Every positive integer has a unique radix 2 representation which uses the digits {0,1}. However, if we allow digits other than 0 and 1, say {0,1,-1}, then a positive integer has many representations. Of these <i>redundant</i> representations, it is possible to choose one that has few nonzero digits. It is well known that using representations of integers with few nonzero digits allows certain algebraic operations to be done more quickly. This thesis is concerned with various representations of integers that are related to efficient implementations of algebraic operations in cryptographic algorithms. The topics covered here include: <ul> <li> <i>The width-w nonadjacent form (w-NAF)</i>. We prove that the <i>w</i>-NAF of an integer has a minimal number of nonzero digits; that is, no other representation of an integer, which uses the <i>w</i>-NAF digits, can have fewer nonzero digits than its <i>w</i>-NAF. </li> <li><i>A left-to-right analogue of the w-NAF</i>. We introduce a new family of radix 2 representations which use the same digits as the <i>w</i>-NAF, but have the property that they can be computed by sliding a window from left to right across the binary representation of an integer. We show these new representations have a minimal number of nonzero digits. </li> <li><i>Joint representations</i>. Solinas introduced a {0,1,-1}-radix 2 representation for pairs of integers called the joint sparse form. We consider generalizations of the joint sparse form which represent <i>r</i>&ge;2 integers and use digits other than {0,1,-1}. We show how to construct a {0,1,2,3}-joint representation that has a minimal number of nonzero columns. </li> <li><i>Nonadjacent digit sets</i>. It is well known that if <i>x</i> equals 3 or -1 then every nonnegative integer has a unique {0,1,<i>x</i>}-nonadjacent form; that is, a {0,1,<i>x</i>}-radix 2 representation with the property that, of any two consecutive digits, at most one is nonzero. We investigate what other values of <i>x</i> have this property. </li> </ul>

Every positive integer has a unique radix 2 representation which uses the digits {0,1}. However, if we allow digits other than 0 and 1, say {0,1,-1}, then a positive integer has many representations. Of these <i>redundant</i> representations, it is possible to choose one that has few nonzero digits. It is well known that using representations of integers with few nonzero digits allows certain algebraic operations to be done more quickly. This thesis is concerned with various representations of integers that are related to efficient implementations of algebraic operations in cryptographic algorithms. The topics covered here include: <ul> <li> <i>The width-w nonadjacent form (w-NAF)</i>. We prove that the <i>w</i>-NAF of an integer has a minimal number of nonzero digits; that is, no other representation of an integer, which uses the <i>w</i>-NAF digits, can have fewer nonzero digits than its <i>w</i>-NAF. </li> <li><i>A left-to-right analogue of the w-NAF</i>. We introduce a new family of radix 2 representations which use the same digits as the <i>w</i>-NAF, but have the property that they can be computed by sliding a window from left to right across the binary representation of an integer. We show these new representations have a minimal number of nonzero digits. </li> <li><i>Joint representations</i>. Solinas introduced a {0,1,-1}-radix 2 representation for pairs of integers called the joint sparse form. We consider generalizations of the joint sparse form which represent <i>r</i>&ge;2 integers and use digits other than {0,1,-1}. We show how to construct a {0,1,2,3}-joint representation that has a minimal number of nonzero columns. </li> <li><i>Nonadjacent digit sets</i>. It is well known that if <i>x</i> equals 3 or -1 then every nonnegative integer has a unique {0,1,<i>x</i>}-nonadjacent form; that is, a {0,1,<i>x</i>}-radix 2 representation with the property that, of any two consecutive digits, at most one is nonzero. We investigate what other values of <i>x</i> have this property. </li> </ul>

Η υλοποίηση αποδοτικών αριθμητικών κυκλωμάτων αποτελεί ένα ανοικτό πεδίο έρευνας καθώς η συνεχής εξέλιξη της τεχνολογίας απαιτεί την επανεκτίμηση των μεθόδων σχεδίασής τους, ενώ παράλληλα δημιουργεί νέους τομείς εφαρμογής τους. Ο τεράστιος όγκος πληροφορίας και η ανάγκη γρήγορης επεξεργασίας της έχει οδηγήσει στην ανάγκη αύξησης της συχνότητας λειτουργίας των αντίστοιχων κυκλωμάτων. Μεγάλης σημασίας παραμένει επίσης η ανάγκη για τη μείωση της κατανάλωσης ισχύος των συστημάτων αυτών, αλλά και του κόστους τους, που συνδέονται άμεσα με την επιφάνεια ολοκλήρωσής τους. Η ικανοποίηση των παραμέτρων αυτών επιτάσσει σε διάφορες περιπτώσεις την υιοθέτηση αριθμητικών συστημάτων, πέραν του συμβατικού δυαδικού συστήματος. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν το Αριθμητικό Σύστημα Υπολοίπων (Residue Number System – RNS) όπως επίσης και τα αριθμητικά συστήματα πλεοναζουσών αναπαραστάσεων (redundant number systems). Η διδακτορική αυτή διατριβή ασχολείται με την υλοποίηση αποδοτικών κυκλωμάτων για το Αριθμητικό Σύστημα Υπολοίπων, με την έρευνα να επικεντρώνεται στην υιοθέτηση τόσο πλεοναζουσών όσο και μη-πλεοναζουσών αναπαραστάσεων στα διάφορα κανάλια επεξεργασίας του. Το πρώτο μέρος της διατριβής έχει ως στόχο τη σχεδίαση αποδοτικών κυκλωμάτων υπολοίπων με χρήση μη-πλεοναζουσών αναπαραστάσεων τόσο για τις κύριες-βασικές αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός) όσο και για τις δευτερεύουσες-βοηθητικές (αφαίρεση, ύψωση σε δύναμη) πράξεις. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται κυκλώματα αφαίρεσης και πρόσθεσης/αφαίρεσης για κανάλια υπολοίπου της μορφής 2^n+-1, κυκλώματα πολλαπλασιασμού με σταθερά για το σύνολο διαιρετών {2^n-1, 2^n, 2^n+1} καθώς και κυκλώματα Booth πολλαπλασιασμού προγραμματιζόμενης λογικής για τα κανάλια υπολοίπου 2^n+-1. Επιπλέον, παρουσιάζονται κυκλώματα ύψωσης στον κύβο για το κανάλι υπολοίπου 2^n-1. Προτείνεται επίσης μια οικογένεια αριθμητικών κυκλωμάτων (αθροιστές, αφαιρέτες, πολλαπλασιαστές, κυκλώματα ύψωσης στο τετράγωνο) υπολοίπου 2^n+1 για την αναπαράσταση ελάττωσης κατά 1, που ενσωματώνουν τη μετατροπή του αποτελέσματος στην κανονική αναπαράσταση μέσα στην αρχιτεκτονική τους, ενώ παρουσιάζεται και μία ενιαία μεθοδολογία σχεδίασης κυκλωμάτων ανάστροφης μετατροπής για σύνολα διαιρετών με κανάλια της μορφής 2^n+1 που υιοθετούν την αναπαράσταση ελάττωσης κατά 1. Τέλος, διερευνούνται και οι διαιρέτες της μορφής 2^n-2 και προτείνονται για αυτούς αποδοτικές αρχιτεκτονικές κυκλωμάτων πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, ύψωσης στο τετράγωνο και ευθείας μετατροπής. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής το ενδιαφέρον εστιάζεται σε μία διαφορετική κατηγορία αναπαραστάσεων, οι οποίες παρέχουν περισσότερους από ένα δυνατούς τρόπους κωδικοποίησης των εντέλων τους. Οι πλεονάζουσες αυτές αναπαραστάσεις παρουσιάζουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, όπως η δυνατότητα εξισορρόπησης ταχύτητας και επιφάνειας υλοποίησης. Στη διατριβή εξετάζονται τρεις πλεονάζουσες αναπαραστάσεις για το Αριθμητικό Σύστημα Υπολοίπων με κανάλια διαιρετών της μορφής 2^n+-1 και παρουσιάζεται μία γενικευμένη μεθοδολογία διαχείρισης των ψηφίων τους, η οποία εφαρμόζεται στη σχεδίαση κυκλωμάτων μετατροπής. Στο τελευταίο μέρος περιγράφονται δύο εφαρμογές συστημάτων που βασίζονται στο Αριθμητικό Σύστημα Υπολοίπων. Αναλυτικότερα, σχεδιάζεται και υλοποιείται ένα σύστημα ανίχνευσης ακμών σε εικόνα με ένα στάδιο προ-επεξεργασίας για μείωση του θορύβου καθώς και τρία φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης. / The implementation of efficient arithmetic circuits has always been an open field for research, since the technology evolves rapidly, demanding the reevaluation of their design methods. At the same time this continuous evolution opens new research areas for these circuits. The need for fast processing of a vast amount of information demands an increase of the operational frequency of the corresponding circuits, while at the same time low power consumption, low cost and therefore low area remain of crucial importance. Meeting these needs in arithmetic circuits usually implies the employment of alternative, non-binary number systems. Such examples are the Residue Number System (RNS) and number systems with redundant representations. The subject of this PhD dissertation is the implementation of efficient arithmetic circuits for the RNS emphasizing both in redundant and not redundant representations. The first part of the dissertation deals with the design of efficient non-redundant arithmetic circuits for main arithmetic operations such as addition and multiplication that are met in every processing system, as well as for auxiliary operations like subtraction, squaring and cubing. Specifically, the circuits presented include subtractors and adders/subtractors for the moduli channels of the 2^n+-1 form, single-constant multipliers for the {2^n-1, 2^n, 2^n+1} moduli set, configurable modulo 2^n +-1 Booth-encoded multipliers as well as modulo 2^n-1 cubing units. Furthermore, a family of diminished-1 modulo 2^n+1 arithmetic circuits (adders, subtractors, multipliers and squarers) is also presented, that produces the respective result directly to weighted (normal) representation, embedding that way the conversion process between these two representations. The design of efficient Residue-to-Binary converters is also considered and a novel generic methodology is proposed for the systematic design of those circuits. The modulo 2^n-2 channel is also investigated and an arithmetic processing framework is proposed including adders, multipliers, squarers and Binary-to-Residue converters. In the second part, we focus on a different category of representations, where operands can be encoded in more than one ways. Such representations offer certain characteristics such as a tradeoff between area and speed. In particular, we consider three redundant representations for the RNS processing channels of the 2^n+-1 form, which are the most common choice. A generic methodology is presented for treating their digits in order to design efficient converters for them. The last part of the dissertation presents two applications that are implemented entirely in the RNS domain. Their architectures rely on the proposed arithmetic circuits. The first application is an image edge detector with a pre-processing noise filtering stage. The second application involves the design of three Finite Impulse Response (FIR) filters.