A proposta deste trabalho é analisar a influência exercida pela migração sobre a sincronização em metapopulações heterogêneas, modeladas como sistemas acoplados, discretos no tempo e no espaço. São apresentadas as condições que o sistema deve satisfazer para possibilitar a ocorrência da sincronização e um critério envolvendo o número de Lyapunov para decidir sobre a estabilidade do estado síncrono. O desenvolvimento de tais ideias é feito primeiro para metapopulações heterogêneas compostas por apenas dois agrupamentos e, posteriormente, para o caso geral em que há um número arbitrário de agrupamentos. Esses resultados analíticos são ilustrados através de simulações numéricas para quatro tipos distintos de acoplamento. / The purpose of this study is to analyze the in uence of migration on synchronization in heterogeneous metapopulations, modeled as coupled systems, discrete in time and space. The conditions that the system must satisfy to allow the occurrence of synchronization and a criterion involving Lyapunov s number are presented to decide on the stability of the synchronous state. The development of such ideas is done rst for heterogeneous metapopulations composed of only two clusters and, posteriorly, for the general case in which there is an arbitrary number of clusters. These analytical results are illustrated through numerical simulations for four di erent types of coupling.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Física / Made available in DSpace on 2013-03-04T19:37:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 304788.pdf: 10346737 bytes, checksum: c576ecc65579e7cbef78964bb7e2d4ba (MD5) / Para estudar neurônios computacionalmente, pode-se escolher entre, pelo menos, duas abordagens diferentes: modelos biológicos do tipo Hodgkin e Huxley ou modelos formais (ex. o de Hindmarsh e Rose (HR), o de Kinouchi e Tragtenberg estendido (KTz), etc). Neurônios formais podem ser representados por equações diferenciais (ex. HR) ou por mapas, que são sistemas dinâmicos com variáveis de estado contínuas e dinâmica temporal discreta (ex. KTz). Poucos mapas foram propostos para descrever neurônios. Tais mapas provêem diversas vantagens computacionais, já que não há necessidade de ajustar nenhuma precisão arbitrária em variáveis de integração, o que leva a uma melhor performance nos cálculos e a resultados mais precisos. Acoplamos mapas KTz em redes regulares e complexas através de um mapa de sinapse química. Em redes regulares, verificamos que o modelo exibe diferentes tipos de sincronização (tais como sincronia em fase e em antifase e através de ondas que se propagam nas diagonais da rede); estudamos o efeito das sinapses na sincronização e nos intervalos entre disparos: sinapses muito lentas, em certas condições iniciais da rede, podem travar os neurônios em um comportamento de disparos rápidos, mesmo eles tendo sido ajustados em regime de bursting. A excitabilidade do neurônio KTz foi estudada. Redes regulares de neurônios KTz excitáveis apresentaram ondas espirais e mudança no intervalo dinâmico ao mudar o parâmetro de acoplamento. Redes regulares e complexas excitáveis com acoplamento homogêneo apresentaram transições de fase de primeira ordem. Propomos a adição de um ruído uniforme no acoplamento, o que torna as transições de fase contínuas e gera distribuições críticas de avalanches temporais e espaciais, apontando para um modelo criticamente auto-organizado, com expoentes ~ 1.6 e ~ 1.4, respectivamente. Estudamos a influência de alguns comportamentos dinâmicos dos neurônios na estabilidade das avalanches. Finalmente, analisamos os efeitos da subamostragem dos dados através de dois métodos, comparando as distribuições críticas de uma amostra completa com as de uma subamostra, ou amostra parcial, da rede. Constatamos que um dos métodos mantém a lei de potência com expoente ~ 1.35, enquanto o outro gera uma distribuição log-normal. / To study neurons with computational tools, one may call upon, at least, two different approaches: Hodgkin-Huxley like neurons (i.e. biological models) or formal models (e.g. Hindmarsh-Rose (HR) model, extended Kinouchi-Tragtenberg model (KTz), etc). Formal neurons may be represented by differential equations (e.g. HR), or by maps, which are dynamical systems with continuous state variables and discrete time dynamics (e.g. KTz). A few maps had been proposed to describe neurons. Such maps provide one with a number of computational advantages, since there is no need to set any arbitrary precision on the integration variable, which leads to better performance in the calculations and to more precise results. We coupled KTz maps within regular lattices and complex networks through a chemical synapse map. In regular lattices, the model exhibits different kinds of synchronization (such as phase and antiphase synchronization and linear wave fronts propagating over the network's diagonals); we studied the effect of synapses in the synchronization patterns and in the interspike interval times: slow synapses, under certain network's initial conditions, can lock down neurons into fast spiking behavior, even though they had been set into a bursting regime. The excitability of KTz neurons was studied. Excitable regular lattices and complex networks subjected to homogeneous coupling presented first order phase transitions. We propose the addition of uniform noise in the coupling, transforming the transitions into continuous phase transitions and generating critical avalanches' distributions in time and space, pointing towards a self-organized critical model, with exponents ~ 1.6 and ~ 1.4, respectively. We studied the influence of some dynamical behaviors of the neurons over the stability of the avalanches. Finally, we analyzed the data subsampling effect by two different methods, comparing the critical distributions of a full sample with those of a subsample, or partial sample, of the network. We found that one of the methods keep the power-law shape with exponent ~ 1.35 whereas the other generates a log-normal distribution.

