Artins Vermutung über Primitivwurzeln besagt, dass es zu jeder ganzen Zahl a, die weder 0, ±1 noch eine Quadratzahl ist, unendlich viele Primzahlen p gibt, sodass a eine Primitivwurzel modulo p ist, d.h. a erzeugt eine multiplikative Untergruppe von Q*, dessen Reduktion modulo p Index 1 in (Z/pZ)* hat. Dies wirft die Frage nach Verteilung von Index und Ordnung dieser Reduktion in (Z/pZ)* auf, wenn man p variiert. Diese Arbeit widmet sich verallgemeinerten Fragestellungen in Zahlkörpern: Ist K ein Zahlkörper und Gamma eine endlich erzeugte unendliche Untergruppe von K*, so werden Momente von Index und Ordnung der Reduktion von Gamma sowohl modulo bestimmter Familien von Primidealen von K als auch modulo aller Ideale von K untersucht. Ist Gamma die Gruppe der Einheiten von K, so steht diese Fragestellung in engem Zusammenhang mit der Ramanujan Vermutung in Zahlkörpern. Des Weiteren werden analoge Probleme für rationale elliptische Kurven E betrachtet: Bezeichnet Gamma die von einem rationalen Punkt von E erzeugte Gruppe, so wird untersucht, wie sich Index und Ordnung der Reduktion von Gamma modulo Primzahlen verhalten. Teilweise unter Voraussetzung gängiger zahlentheoretischer Vermutungen werden jeweils asymptotische Formeln in manchen Fällen bewiesen und generelle Schwierigkeiten geschildert, die solche in anderen Fällen verhindern. Darüber hinaus wird eine weitere verwandte Fragestellung betrachtet und bewiesen, dass zu jeder hinreichend großen Primzahl p stets eine Primitivwurzel modulo p existiert, die sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt und nach oben im Wesentlichen durch die Quadratwurzel von p beschränkt ist.

Dans cette thèse, nous appliquons des outils issus de la théorie d’Arakelov à l’étude de problèmes de géométrie diophantienne. Une notion centrale dans notre étude est la théorie des pentes des fibrés vectoriels hermitiens, introduite par Bost dans les années 90. Nous travaillons plus précisément avec sa généralisation dans le cadre adélique, inspirée par Zhang et développée par Gaudron. Ce mémoire s’articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste en l’étude d’un remarquable théorème de géométrie diophantienne dû à Faltings etWüstholz, qui généralise le théorème du sous-espace de Schmidt. Nous commencerons par retranscrire la démonstration de Faltings et Wüstholz dans le langage de la théorie des pentes. Dans un second temps, nous établirons des variantes effectives de ce théorème, que nous appliquerons pour démontrer une généralisation effective du théorème de Liouville valable pour les points fermés d’une variété projective fixée. Ce résultat fournit en particulier une majoration explicite de la hauteur des points satisfaisant une inégalité analogue à celle du théorème de Liouville classique. Dans la seconde partie de cette thèse, nous établirons de nouvelles mesures d’indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif, dans le cas dit rationnel.Notre approche utilise les arguments de la méthode de Baker revisitée par Philippon et Waldschmidt, combinés avec des outils de la théorie des pentes. Nous y intégrons un nouvel argument, inspiré par des travaux antérieurs de Bertrand et Philippon, nous permettant de contourner les difficultés introduites par le cas périodique. Cette approche évite le recours à une extrapolation sur les dérivations à la manière de Philippon et Waldschmidt. Nous parvenons ainsi à supprimer une hypothèse technique contraignante dans plusieurs théorèmes de Gaudron, tout en précisant les mesures obtenues. / In this thesis, we study diophantine geometry problems on projective varieties and commutative algebraic groups, by means of tools from Arakelov theory. A central notion in this work is the slope theory for hermitian vector bundles, introduced by Bost in the 1990s. More precisely, we work with its generalization in an adelic setting, inspired by Zhang and developed by Gaudron. This dissertation contains two major lines. The first one is devoted to the study of a remarkable theorem due to Faltings and Wüstholz, which generalizes Schmidt’s subspace theorem. We first reformulate the proof of Faltings and Wüstholz using the formalism of adelic vector bundles and the adelic slope method. We then establish some effective variants of the theorem, and we deduce an effective generalization of Liouville’s theorem for closed points on a projective variety defined over a number field. In particular, we give an explicit upper bound for the height of the points satisying a Liouville-type inequality. In the second part, we establish new measures of linear independence of logarithms over a commutative algebraic group. We focus our study on the rational case. Our approach combines Baker’s method (revisited by Philippon and Waldschmidt) with arguments from the slope theory. More importantly, we introduce a new argument to deal with the periodic case, inspired by previous works of Bertrand and Philippon. This method does not require the use of an extrapolation on derivations in the sense of Philippon-Waldschmidt. In this way, we are able to remove an important hypothesis in several theorems of Gaudron establishing lower bounds for linear forms in logarithms.

