Magíster en Ciencias Matemáticas. / Sea k un cuerpo y sea Pn = PKn el espacio proyectivo de dimensión n sobre k. La única Inmersión P1 ,→ Pn asociada a un sistema lineal completo de divisores en P1 y cuya imagen no está contenida en un hiperplano, módulo cambio de coordenadas, es la inmersión de Veronese de grado n, denotada νn. Su imagen νn(P1) es llamada curva racional normal de grado n. Dado un subespacio lineal W ∈ G(n − 2, n) consideremos la proyección π W : Pn → K P1 concentro W. La composición π = π W ◦ νn : P1 → P1 resulta ser un morfismo sobreyectivo. Diremos que W es un sub espacio de Galois para νn si π es un cubrimiento de Galois. Lo que se hará en este trabajo es caracterizar a todos los subespacios de Galois para la inmersión de Veronese νn. Se dará una descripción de estos subespacios como una unión disjunta de subvariedades localmente cerradas en el Grassmanniano G(n − 2, n). / CONICYT Beca de Magíster Nacional, Proyecto anillo CONICYT PIA ACT1415.

En esta memoria se estudian básicamente dos tipos de operadores lineales: las aplicaciones separadoras y las isometrías.En el caso de las aplicaciones separadoras se analiza su continuidad automática en dos contextos: los espacios de funciones continuasy las álgebras de grupos localmante compactos y Abelianos. En ambos casos se representan las aplicaciones separadoras como aplicaciones composición con un peso.Por lo que respecta a las isometrías, su estudio se centra en su posible representación cuando están definidas sobre subespacios de funciones continuas.Se caracterizan los subespacios más pequeños sobre los que dicha representación es posible. Finalmente, se analizan las isometrías cuyo rango tiene codimensión finita.

En este trabajo se ha estudiado la posibilidad de usar algunas t ecnicas de reducci on para lograr una simulaci on m as e ciente del ujo subterr aneo en los acu feros contenidos en modelos de uso conjunto. As , el principal enfoque de esta investigaci on ha sido relacionar la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero con las caracter sticas del modelo reducido para encontrar los efectos de dicha parametrizaci on sobre la e ciencia de la reducci on. La primera metodolog a propuesta, denominada M etodo de los AutoValores con Compresi on Selectiva y Enmascaramiento Modal (MAV-CSEM), puede reducir dram aticamente el tama~no de un modelo de ujo subterr aneo, aumentando la e ciencia de su ejecuci on y disminuyendo la memoria virtual requerida. A efectos pr acticos, el MAV-CSEM utiliza los siguiente conceptos novedosos: (i ) modos efectivos, (ii ) modos residuales, (iii ) l mite de participaci on modal, (iv ) m ascara de estados efectivos y (v) nivel de continuidad. Este marco conceptual no solamente ayuda a identi car los modos que m as contribuyen a la respuesta del acu fero por causa de las excitaciones externas, sino que tambi en ayuda a lograr una simulaci on m as r apida del ujo en el acu fero que la obtenida por el MAV cl asico. La principal ventaja del MAV-CSEM es que, aumentando el n umero de celdas del modelo, se puede considerar m as detalladamente la variabilidad espacial de los par ametros hidr aulicos del acu fero en la modelaci on del ujo subterr aneo, sin que la e ciencia computacional de las simulaciones se vea considerablemente afectada, especialmente cuando dicho acu fero forma parte del modelo de un sistema de uso conjunto. El MAV-CSEM ha sido probado en acu feros rectangulares homog eneos simples. Los resultados obtenidos tienen un comportamiento similar a los simulados usando el MAV cl asico o las Diferencias Finitas (DF), pero la simulaci on es mucho m as e ciente. Se ha efectuado un an alisis de sensibilidad del impacto de cambiar la parametrizaci on de las condiciones de contorno tipo r o, en funci on de la conductancia del lecho, sobre algunos par ametros de control del acu fero como las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los caudales de intercambio r o-acu fero. De los resultados de dicho an alisis se concluye que, al disminuir la conductancia del r o, se mejora el