Abstract The use of 3D imaging of craniofacial soft tissue has increased in medical science, and imaging technology has been developed greatly in recent years. 3D models are quite accurate and with imaging devices based on stereophotogrammetry, capturing the data is a quick and easy operation for the subject. However, analyzing 3D models of the face or head can be challenging and there is a growing need for efficient quantitative methods. In this thesis, new mathematical methods and tools for measuring craniofacial structures are developed. The thesis is divided into three parts. In the first part, facial 3D data of Lithuanian twins are used for the determination of zygosity. Statistical pattern recognition methodology is used for classification and the results are compared with DNA testing. In the second part of the thesis, the distribution of surface normal vector directions of a 3D infant head model is used to analyze skull deformation. The level of flatness and asymmetry are quantified by functionals of the kernel density estimate of the normal vector directions. Using 3D models from infants at the age of three months and clinical ratings made by experts, this novel method is compared with some previously suggested approaches. The method is also applied to clinical longitudinal research in which 3D images from three different time points are analyzed to find the course of positional cranial deformation and associated risk factors. The final part of the thesis introduces a novel statistical scale space method, SphereSiZer, for exploring the structures of a probability density function defined on the unit sphere. The tools developed in the second part are used for the implementation of SphereSiZer. In SphereSiZer, the scale-dependent features of the density are visualized by projecting the statistically significant gradients onto a planar contour plot of the density function. The method is tested by analyzing samples of surface unit normal vector data of an infant head as well as data from generated simulated spherical densities. The results and examples of the study show that the proposed novel methods perform well. The methods can be extended and developed in further studies. Cranial and facial 3D models will offer many opportunities for the development of new and sophisticated analytical methods in the future. / Tiivistelmä Pään ja kasvojen pehmytkudoksen 3D-kuvantaminen on yleistynyt lääketieteessä, ja siihen tarvittava teknologia on kehittynyt huomattavasti viime vuosina. 3D-mallit ovat melko tarkkoja, ja kuvaus stereofotogrammetriaan perustuvalla laitteella on nopea ja helppo tilanne kuvattavalle. Kasvojen ja pään 3D-mallien analysointi voi kuitenkin olla haastavaa, ja tarve tehokkaille kvantitatiivisille menetelmille on kasvanut. Tässä väitöskirjassa kehitetään uusia matemaattisia kraniofakiaalisten rakenteiden mittausmenetelmiä ja -työkaluja. Työ on jaettu kolmeen osaan. Ensimmäisessä osassa pyritään määrittämään liettualaisten kaksosten tsygositeetti kasvojen 3D-datan perusteella. Luokituksessa hyödynnetään tilastollista hahmontunnistusta, ja tuloksia verrataan DNA-testituloksiin. Toisessa osassa analysoidaan pään epämuodostumia imeväisikäisten päiden 3D-kuvista laskettujen pintanormaalivektorien suuntiin perustuvan jakauman avulla. Tasaisuuden ja epäsymmetrian määrää mitataan normaalivektorien suuntakulmien ydinestimaatin funktionaalien avulla. Kehitettyä menetelmää verrataan joihinkin aiemmin ehdotettuihin lähestymistapoihin mittaamalla kolmen kuukauden ikäisten imeväisten 3D-malleja ja tarkastelemalla asiantuntijoiden tekemiä kliinisiä pisteytyksiä. Menetelmää sovelletaan myös kliiniseen pitkittäistutkimukseen, jossa tutkitaan pään epämuodostumien ja niihin liittyvien riskitekijöiden kehitystä kolmena eri ajankohtana otettujen 3D-kuvien perusteella. Viimeisessä osassa esitellään uusi tilastollinen skaala-avaruusmenetelmä SphereSiZer, jolla tutkitaan yksikköpallon tiheysfunktion rakenteita. Toisessa osassa kehitettyjä työkaluja sovelletaan SphereSiZerin toteutukseen. SphereSiZer-menetelmässä tiheysfunktion eri skaalojen piirteet visualisoidaan projisoimalla tilastollisesti merkitsevät gradientit tiheysfunktiota kuvaavalle isoviivakartalle. Menetelmää sovelletaan imeväisikäisen pään pintanormaalivektoridataan ja simuloituihin, pallotiheysfunktioihin perustuviin otoksiin. Tulosten ja esimerkkien perusteella väitöskirjassa esitetyt uudet menetelmät toimivat hyvin. Menetelmiä voidaan myös kehittää edelleen ja laajentaa jatkotutkimuksissa. Pään ja kasvojen 3D-mallit tarjoavat paljon mahdollisuuksia uusien ja laadukkaiden analyysityökalujen kehitykseen myöhemmissä tutkimuksissa.