We consider a stochastic differential equation on a domain D in n-dimensional real space, where the associated dynamical system is linear, and D contains a repulsive type stationary point at the origin O. We obtain an exit law for the first exit time of the solution process from a ball of arbitrary radius centered at the origin, which involves additive scaling as in Day (1995). The form of the scaling constant is worked out and shown to depend on the structure of the Jordan form of the linear drift. We then obtain an extension of this exit law to the first exit time of the solution process from the general domain D by considering the exit in two stages: first from the origin O to the boundary of the ball, for which the aforementioned exit law applies, and then from the boundary of the ball to the boundary of D. In this way we are able to determine for which Jordan forms we can obtain a limiting distribution for the first exit time to the boundary of D as the noise approaches 0. In particular, we observe there are cases for which the exit time distribution diverges as the noise approaches 0. / Ph. D.

Experimentos nos quais uma ou mais variáveis respostas são influênciadas por diversos fatores quantitativos são bastante comuns nas áreas agrícola, química, biológica, dentre outras. Nesse caso, o problema de pesquisa consiste em se estudar essa relação, sendo de grande utilidade o uso da metodologia de superfícies de resposta (MSR). Nesse contexto, a determinação dos níveis dos fatores que otimizam a resposta consiste inicialmente na obtenção das coordenadas do ponto estacionário do modelo ajustado. No entanto, como o modelo verdadeiro é desconhecido, é interessante obter uma região de confiança das coordenadas verdadeiras de modo a avaliar a precisão da estimativa obtida. Foram abordados aqui os procedimentos para construção de regiões de confiança para as coordenadas do ponto estacionário em diferentes situações considerando-se a forma das superfícies analisadas e a distribuição e magnitude da variância dos erros do modelo. Foram utilizadas a metodologia de Box e Hunter (1954) (BH), "bootstrap" e "bootstrap" Bayesiano aliados ao cálculo da distância de Mahalanobis entre as coordenadas do ponto estacionários da amostra observada e aquelas obtidas por meio das estimativas "bootstrap"(BM e BBM), e métodos "bootstrap" e "bootstrap" Bayesiano aliados a métodos não paramétricos de estimação de funções densidade de probabilidade (BNP e BBNP). A avaliaçãoda metodologia foi realizada por meio de simulação e foi aplicada a um conjunto de dados de produção de amendoim. No estudo de simulação, a metodologia BH, baseada na distribuição normal dos erros, apresentou um bom desempenho em todas as situações analisadas, havendo concordância entre as regiões de confiança nominais e reais, mesmo naquelas em que essa distribuição é bastante assimétrica. Este mesmo comportamento foi observado para os métodos BM e BBM. No entanto, os métodos BNP e BBNP não apresentaram um desempenho satisfatório, resultando em um nível de significância real menor que o nominal para os autovalores com menor valor absoluto, gerando regiões de confiança maiores. No caso de autovalores com maior valor absoluto observou-se situação inversa. No caso da análise do conjunto de dados de amendoim os métodos BH, BM e BNP apresentaram regiões de confiança mais amplas comparativamente aos métodos BBM e BBNP. No entanto, os valores das estimativas do "bootstrap" Bayesiano são mais próximas das estimativas de mínimos quadrados e apresentam menor dispersão o que explica a menor área da região de confiança. / Experiments in which one or more response variables are influenced by several quantitative factors are very common in agricultural, chemistry, biology and other areas. In this case, the research question consists in studying this relation, being of great utility the use of response surface methodology (RSM). In this context determining the level of the factors that optimize the response consists finding the coordinates of the stationary point of the model. However, as the true model is unknown, it is of interest to obtain a confidence region of the true coordinates to analyze the precision of the obtained estimate. The procedures for the construction of confidence regions for the coordinates of the stationary point were studied in diferent situations, considering the shape of the surfaces analyzed and the distribution and magnitude of the variance errors. The methodology of Box and Hunter (1954) (BH), bootstrap and Bayesian bootstrap with Mahalanobis distance among the coordinates of the stationary point of the observed sample and those obtained using bootstrap estimates(BM and BBM) and bootstrap and Bayesian bootstrap with non-parametric methods for density estimation (BNP and BBNP) were compared. The methodology evaluation was realized by means of simulation and applied to a peanut yields data set. In simulation study the BH methodology, which is based in normal distribution of errors, presented a good performance in all of the analyzed situations, having concordance among the nominal and real confidence regions, even in those which this distribution is fairly asymmetric. This behavior was also observed in BM and BBM methods. The BNP and BBNP methods did not presented a satisfactory performance, resulting in a real significance level lower than the nominal for the eigenvalue with lower absolute value, generating bigger confidence regions. The inverse was observed using eigenvalue with higher absolute value. In the analysis of the peanut yields data set the BH, BM and BNP methods presented confidence regions larger than the BBM and BBNP methods. The Bayesian bootstrap estimate values are closer of the minimum square estimates and present less dispersion what explain the confidence region lower area.

