This master's thesis studies portfolio optimization using linear programming algorithms. The contribution of this thesis is an extension of the convex framework for portfolio optimization with Conditional Value-at-Risk, introduced by Rockafeller and Uryasev. The extended framework considers risk measures in this thesis belonging to the intersecting classes of coherent risk measures and distortion risk measures, which are known as coherent distortion risk measures. The considered risk measures belonging to this class are the Conditional Value-at-Risk, the Wang Transform, the Block Maxima and the Dual Block Maxima measures. The extended portfolio optimization framework is applied to a reference portfolio consisting of stocks, options and a bond index. All assets are from the Swedish market. The returns of the assets in the reference portfolio are modelled with elliptical distribution and normal copulas with asymmetric marginal return distributions. The portfolio optimization framework is a simulation-based framework that measures the risk using the simulated scenarios from the assumed portfolio distribution model. To model the return data with asymmetric distributions, the tails of the marginal distributions are fitted with generalized Pareto distributions, and the dependence structure between the assets are captured using a normal copula. The result obtained from the optimizations is compared to different distributional return assumptions of the portfolio and the four risk measures. A Markowitz solution to the problem is computed using the mean average deviation as the risk measure. The solution is the benchmark solution which optimal solutions using the coherent distortion risk measures are compared to. The coherent distortion risk measures have the tractable property of being able to assign user-defined weights to different parts of the loss distribution and hence value increasing loss severities as greater risks. The user-defined loss weighting property and the asymmetric return distribution models are used to find optimal portfolios that account for extreme losses. An important finding of this project is that optimal solutions for asset returns simulated from asymmetric distributions are associated with greater risks, which is a consequence of more accurate modelling of distribution tails. Furthermore, weighting larger losses with increasingly larger weights show that the portfolio risk is greater, and a safer position is taken. / Denna masteruppsats behandlar portföljoptimering med linjära programmeringsalgoritmer. Bidraget av uppsatsen är en utvidgning av det konvexa ramverket för portföljoptimering med Conditional Value-at-Risk, som introducerades av Rockafeller och Uryasev. Det utvidgade ramverket behandlar riskmått som tillhör en sammansättning av den koherenta riskmåttklassen och distortions riksmåttklassen. Denna klass benämns som koherenta distortionsriskmått. De riskmått som tillhör denna klass och behandlas i uppsatsen och är Conditional Value-at-Risk, Wang Transformen, Block Maxima och Dual Block Maxima måtten. Det utvidgade portföljoptimeringsramverket appliceras på en referensportfölj bestående av aktier, optioner och ett obligationsindex från den Svenska aktiemarknaden. Tillgångarnas avkastningar, i referens portföljen, modelleras med både elliptiska fördelningar och normal-copula med asymmetriska marginalfördelningar. Portföljoptimeringsramverket är ett simuleringsbaserat ramverk som mäter risk baserat på scenarion simulerade från fördelningsmodellen som antagits för portföljen. För att modellera tillgångarnas avkastningar med asymmetriska fördelningar modelleras marginalfördelningarnas svansar med generaliserade Paretofördelningar och en normal-copula modellerar det ömsesidiga beroendet mellan tillgångarna. Resultatet av portföljoptimeringarna jämförs sinsemellan för de olika portföljernas avkastningsantaganden och de fyra riskmåtten. Problemet löses även med Markowitz optimering där "mean average deviation" används som riskmått. Denna lösning kommer vara den "benchmarklösning" som kommer jämföras mot de optimala lösningarna vilka beräknas i optimeringen med de koherenta distortionsriskmåtten. Den speciella egenskapen hos de koherenta distortionsriskmåtten som gör det möjligt att ange användarspecificerade vikter vid olika delar av förlustfördelningen och kan därför värdera mer extrema förluster som större risker. Den användardefinerade viktningsegenskapen hos riskmåtten studeras i kombination med den asymmetriska fördelningsmodellen för att utforska portföljer som tar extrema förluster i beaktande. En viktig upptäckt är att optimala lösningar till avkastningar som är modellerade med asymmetriska fördelningar är associerade med ökad risk, vilket är en konsekvens av mer exakt modellering av tillgångarnas fördelningssvansar. En annan upptäckt är, om större vikter läggs på högre förluster så ökar portföljrisken och en säkrare portföljstrategi antas.

This thesis attempts to evaluate the Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods Metropolis-Hastings (MH) and No-U-Turn Sampler (NUTS) to estimate systemic risk measures. The subject of analysis is an equity portfolio provided by a Nordic asset management firm, which is modelled using a vine copula. The evaluation considers three different crisis outcomes on a portfolio level, and the results are compared with a Monte Carlo (MC) benchmark. The MCMC samplers attempt to increase sampling efficiency by sampling from these crisis events directly, which is impossible for an MC sampler. The resulting systemic risk measures are evaluated both on the portfolio level as well as marginal level.  The results are divided. In part, the MCMC samplers proved to be efficient in terms of accepted samples, where NUTS outperformed MH. However, due to the practical implementation of the MCMC samplers and the vine copula model, the computational time required outweighed the gains in sampler efficiency - causing the MC sampler to outperform both MCMC samplers in certain settings. For NUTS, there seems to be great potential in the context of estimating systemic risk measures as it explores high-dimensional and multimodal joint distributions efficiently with low autocorrelation. It is concluded that asset management companies can benefit from both using vine copulas to model portfolio risk, as well as using MC or MCMC methods for evaluating systemic risk. However, for the MCMC samplers to be of practical relevance, it is recommended to further investigate efficient implementations of vine copulas in the context of MCMC sampling. / Detta examensarbete utvärderar Markov Chain Monte Carlo (MCMC)-metoderna No-U-Turn Sampler (NUTS) och Metropolis-Hastings (MH) vid uppskattning av systemiska riskmått. För att göra detta används en vine copula för att modellera en portfölj, baserad på empirisk data från ett nordiskt kapitalförvaltningsföretag. Metoderna utvärderas givet tre olika krishändelser och jämförs därefter med ett Monte Carlo (MC) benchmark. MCMC-metoderna försöker öka samplingseffektiviteten genom att simulera direkt från dessa krishändelser, vilket är omöjligt för en klassisk MC-metod. De resulterande systemiska riskmåtten utvärderas både på portföljnivå och på marginalnivå. Resultaten är delade. Dels visade sig MCMC-metoderna vara effektiva när det gäller accepterade samples där NUTS överträffade MH. Dock, med anledning av av den praktiska implementationen av MCMC-metoderna och vine copula modellen var beräkningstiden för hög trots effektiviteten hos metoden - vilket fick MC-metoden att överträffa de andra metoderna i givet dessa särskilda kontexter. När det kommer till att uppskatta systemiska riskmått finns det dock stor potential för NUTS eftersom metoden utforskar högdimensionella och multimodala sannolikhetsfördelningar effektivt med låg autokorrelation. Vi drar även slutsatsen att kapitalförvaltare kan dra nytta av att både använda riskmodeller baserade på vine copulas, samt använda MC- eller MCMC-metoder för att utvärdera systemisk risk. För att MCMC-metoderna ska vara av praktisk relevans rekommenderas det dock att framtida forskning görs där mer effektiva implementeringar av vine copula-baserade modeller görs i samband med MCMC-sampling.