A proposta deste trabalho é analisar a influência exercida pela migração sobre a sincronização em metapopulações heterogêneas, modeladas como sistemas acoplados, discretos no tempo e no espaço. São apresentadas as condições que o sistema deve satisfazer para possibilitar a ocorrência da sincronização e um critério envolvendo o número de Lyapunov para decidir sobre a estabilidade do estado síncrono. O desenvolvimento de tais ideias é feito primeiro para metapopulações heterogêneas compostas por apenas dois agrupamentos e, posteriormente, para o caso geral em que há um número arbitrário de agrupamentos. Esses resultados analíticos são ilustrados através de simulações numéricas para quatro tipos distintos de acoplamento. / The purpose of this study is to analyze the in uence of migration on synchronization in heterogeneous metapopulations, modeled as coupled systems, discrete in time and space. The conditions that the system must satisfy to allow the occurrence of synchronization and a criterion involving Lyapunov s number are presented to decide on the stability of the synchronous state. The development of such ideas is done rst for heterogeneous metapopulations composed of only two clusters and, posteriorly, for the general case in which there is an arbitrary number of clusters. These analytical results are illustrated through numerical simulations for four di erent types of coupling.

A proposta deste trabalho é analisar a influência exercida pela migração sobre a sincronização em metapopulações heterogêneas, modeladas como sistemas acoplados, discretos no tempo e no espaço. São apresentadas as condições que o sistema deve satisfazer para possibilitar a ocorrência da sincronização e um critério envolvendo o número de Lyapunov para decidir sobre a estabilidade do estado síncrono. O desenvolvimento de tais ideias é feito primeiro para metapopulações heterogêneas compostas por apenas dois agrupamentos e, posteriormente, para o caso geral em que há um número arbitrário de agrupamentos. Esses resultados analíticos são ilustrados através de simulações numéricas para quatro tipos distintos de acoplamento. / The purpose of this study is to analyze the in uence of migration on synchronization in heterogeneous metapopulations, modeled as coupled systems, discrete in time and space. The conditions that the system must satisfy to allow the occurrence of synchronization and a criterion involving Lyapunov s number are presented to decide on the stability of the synchronous state. The development of such ideas is done rst for heterogeneous metapopulations composed of only two clusters and, posteriorly, for the general case in which there is an arbitrary number of clusters. These analytical results are illustrated through numerical simulations for four di erent types of coupling.

O desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas para Web se baseia na definição e especificação de relações entre objetos advindos de diversas mídias, que possuem requisitos específicos de desempenho, estando ainda sujeitos à atrasos randômicos durante sua transmissão. Neste sentido, foram definidos modelos para especificação de sincronismo que têm por objetivo estruturar a ordenação destas aplicações de maneira a executar as relações definidas pelo autor quando da exibição coerente no destino. Este trabalho realiza um estudo dos principais modelos utilizados no desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas, principalmente relacionando-se ao ambiente Web. Desta forma, tornando possível identificar características, vantagens e desvantagens de seus usos, bem como verificar que o Modelo de Expressões Intervalares é adequado a este trabalho, embora ainda apresente algumas deficiências no controle de mídias e interações do usuário. Finalmente, visando solucionar as deficiências encontradas no Modelo de Expressões Intervalares, foi desenvolvida uma proposta de extensão para o mesmo. Ela consiste na criação de um controlador para a interação do usuário e para a manipulação de mídias, chamado mídia invisível; e na definição do operador Sinc-Point, que proporciona ao autor maior flexibilidade na definição da sincronização. Esta proposta apresenta as seguintes vantagens: possibilita ao autor criar sincronizações do tipo “overlaps”, que baseia o disparo de uma mídia durante a apresentação de outra; possibilita ao autor realizar um controle sobre o intervalo para a interação do usuário e para a apresentação de mídias; mantém a consistência da apresentação; não acarreta muitas mudanças no modelo original.

O desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas para Web se baseia na definição e especificação de relações entre objetos advindos de diversas mídias, que possuem requisitos específicos de desempenho, estando ainda sujeitos à atrasos randômicos durante sua transmissão. Neste sentido, foram definidos modelos para especificação de sincronismo que têm por objetivo estruturar a ordenação destas aplicações de maneira a executar as relações definidas pelo autor quando da exibição coerente no destino. Este trabalho realiza um estudo dos principais modelos utilizados no desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas, principalmente relacionando-se ao ambiente Web. Desta forma, tornando possível identificar características, vantagens e desvantagens de seus usos, bem como verificar que o Modelo de Expressões Intervalares é adequado a este trabalho, embora ainda apresente algumas deficiências no controle de mídias e interações do usuário. Finalmente, visando solucionar as deficiências encontradas no Modelo de Expressões Intervalares, foi desenvolvida uma proposta de extensão para o mesmo. Ela consiste na criação de um controlador para a interação do usuário e para a manipulação de mídias, chamado mídia invisível; e na definição do operador Sinc-Point, que proporciona ao autor maior flexibilidade na definição da sincronização. Esta proposta apresenta as seguintes vantagens: possibilita ao autor criar sincronizações do tipo “overlaps”, que baseia o disparo de uma mídia durante a apresentação de outra; possibilita ao autor realizar um controle sobre o intervalo para a interação do usuário e para a apresentação de mídias; mantém a consistência da apresentação; não acarreta muitas mudanças no modelo original.

O desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas para Web se baseia na definição e especificação de relações entre objetos advindos de diversas mídias, que possuem requisitos específicos de desempenho, estando ainda sujeitos à atrasos randômicos durante sua transmissão. Neste sentido, foram definidos modelos para especificação de sincronismo que têm por objetivo estruturar a ordenação destas aplicações de maneira a executar as relações definidas pelo autor quando da exibição coerente no destino. Este trabalho realiza um estudo dos principais modelos utilizados no desenvolvimento de apresentações multimídia sincronizadas, principalmente relacionando-se ao ambiente Web. Desta forma, tornando possível identificar características, vantagens e desvantagens de seus usos, bem como verificar que o Modelo de Expressões Intervalares é adequado a este trabalho, embora ainda apresente algumas deficiências no controle de mídias e interações do usuário. Finalmente, visando solucionar as deficiências encontradas no Modelo de Expressões Intervalares, foi desenvolvida uma proposta de extensão para o mesmo. Ela consiste na criação de um controlador para a interação do usuário e para a manipulação de mídias, chamado mídia invisível; e na definição do operador Sinc-Point, que proporciona ao autor maior flexibilidade na definição da sincronização. Esta proposta apresenta as seguintes vantagens: possibilita ao autor criar sincronizações do tipo “overlaps”, que baseia o disparo de uma mídia durante a apresentação de outra; possibilita ao autor realizar um controle sobre o intervalo para a interação do usuário e para a apresentação de mídias; mantém a consistência da apresentação; não acarreta muitas mudanças no modelo original.

