Un logiciel pour les solutions formelles d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 au voisinage de points singuliers est présenté. Pour les équations d'ordre quelconque on donne une version modifiée de l'algorithme de newton. Un algorithme permettant d'obtenir une base de solutions asymptotiques d'une équation récurrente linéaire à coefficients polynomiaux est ensuite présenté. Ceci mène à l'étude des systèmes linéaires aux différences à coefficients séries de factorielles

Cette thèse a pour objet d'étudier l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. Nous construisons d'abord une solution formelle à coefficients polynomiaux. Ensuite, nous donnons une approximation asymptotique des coefficients de la solution formelle. Ces estimations nous permettent d'obtenir une quasi-solution c'est à dire une fonction qui vérifie l'équation aux différences avec une erreur exponentiellement petite, puis de déterminer le comportement asymptotique de la distance entre les deux variétés. Pour conclure, nous démontrons qu'une constante alpha dans le terme dominant de la distance entre les variétés n'est pas nulle et nous donnons une approximation précise de cette constante. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation (Application standard). Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al., mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente. Ce cas est plus difficile que le précédent parce qu'il s'agit d'une équation du second ordre.

Le travail présente dans cette thèse est un travail algorithmique portant sur deux sujets: solutions formelles des systèmes d'équations différentielles linéaires ordinaires dépendant (ou pas) d'un paramètre et opérations fondamentales pour les opérateurs différentiels. Dans la première partie: nous avons démontre la convergence d'un algorithme et développe un programme en macsyma pour le calcul de la forme de Frobenius et Jordan de matrices holomorphes. Nous avons aussi développé un algorithme et un programme en macsyma pour le calcul de formes de Arnold-Wasow de matrices et systèmes différentiels dépendant d'un paramètre. Grâce a ces algorithmes, l'algorithme de Turrittin-Wasow est adapte au calcul formel pour trouver les solutions formelles de systemes differentiels dépendant d'un paramétré. Nous avons developpe un programme en macsyma pour le calcul de solutions formelles de systèmes différentiels dans un voisinage du point singulier régulier. Dans la deuxième partie: nous avons développe des algorithmes pour des opérations fondamentales sur deux opérateurs différentiels: le plus grand commun diviseur, le plus petit commun multiples, l'algorithme de Bezout, le pseudo-résultant. Nous avons aussi étudie une généralisation directe de la notion de base de Grobner dans l'anneau des opérateurs différentiels a coefficients polynomiaux, i.e. L'algèbre de Weyl