comportamiento del MAV-CSEM por que se necesitan menos modos para obtener resultados con ables en las variables antes mencionadas. El MAV-CSEM permite desarrollar criterios de base f sica para generar modos efectivos m as e cientemente, para remover los modos residuales y para construir las m ascaras de estados efectivos que aceleran la ejecuci on de las simulaciones. En base a estas ideas, se han propuesto algoritmos para generar los modos efectivos y con gurar las m ascaras de estados efectivos. Estos algoritmos se basan en m etodos iterativos para resolver Problemas Generalizados de AutoValores Sim etricos y Dispersos (PGAVSD), combin andolos con ndices de base f sica que permiten evaluar la efectividad de un modo generado y detener la secuencia de generaci on modal. La detecci on de los modos efectivos se ha basado en la evaluaci on de sus coe cientes de reparto, compar andolos con el l mite de participaci on modal impuesto. La parada de la generaci on de los modos efectivos ha sido evaluada calculando los coe cientes de reparto acumulados modales y compar andolos con el nivel de conservaci on impuesto sobre el modelo reducido. Las ventajas de incluir dichos criterios en la resoluci on de un PGAVSD son: (i ) se evita la ejecuci on de operaciones innecesarias, (ii ) se preserva la ecuaci on de continuidad para el volumen que entra al acu fero proveniente de las acciones exteriores de forma relativamente adecuada y (iii ) al usar algoritmos iterativos basados en el producto matriz-vector disperso para resolver PGAVSD, se mantiene la estructura dispersa de las matrices que componen el modelo de ujo, la cual se puede usar para ahorrar operaciones computacionales y disminuir el almacenamiento requerido en las simulaciones. En este trabajo se han implementado dos generadores dispersos de modos efectivos. El primero de ellos est a basado en una modi caci on de la iteraci on de gradiente conjugado con de aci on que usa precondicionamiento ILU para acelerar las iteraciones vectoriales y minimizar el cociente de Rayleigh. La antes mencionada generaci on vectorial ha probado ser muy e ciente cuando es necesario calcular una peque~na cantidad de los modos asociados a los autovalores de menor magnitud. El algoritmo genera cada modo, calcula sus coe cientes de reparto para veri car si dicho modo es efectivo, eval ua los coe cientes de reparto acumulados y veri ca el criterio de parada para nalizar la generaci on. El segundo generador de modos efectivos est a basado en la iteraci on racional de Lanczos con reinicio expl cito y reortogonalizaci on parcial para calcular secuencialmente subconjuntos de modos. El reinicio expl cito aplica una de aci on sobre un nuevo vector inicial de Lanczos para prevenir la convergencia a uno de los autovectores previamente disponibles. Una vez que cada reinicio ha construido otro conjunto de modos, el generador calcula los coe cientes de reparto de cada nuevo modo para detectar cuales de estos son efectivos. El proceso se repite para todos los nuevos modos. Posteriormente, se calculan los coe cientes de reparto acumulados y el generador revisa si se ha alcanzado el criterio de parada de la generaci on para todas las acciones exteriores. Si dicho criterio no ha sido alcanzado, se efect ua un nuevo reinicio imponiendo un desplazamiento espectral conveniente para mejorar la convergencia modal. Los resultados de muchos experimentos num ericos efectuados han demostrado que el generador racional de Lanczos es muy e ciente, incluso para modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no donde el dominio espacial del acu fero ha sido discretizado usando decenas de miles de nodos pertenecientes a una malla de DF. Los generadores propuestos han sido usados para reducir los modelos de ujo subterr aneo para: (i ) acu feros rectangulares homog eneos e is otropos conectados con un r o recto, (ii ) acu feros rectangulares heterog eneo conectados con un r o recto y (iii ) un acu fero altamente heterog eneo con contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. Los resultados