Résumé : Ce mémoire porte sur l’étude de la complexité du problème du décodage des codes stabilisateurs quantiques. Les trois premiers chapitres introduisent les notions nécessaires pour comprendre notre résultat principal. D’abord, nous rappelons les bases de la théorie de la complexité et illustrons les concepts qui s’y rattachent à l’aide d’exemples tirés de la physique. Ensuite, nous expliquons le problème du décodage des codes correcteurs classiques. Nous considérons les codes linéaires sur le canal binaire symétrique et nous discutons du célèbre résultat de McEliece et al. [1]. Dans le troisième chapitre, nous étudions le problème de la communication quantique sur des canaux de Pauli. Dans ce chapitre, nous introduisons le formalisme des codes stabilisateurs pour étudier la correction d’erreur quantique et mettons en évidence le concept de dégénérescence. Le problème de décodage des codes stabilisateurs quantiques négligeant la dégénérescence est appelé «quantum maximum likelihood decoding»(QMLD). Il a été démontré que ce problème est NP-complet par Min Hseiu Heish et al., dans [2]. Nous nous concentrons sur la stratégie optimale de décodage, appelée «degenerate quantum maximum likelihood decoding »(DQMLD), qui prend en compte la présence de la dégénérescence et nous mettons en évidence quelques instances pour lesquelles les performances de ces deux méthodes diffèrent drastiquement. La contribution principale de ce mémoire est de prouver que DQMLD est considérablement plus difficile que ce que les résultats précédents indiquaient. Dans le dernier chapitre, nous présentons notre résultat principal (Thm. 5.1.1), établissant que DQMLD est #P-complet. Pour le prouver, nous démontrons que le problème de l’évaluation de l’énumérateur de poids d’un code linéaire, qui est #P-complet, se réduit au problème DQMLD. Le résultat principal de ce mémoire est présenté sous forme d’article dans [3] et est présentement considéré pour publication dans IEEE Transactions on Information Theory. Nous montrons également que, sous certaines conditions, les résultats de QMLD et DQMLD coïncident. Il s’agit d’une amélioration par rapport aux résultats obtenus dans [4, 5]. // Abstract : This thesis deals with the study of computational complexity of decoding stabilizer codes. The first three chapters contain all the necessary background to understand the main result of this thesis. First, we explain the necessary notions in computational complexity, introducing P, NP, #P classes of problems, along with some examples intended for physicists. Then, we explain the decoding problem in classical error correction, for linear codes on the binary symmetric channel and discuss the celebrated result of Mcleicee et al., in [1]. In the third chapter, we study the problem of quantum communication, over Pauli channels. Here, using the stabilizer formalism, we discuss the concept of degenerate errors. The decoding problem for stabilizer codes, which simply neglects the presence of degenerate errors, is called quantum maximum likelihood decoding (QMLD) and it was shown to be NP-complete, by Min Hseiu Heish et al., in [2]. We focus on the problem of optimal decoding, called degenerate quantum maximum likelihood decoding (DQMLD), which accounts for the presence of degenerate errors. We will highlight some instances of stabilizer codes, where the presence of degenerate errors causes drastic variations between the performances of DQMLD and QMLD. The main contribution of this thesis is to demonstrate that the optimal decoding problem for stabilizer codes is much harder than what the previous results had anticipated. In the last chapter, we present our own result (in Thm. 5.1.1), establishing that the optimal decoding problem for stabilizer codes, is #P-complete. To prove this, we demonstrate that the problem of evaluating the weight enumerator of a binary linear code, which is #P-complete, can be reduced (in polynomial time) to the DQMLD problem, see (Sec. 5.1). Our principal result is also presented as an article in [3], which is currently under review for publication in IEEE Transactions on Information Theory. In addition to the main result, we also show that under certain conditions, the outputs of DQMLD and QMLD always agree. We consider the conditions developed by us to be an improvement over the ones in [4, 5].

