Cette thèse concerne le problème de désocclusion d'images, au moyen des équations aux dérivées partielles. Dans la première partie de la thèse, la désocclusion est modélisée par un problème de Cauchy qui consiste à déterminer une solution d'une équation aux dérivées partielles avec des données aux bords accessibles seulement sur une partie du bord de la partie à recouvrir. Ensuite, on a utilisé des algorithmes de minimisation issus de la théorie des jeux, pour résoudre ce problème de Cauchy. La deuxième partie de la thèse est consacrée au choix des paramètres de régularisation pour des EDP d'ordre deux et d'ordre quatre. L'approche développée consiste à construire une famille de problèmes d'optimisation bien posés où les paramètres sont choisis comme étant une fonction variable en espace. Ceci permet de prendre en compte les différents détails, à différents échelles dans l'image. L'apport de la méthode est de résoudre de façon satisfaisante et objective, le choix du paramètre de régularisation en se basant sur des indicateurs d'erreur et donc le caractère à posteriori de la méthode (i.e. indépendant de la solution exacte, en générale inconnue). En outre, elle fait appel à des techniques classiques d'adaptation de maillage, qui rendent peu coûteuses les calculs numériques. En plus, un des aspects attractif de cette méthode, en traitement d'images est la récupération et la détection de contours et de structures fines. / Image inpainting refers to the process of restoring a damaged image with missing information. Different mathematical approaches were suggested to deal with this problem. In particular, partial differential diffusion equations are extensively used. The underlying idea of PDE-based approaches is to fill-in damaged regions with available information from their surroundings. The first purpose of this Thesis is to treat the case where this information is not available in a part of the boundary of the damaged region. We formulate the inpainting problem as a nonlinear boundary inverse problem for incomplete images. Then, we give a Nash-game formulation of this Cauchy problem and we present different numerical which show the efficiency of the proposed approach as an inpainting method.Typically, inpainting is an ill-posed inverse problem for it most of PDEs approaches are obtained from minimization of regularized energies, in the context of Tikhonov regularization. The second part of the thesis is devoted to the choice of regularization parameters in second-and fourth-order energy-based models with the aim of obtaining as far as possible fine features of the initial image, e.g., (corners, edges, … ) in the inpainted region. We introduce a family of regularized functionals with regularization parameters to be selected locally, adaptively and in a posteriori way allowing to change locally the initial model. We also draw connections between the proposed method and the Mumford-Shah functional. An important feature of the proposed method is that the investigated PDEs are easy to discretize and the overall adaptive approach is easy to implement numerically.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l'équation de Cahn-Hilliard. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d'images. D'abord, on étudie la dynamique de l'équation de Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn-Hilliard pour la retouche d'images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d'une généralisation de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet. / This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of some generalizations of the Cahn-Hilliard equation. We study the well-possedness of these models, as well as the asymptotic behavior in terms of the existence of finite-dimenstional (in the sense of the fractal dimension) attractors. The first part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in image inpainting. We start by the study of the dynamics of the Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. We give numerical simulations with a fast numerical scheme with threshold which is sufficient to obtain good inpainting results. Furthermore, we study this model with Neumann boundary conditions and a logarithmic nonlinearity and we also give numerical simulations which confirm that the results obtained with a logarithmic nonlinearity are better than the ones obtained with a polynomial nonlinearity. Finally, we propose a model based on the Cahn-Hilliard system which has applications in color image inpainting. The second part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in biology and chemistry. We study the convergence of the solution of a Cahn-Hilliard equation with a proliferation term and associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In that case, we prove that the solutions blow up in finite time or exist globally in time. Furthermore, we give numericial simulations which confirm the theoritical results. We end with the study of the Cahn-Hilliard equation with a mass source and a regular nonlinearity. In this study, we consider both Neumann and Dirichlet boundary conditions.

Cette étude est une analyse de l’évolution de la notion de photographie pure, dans les discours en Grande-Bretagne, entre 1860 et 1917. Définie comme une image non retouchée ni manipulée, la photographie pure est envisagée en miroir de la retouche et des interventions sur les négatifs et positifs. Une exploration des journaux britanniques a mis en lumière cette préoccupation constante pour la définition et la légitimité des moyens de la photographie. Premièrement, la question des combination printings, de la notion de vérité comme essence de la photographie ainsi que l’aspect des images photographiques sont source de débats. Les discours d’acceptation et de rejet des pratiques de ciels rapportés, de coloriage et de la retouche apportent un éclairage sur la genèse de la retouche. Ces points, corrélés à la présence de la photographie pure dans les expositions, soulignent l’émergence d’une volonté puriste dès les années 1860. Enfin, les discours sur la photographie pure de Peter Henry Emerson et de Frederick H. Evans sont mis en parallèle et contextualisés au sein du pictorialisme, pour mieux en dessiner la définition. Ainsi se relient, dans ces débats sur la pureté, les limites de l’expérimentation et les aspects de la photographie, les figures d'Alfred H. Wall, Oscar Gustav Rejlander, Julia Margaret Cameron, Robert Demachy, Alvin Langdon Coburn et Alfred Stieglitz. Leurs discours et leurs recherches éclairent un idéal à atteindre, difficilement applicable, un mythe plus qu’une réalité. / This study is an analysis of the evolution of the notion of pure photography, in discourses happening in Great Britain between 1860 and 1917. Defined as a photograph that is neither retouched nor manipulated, pure photography is envisaged in regard to retouching and negative and positive interventions. An exploration of British periodicals has brought to light the constant preoccupation for the definition and legitimacy of the photographic tools. First, the question of combination printings, the notion of truth as the essence of photography and the aspect of photographic images are a source of debate. The discourses of acceptance and rejection of practices such as printing-in clouds, colouring and retouching shine light on the genesis of retouching. These aspects, paralleled with the presence of pure photography in exhibitions, highlight the emergence of a purist aspiration as early as 1860. Finally, the discourses of Peter Henry Emerson and Frederick H. Evans on pure photography are confronted and contextualized within pictorialism, to further its definition. Thus, through these debates on purity, the limits of experimentation and the aspects of photography, the figures of Alfred H. Wall, Oscar Gustav Rejlander, Julia Margaret Cameron, Robert Demachy, Alvin Langdon Coburn and Alfred Stieglitz are connecting. Their discourses and research put forth an ideal, out of reach, impractical, a myth more than a reality.