Este trabalho versara sobre dinâmicas populacionais. Nesse contexto, a população é dita metapopulação. Essa e descrita como um conjunto discreto de fragmentos de habitats, denominados sítios, os quais, supostamente, apresentam condições ideais para reprodução e sobrevivência dos indivíduos. Considere-se inicialmente uma Única espécie, distribuída em n sítios, formando uma metapopulação. A cada geração, os indivíduos passam por dois processos distintos: a dinâmica local, composta pelos processos de reprodução e sobrevivência, e a migração. Tendo ocorrido a dinâmica local, dá-se inicio ao processo migratório. Desta forma, os indivíduos de um dado sitio j podem deslocar-se para outro sitio i, de acordo com a topologia da rede. Neste trabalho, optou-se por utilizar uma topologia obtida através de uma combinação convexa de dois anéis cíclicos, um de conexão global e outro de conexão local. Com esse aumento na conectividade entre os sítios, surge o que, biologicamente, e chamado de corredor. Os corredores são faixas de terra que facilitam a movimentação das espécies entre áreas fragmentadas, porem o seu use e sua eficácia geram ainda muitas divergências entre os - pesquisadores, pois não existem estudos totalmente conclusivos sobre seus resultados. Facilitando a viabilidade dos indivíduos entre os sítios, e possível aumentar a migração e com isso dar inicio ao processo de sincronização. A certificação desse fenômeno em uma metapopulação feita através do calculo do Número de Lyapunov Transversal, que esta relacionado com movimentação das espécies entre os sítios. Neste trabalho, procurou-se analisar a influencia da migração, sendo ela independente ou dependente da densidade populacional juntamente com a topologia da rede escolhida, na obtenção ou não da sincronização. / This work deals with dynamics of populations. In this context the population is named metapopulation. Metapopulation is a discrete set of habitat fragments, which we call patches, and we assume they present ideal conditions for the individuals to breed and survive. We will consider initially a unique species, distributed in n patches, which constitutes a metapopulation. In each generation the individuals pass through two different processes: one is the local dynamics, composed by the reproduction and the survival, and the other, migration process. When the local dynamics occurred, the migratory process begins, so that the individuals of a given patch can move to another patch, following the net topology. In this work we decided to use a topology obtained by a convex combination of two cyclic rings, one of them with global connection and the other with local one. Through this enlargement of connectivity between the patches, it appears what, biologically is named corridor. The corridors are land strips that facilitate species movimentation between fragmentated areas, but the researchers do not totally agree about corridors, since the studies of their availabity are not conclusive. If we ease the passage of the individuals between the patches, it is possible to improve the migration, and then to start a synchronization process. The certification of that phenomenon in a metapopulation is performed by the computation of Transversal Liapunov Number, which is related to the movement of the species between the patches. In this work we also aim to analyze how the migration influences the synchronization when it is either density-dependent or density-independent of the population, taken into account the chosen net topology.

Neste trabalho analisamos os efeitos causados pela migração dependente da densidade em metapopulações, modelada como um sistema de n sítios discretos no tempo e no espaço. A análise é feita em diferentes funções que descrevem a dinâmica local do sistema e, para configuração da rede, trabalhamos com anéis cíclicos. Este trabalho trata de dois estudos: a instabilidade de Turing e a sincronização entre os sítios. A análise da instabilidade de Turing é feita comparando o comportamento do modelo local com o modelo acoplado, numa rede cuja matriz de interação é simétrica. Neste estudo foi considerado que o modelo de um único sítio (desaco- plado) é estável, portanto toda instabilidade é decorrente da migração. Além disso, comparamos a região de estabilidade do modelo localmente conectado, com a região de estabilidade do modelo globalmente conectado, concluindo que quando a conexão é maior, o sistema tem uma região maior de estabilidade.A ¯m de determinar para quais par^ametros a migração além de tornar o sistema instável, gera oscilações caóticas, calculamos numericamente os expoentes de Lyapunov. Este cálculo foi feito para vários números de sítios, comparando: o modelo globalmente conectado com o modelo localmente conectado; modelos com diferentes taxas de migração máxima; o modelo onde a migração ocorre por escassez de parceiros (dispersão dependente da densidade negativa) com o modelo onde a migração ocorre por excesso de indivíduos no sítio (dispersão dependente da densidade positiva); e o modelo onde a taxa de reprodução do modelo desacoplado é maior que 1 com o modelo onde a taxa de reprodução do modelo desacoplado é menor que 1. Na segunda parte estudamos a estabilidade do estado síncrono, que está fortemente correlacionada com a extinção. Pensando em estudar os fatores que levam a população µa extinção, obtemos um critério de estabilidade do estado síncrono. Este critério é baseado no cálculo do número