Le développement de qubits quantiques robustes représente un défi technologique de taille. Malgré plus d'une décennie de progrès et de percées, nous sommes toujours à la recherche du candidat idéal. La difficulté réside dans la nécessité de respecter une panoplie de critères stricts: on doit pouvoir préparer et mesurer les qubits rapidement et de manière fiable, préserver leur état pour de longs temps, appliquer avec précision un continuum de transformations, les coupler les uns aux autres, en entasser des milliers, voire des millions sur un seul dispositif, etc. Parallèlement à ces recherches, un autre groupe de scientifiques travaillent plutôt à l'élaboration de l'architecture permettant d'opérer ces qubits. Cette architecture inclut une couche logicielle de base dont l'étude constitue le domaine du calcul tolérant aux fautes: en encodant l'information dans des qubits logiques à l'aide des qubits physiques disponibles, il est possible d'obtenir un dispositif quantique dont les propriétés effectives sont supérieures à celles des composantes physiques sous-jacentes. En contrepartie, une surcharge doit être payée. Celle-ci peut être interprétée comme une forme de redondance dans l'information. De plus, les portes logiques applicables aux qubits encodés sont souvent trop limitées pour être utiles. La recherche dans ce domaine vise souvent à limiter la surcharge et à étendre l'ensemble des opérations applicables. Cette thèse présente les travaux que j'ai publiés avec mes collaborateurs durant mes études de doctorat. Ceux-ci touchent deux aspects importants du calcul tolérant aux fautes: l'élaboration de protocoles de calcul universel et la conception et l'étude d'algorithmes de décodage de codes topologiques stabilisateurs. Concernant l'élaboration de protocoles de calcul universel, j'ai développé avec l'aide de Krysta Svore chez Microsoft Research une nouvelle famille d'états ressources (Chapitre 2). Celle-ci permet, par l'injection d'états, d'effectuer une opération unitaire arbitraire à un qubit à un coût plus faible que les méthodes existant à ce moment. Plus tard, j'ai poursuivi ces travaux avec David Poulin pour élaborer une autre famille d'états ressources qui diminuent encore davantage les coûts de compilation de diverses portes unitaires à un qubit (Chapitre 3). Finalement, Jonas Anderson, David Poulin et moi avons montré comment il est possible de passer de manière tolérante aux fautes d'un encodage à un autre (Chapitre 4). Cette approche est qualitativement différente, car elle fournit un ensemble universel de portes sans passer par l'injection d'états. Durant mon doctorat, j'ai aussi généralisé de plusieurs manières la méthode de décodage par renormalisation du code topologique de Kitaev que j'ai développée au cours de ma maîtrise. Tout d'abord, j'ai collaboré avec Héctor Bombin et David Poulin dans le but de montrer que tous les codes topologiques stabilisateurs invariants sous translation sont équivalents, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à la même phase topologique (Chapitre 5). Ce résultat m'a aussi permis d'adapter mon décodeur aux codes topologiques de couleurs stabilisateurs et à sous-systèmes. Puis, je l'ai adapté à une généralisation du code topologique de Kitaev sur des qudits (Chapitre 6). Ensuite, je l'ai généralisé au cas tolérant aux fautes, où les erreurs dans les mesures du syndrome sont prises en compte (Chapitre 7). Finalement, je l'ai appliqué à un nouveau code élaboré par Sergey Bravyi, le code de surface à sous-systèmes (Chapitre 8).

Depuis une vingtaine d'années, les grands réseaux électriques se trouvent obligés de fonctionner à pleine puissance et souvent aux limites de la stabilité. L'amélioration de la stabilité aux petites perturbations, en particulier l'amortissement des oscillations interrégionales, est donc devenue un objectif prioritaire. Les interactions entre les générateurs de différentes régions et les régulateurs utilisés nécessitent une optimisation globale de leurs performances : c'est le meilleur moyen pour assurer le comportement optimal de l'ensemble. L'objectif de ce travail est d'assurer un amortissement maximum, aussi bien des modes interrégionaux que des modes locaux, à l'aide des stabilisateurs de puissance (PSS) généralement utilisés pour l'amortissement des modes électromécaniques locaux. Pour ce faire, nous avons développé une méthode d'optimisation globale basée sur les algorithmes génétiques et une fonction multiobjectif déterminée à partir de l'analyse des valeurs propres du système. Nous avons analysé l'influence de l'augmentation progressive du nombre de variables à optimiser simultanément (paramètres, emplacement et nombre des PSSs). La méthode que nous proposons permet un réglage optimal des PSSs avec le meilleur emplacement possible et un nombre réduit de PSSs. Nous avons proposé en outre une nouvelle méthode d'optimisation utilisant des contraintes dynamiques adaptatives de l'espace de recherche afin d'améliorer les performances et la rapidité de convergence de cet algorithme. Les performances de ces méthodes d'optimisation ont été évaluées sur le réseau multimachines interconnecté New England / New York par analyse des valeurs propres du modèle linéaire du système et simulations temporelles du modèle non-linéaire originel.

On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent. / Quantum information is a developping field of study with various applications (in cryptography, fast computing, ...). Its basic element, the qubit, is volatile : any measurement changes its value. This also applies to unvolontary measurements due to an imperfect insulation (as seen in any practical setting). Unless we can detect and correct these modifications, any quantum computation is bound to fail. These unwanted modifications remind us of errors that can happen in the transmission of a (classical) message. These errors can be accounted for with an error-Correcting code. For quantum errors, we need to set quantum error-Correcting codes. In order to prevent the clotting of errors that cannot be compensated, these quantum error-Correcting codes need to be both efficient and fast. Among classical error-Correcting codes, Low Density Parity Check (LDPC) codes provide many perks: They are easy to create, fast to decode (with an iterative decoding algorithme, known as belief propagation) and close to optimal. Their quantum equivalents should then be good candidates, even if they present two major drawbacks (among other less important ones). A quantum error correction code can be seen as a combination of two classical codes, with orthogonal parity-Check matrices. The first issue is the building of two efficient codes with this property. The other is in the decoding: each row of the parity-Check matrix from one code gives a low-Weight codeword of the other code. In fact, with quantum codes, corresponding errors do no affect the system, but are difficult to account for with the usual iterative decoding algorithm. In the first place, this thesis studies an existing construction, based on the product of two classical codes. This construction has good theoritical properties (dimension and minimal distance), but has shown disappointing practical results, which are explained by the resulting code's structure. Several variations, which could have good theoritical properties are also analyzed but produce no usable results at this time. We then move to the study of q-Ary codes. This construction, derived from classical codes, is the enlargement of an existing LDPC code through the augmentation of its alphabet. It applies to any 2-Regular quantum code (meaning with parity-Check matrices that have exactly two ones per column) and gives good performance with the well-Known toric code, which can be easily decoded with its own specific algorithm (but not that easily with the usual belief-Propagation algorithm). Finally this thesis explores a quantum equivalent of spatially coupled codes, an idea also derived from the classical field, where it greatly enhances the performance of LDPC codes. A result which has been proven. If, in its quantum form, a proof is still not derived, some spatially-Coupled constructions have lead to excellent performance, well beyond other recent constuctions.