Le comptage des points rationnels est un problème classique en géométrie diophantienne. On s’intéresse à des majorations du nombre des points rationnels de hauteur bornée qui sont valables pour toute hypersurface arithmétique de degré fixé d’un espace projectif. Dans ce but, on construit une famille d’hypersurfaces auxiliaires qui contiennent tous les points rationnels de hauteur bornée mais ne contiennent pas le point générique de l’hypersurface initiale. Plusieurs outils géométriques sont développés ou adaptés dans le cadre de la géométrie d’Arakelov et de la géométrie diophantienne afin d’appliquer la méthode des déterminants par la langage de la géométrie d’Arakelov, notamment une majoration et une minoration explicite uniforme de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétrique d’une hypersurface. Pour un schéma projectif réduit de dimension pure sur un anneau d’entiers algébriques, on donne une majoration du nombre des places sur lesquelles la fibre ne soit pas réduite. Cette majoration est utile pour la construction des hypersurfaces auxiliaires mentionnées au-dessus. De plus, la géométrie sur un corps fini joue un rôle important dans ce problème. Dans ce travail, l’un des ingrédients clé dans ce travail est une majoration effective liée à une fonction de comptage des multiplicités des points rationnels dans une hypersurface projective réduite définie sur un corps fini, qui donne une description de la complexité de son lieu singulier. Pour ce problème de comptage de multiplicités, l’outil principal est la théorie d’intersection sur un espace projectif. / Counting rational points is a classical problem in Diophantine geometry. We are interested inupper bounds for the number of rational points of bounded height of an arithmetic hypersurface with bounded degree in a projective space. For this propose, we construct a family of auxiliary hypersurfaces which contain all these rational points of bounded height but don’t contain the generic point of this hypersurface. Several tools of Arakelov geometry and Diophantine geometry are developed or adapted in this work in order to apply the determinant method by the approach of Arakelov geometry, especially a uniform explicit upper bound and a uniform explicit lower bound of the arithmetic Hilbert-Samuel function of a hypersurface. For a reduced pure dimensional projective scheme over a ring of algebraic integers, we give an upper bound of the number of places over which the fiber is not reduced any longer. This upper bound is useful for the construction of these auxilary hypersurfaces mentioned above. In addition, the geometry over a finite field plays an important role in this problem. One of the key ingredients in this work is an e_ective upper bound for a counting function of multiplicities of rational points in a reduced projective hypersurface defined over a finite field, which gives a description of the complexity of its singular locus. For this problem of counting multiplicities, the major tool is intersection theory on a projective space

Dans cette thèse, nous étudions les conjectures de Manin et Peyre pour plusieursclasses de variétés algébriques. Les conjectures de Manin et Peyre décrivent pour les variétés"presque de Fano" le comportement asymptotique des points rationnels de hauteur inférieure à B lorsque B tend vers l’infini en termes d’invariants géométriques de la variété.Nous démontrons dans un premier temps, les conjectures de Manin et Peyre pour la famille de surfaces de Châtelet définies comme modèle minimal propre et lisse de variétés affines de A3Q d’équation Y 2 + Z2 = F(X, 1) pour une forme binaire F de degré 4 sans racine multiple admettant une factorisation du type F = L1L2Q avec L1 et L2 deux formes linéaires et Q une forme quadratique irréductible sur Q[i], achevant ainsi le traitement des conjectures de Manin et Peyre dans le cas des surfaces de Châtelet avec a = −1 initié par La Bretèche, Browning et Peyre.Dans une deuxième partie de cette thèse, nous déterminons un anneau de Cox de type identité sur Q de certaines surfaces fibrées en coniques comprenant les surfaces de Châtelet. Nous en déduisons une description de certains torseurs pour ces variétés. Cela nous permet de préciser la géométrie derrière les preuves de la conjectures de Manin et notamment de préciser le traitement de la constante dans le cas où F = Q1Q2 pour Qiune forme quadratique irréductible sur Q[i]. Par ailleurs, cela permet également d’ouvrir l’espoir de nouvelles applications. Enfin, dans une troisième partie, nous établissons pour tout n > 2, les conjectures de Manin et Peyre pour la famille d’hypersurfaces singulières, de dimension 2n−2, normales et projectives Wn de P2n−1 définies par l’équation x1y2y3 · · · yn + x2y1y3 · · · yn + · · · + xny1y2 · · · yn−1 = 0 généralisant les travaux de Blomer, Brüdern et Salberger dans le cas n = 3. Les méthodes utilisées reposent sur des travaux récents de La Bretèche sur le nombre de matrices aléatoires pour la partie comptage et sur une annexe de Salberger afin de construire une résolution crépante de Wn et d’expliciter son torseur versel pour la partie conjecture de Peyre. / In this thesis, we study the Manin and Peyre’s conjectures for several families of algebraic varieties. The Manin and Peyre’s conjectures describe the distribution of rational points of height less than B when B goes to infinity for "almost Fano" varieties in termso f geometric invariants of the variety. We prove in a first part the Manin and Peyre’s conjectures for the family of Châteletsurfaces defined as minimal proper smooth model of affine varieties of A3Q of the shapeY 2 + Z2 = F(X, 1)for a binary form F of degree 4 without multiple roots and factorizing as F = L1L2Q withL1 and L2 two linear forms and Q a quadratic form irreducible over Q[i], settling the las tremaining case of the Manin and Peyre’s conjectures for Châtelet surfaces with a = −1after works of La Bretèche, Browning, Peyre and Tenenbaum .In a second part, we find a Cox ring of identity type over Q for a family of conic bundle surfaces which contains Châtelet surfaces. This yields a description of some torsors overthese surfaces over Q and it allows us to better describe the geometry behind the existing proofs of Manin’s conjecture for Châtelet surfaces, especially in the case F = Q1Q2 with Qj a quadratic form which is irreducible over Q[i]. Moreover, this result opens the way to new applications. Finally, in a third part, we establish the Manin and Peyre’s conjectures for all n > 2for the family of singular normal projective hypersurfaces Wn of dimension 2n−2 of P2n−1defined by the equation x1y2y3 · · · yn + x2y1y3 · · · yn + · · · + xny1y2 · · · yn−1 = 0 generalizing work of Blomer, Brüdern and Salberger in the case n = 3. The method used in this work relies on recent work of La Bretèche about the number of stochastic matrices for the counting part and on an Appendix by Salberger in order to construct a crepantre solution of Wn and to describe its versal torsor for Peyre’s conjecture.

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