de Lyapunov Transversal dos atratores no subespaço invariante de sincronia. Fizemos algumas simulações numéricas, assim como feito para a instabilidade de Turing comparando: o modelo globalmente conectado com o modelo localmente conectado; o modelo onde a migração ocorre por escassez de parceiros com o modelo onde a migração ocorre por excesso de indivíduos no sítio e para diferentes valores na taxa de reprodução do modelo de um único sítio (desacoplado). / In this study we analyse the e®ects caused by density-dependent disper- sal on metapopulations which are modelled as a discrete dynamical system in time and space. The analysis is done using di®erent functional formulations describing the local dynamics while the network con¯guration used is of a circular type. Two di®erent problems are studied: the Turing instability and the stability of synchroni- zed trajectories. The Turing instability analysis is done comparing the local model behavior with the coupled map lattice with symmetric interactions.We assume the single patch model to be stable, thus any observed instability is caused by the dis- persal between patches. Moreover we compare the stability region of a network where the connections are only between the two nearest neighbors sites with glo- bally connected ensembles, and we conclude that the stability region increases when there are more connections between patches. We also computed the Lyapunov ex- ponents of the metapopulation system in order to detect the presence of chaotic dynamics caused by the densitydependent migration. This numerical calculations were performed for various values of n (number of sites), comparing the two nea- rest neighbors topology with the globally connected interaction system, comparing the migration process that occurs because of lack sexual partners (negative density- dependent dispersal) with the dispersal caused by overpopulated patches (positive density-dependent dispersal), and also comparing metapopulations where the local model presents an intrinsic reproductive rate larger than one with systems where the local dynamics are driven by models with intrinsic reproductive rate less than one. In the second part we study the stability of synchronized attractors. This is important since synchronization is closely related to the possibility of the metapopulation extinction. We obtained a stability criterion for synchronized at- tractors. This criterion is based on the computation of the Transversal Lyapunovnumber of attractors within the synchronized invariant manifold. We performed nu- merical simulations as done for the Turing instability study, comparing models with di®erent connection schemes, positive and negative density-dependent dispersal and local models with di®erent behaviors with respect to the intrinsic reproductive rate.

Como os assuntos relacionados à extinção de espécies e conservação da biodiversidade são de grande importância, devemos concentrar-nos em ações que visem a sua manutenção e perpetuação. Para isso, o trabalho propõe-se a estudar quais são as condições para que ocorra o fenômeno da sincronização causado pela migração, já que o risco de extinção de uma espécie pode aumentar quando temos sincronização no sistema. Neste sentido, obteremos um critério para a estabilidade do estado sincronizado sob determinadas condições. Como podemos modelar a migração dependente ou independente da densidade, primeiramente faremos um breve estudo sobre a migração dependente da densidade e veremos resultados recentes sobre a dinâmica de metapopulações. Em uma segunda etapa, iremos focar a migração independente da densidade. Para tal, supomos o processo migratório obedecendo à dinâmica sazonal. Admitimos inicialmente a partida de indivíduos através da fração migratória com dependência temporal e, após, consideramos uma fração constante, migrando conforme a distribuição dependente do tempo, representando a chegada. Para o desenvolvimento deste estudo, iremos modelar um sistema de n sítios discretos no tempo e no espaço, considerando a con guração da rede na forma unidimensional (anéis cíclicos) e a matriz de interação simétrica. / As the issues related to the species extinction and biodiversity are very important, we have to concentrate on actions that lead to their maintenance and perpetuation. My aim is to study the conditions which create the synchronization phenomenon caused by migration, having in mind that a species extinction risk may increase if there is synchronization in the system. In this sense, we are going to establish a criterion for the synchronized state's stability grounded on determined conditions. As we can pattern migration dependent or not on density, rst, we will brie y study the migration that depends on density. Then recent results about met populations dynamic will be obtained. On a second moment, the focus will be on migration independent on density. With this purpose, we suppose that the migration process is lead by a seasonal dynamic. At rst, we report us to the individuals departure throughout the migration fraction with temporal dependence. After, a constant fraction will be considered, migrating according to the distribution depended on time. It represents the arrival. In the development of this study, a system of n patches which are time and space bounded will be patterned. Thus, the net con guration on a one-dimensional shape (cyclical rings) and the symmetric interaction matrix will be considered.