecture. In an attempt to prove the conjecture, we obtain results about the defining ideals of general fibers of rational maps, which may be of independent interest. We end with some examples where the bidegrees of the defining equations exhibit unusual behavior.</div>