Experimentos nos quais uma ou mais variáveis respostas são influênciadas por diversos fatores quantitativos são bastante comuns nas áreas agrícola, química, biológica, dentre outras. Nesse caso, o problema de pesquisa consiste em se estudar essa relação, sendo de grande utilidade o uso da metodologia de superfícies de resposta (MSR). Nesse contexto, a determinação dos níveis dos fatores que otimizam a resposta consiste inicialmente na obtenção das coordenadas do ponto estacionário do modelo ajustado. No entanto, como o modelo verdadeiro é desconhecido, é interessante obter uma região de confiança das coordenadas verdadeiras de modo a avaliar a precisão da estimativa obtida. Foram abordados aqui os procedimentos para construção de regiões de confiança para as coordenadas do ponto estacionário em diferentes situações considerando-se a forma das superfícies analisadas e a distribuição e magnitude da variância dos erros do modelo. Foram utilizadas a metodologia de Box e Hunter (1954) (BH), "bootstrap" e "bootstrap" Bayesiano aliados ao cálculo da distância de Mahalanobis entre as coordenadas do ponto estacionários da amostra observada e aquelas obtidas por meio das estimativas "bootstrap"(BM e BBM), e métodos "bootstrap" e "bootstrap" Bayesiano aliados a métodos não paramétricos de estimação de funções densidade de probabilidade (BNP e BBNP). A avaliaçãoda metodologia foi realizada por meio de simulação e foi aplicada a um conjunto de dados de produção de amendoim. No estudo de simulação, a metodologia BH, baseada na distribuição normal dos erros, apresentou um bom desempenho em todas as situações analisadas, havendo concordância entre as regiões de confiança nominais e reais, mesmo naquelas em que essa distribuição é bastante assimétrica. Este mesmo comportamento foi observado para os métodos BM e BBM. No entanto, os métodos BNP e BBNP não apresentaram um desempenho satisfatório, resultando em um nível de significância real menor que o nominal para os autovalores com menor valor absoluto, gerando regiões de confiança maiores. No caso de autovalores com maior valor absoluto observou-se situação inversa. No caso da análise do conjunto de dados de amendoim os métodos BH, BM e BNP apresentaram regiões de confiança mais amplas comparativamente aos métodos BBM e BBNP. No entanto, os valores das estimativas do "bootstrap" Bayesiano são mais próximas das estimativas de mínimos quadrados e apresentam menor dispersão o que explica a menor área da região de confiança. / Experiments in which one or more response variables are influenced by several quantitative factors are very common in agricultural, chemistry, biology and other areas. In this case, the research question consists in studying this relation, being of great utility the use of response surface methodology (RSM). In this context determining the level of the factors that optimize the response consists finding the coordinates of the stationary point of the model. However, as the true model is unknown, it is of interest to obtain a confidence region of the true coordinates to analyze the precision of the obtained estimate. The procedures for the construction of confidence regions for the coordinates of the stationary point were studied in diferent situations, considering the shape of the surfaces analyzed and the distribution and magnitude of the variance errors. The methodology of Box and Hunter (1954) (BH), bootstrap and Bayesian bootstrap with Mahalanobis distance among the coordinates of the stationary point of the observed sample and those obtained using bootstrap estimates(BM and BBM) and bootstrap and Bayesian bootstrap with non-parametric methods for density estimation (BNP and BBNP) were compared. The methodology evaluation was realized by means of simulation and applied to a peanut yields data set. In simulation study the BH methodology, which is based in normal distribution of errors, presented a good performance in all of the analyzed situations, having concordance among the nominal and real confidence regions, even in those which this distribution is fairly asymmetric. This behavior was also observed in BM and BBM methods. The BNP and BBNP methods did not presented a satisfactory performance, resulting in a real significance level lower than the nominal for the eigenvalue with lower absolute value, generating bigger confidence regions. The inverse was observed using eigenvalue with higher absolute value. In the analysis of the peanut yields data set the BH, BM and BNP methods presented confidence regions larger than the BBM and BBNP methods. The Bayesian bootstrap estimate values are closer of the minimum square estimates and present less dispersion what explain the confidence region lower area.

This thesis includes solving the basic examples of differential calculus (especially two and three variables). The work covers examples of the solutions of the domain, the first and second partial derivatives, determining the functions of local extremes (both explicitly and implicitly given) and find the equation of the tangent plane to a point in the graphs of functions. The examples are sorted by difficulty.