de las simulaciones muestran que la generaci on iterativa es m as e ciente que calcular el espectro completo del PGAVSD y permite reducir modelos heterog eneos de gran tama~no, a un cuando muchas acciones exteriores est an aplicadas sobre el acu fero. Tambi en se ha propuesto una extensi on del M etodo racional de LANczos (MLAN) para reducir e cientemente las relaciones r o-acu fero en modelos de sistemas de uso conjunto. El MLAN cl asico se usa para generar una base ortogonal de un subespacio de Krylov de reducci on. Adem as, los factores de participaci on acumulados de los vectores de Lanczos se usan como criterio de parada de la generaci on antes mencionada, evaluando si la ecuaci on de conservaci on de masa para el volumen de agua entrando de las acciones exteriores se satisface apropiadamente. El esquema de reducci on se aplica sobre el modelo de ujo subterr aneo con el prop osito de ensamblar una secuencia de sistemas de ecuaciones lineales reducidas, cuyas soluciones representan los estados del acu fero a lo largo del horizonte de simulaci on. Para hacer posible el c alculo de los vol umenes agregados de intercambio entre el r o y el acu fero, se ha propuesto un esquema de integraci on num erica temporal de los estados de Lanczos; tambi en se incluye el concepto de par ametros de control en el MLAN con el n de acelerar los c alculos de las relaciones r o-acu fero y otras variables de estado requeridas. Por ultimo, el MLAN ha sido probado para reducir los modelos de ujo en acu fero rectangulares homog eneos. Los resultados han sido comparados con los obtenidos mediante: (i ) modelos pluricelulares englobados, (ii ) modelos resueltos usando el MAV cl asico y (iii ) modelos resueltos por DF espacio-temporales. Se ha encontrado que el MLAN se comporta mejor que las DF, alcanzando un desempe~no comparable al exhibido por el MAV cl asico con truncamiento conservativo, pero es menos e ciente que los modelos pluricelulares englobados. Un an alisis del impacto de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia de r o, sobre algunos par ametros de control como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos, ha demostrado que, al disminuir dicha conductancia, el desempe~no del MLAN mejora por que se necesitan menos vectores de Lanczos para obtener resultados adecuados. El MAV-CSEM, junto con el MLAN, han probado ser poderosas herramientas para reducir modelos de ujo subterr aneo de gran tama~no. Aqu , el MAV-CSEM y el MLAN han sido aplicados para reducir dos acu feros lineales altamente discretizados, complejos y heterog eneos. El primero es un acu fero rectangular, conectado con un r o recto, compuesto por tres bandas con propiedades hidr aulicas uniformes. El segundo es un acu fero altamente heterog eneo y anis otropo, de contornos irregulares, conectado con un r o sinuoso e inclinado. En ambos acu feros, la aplicaci on de cada t ecnica de reducci on ha consistido en un an alisis de sensibilidad de la in uencia de modi car la parametrizaci on de las relaciones r o-acu fero, en funci on de la conductancia del r o y de los par ametros de reducci on (l mite de participaci on modal para MAV-CSEM y tama~no del subespacio de Krylov de reducci on para el MLAN), en la representaci on m as adecuada de algunos par ametros de control seleccionados, como lo son las alturas piezom etricas, los vol umenes almacenados y los ujos internos. Los resultados han mostrado el poder de ambas t ecnicas para reducir e cientemente los modelos de ujo subterr aneo planteados. Sin embargo, las principales diferencias encontradas entre ambos son: (i ) el MAV-CSEM es m as demandante computacionalmente para calcular el subespacio de reducci on de autovectores, pero su ejecuci on del modelo de ujo es m as r apida, (ii ) el MLAN calcula m as adecuadamente las variables distribuidas en el acu fero como alturas piezom etricas, vol umenes almacenados y ujos internos si la parametrizaci on de la iteraci on de Lanczos se realiza apropiadamente y (iii ) el MAV-CSEM obtiene m as e ciente y adecuadamente las relaciones r o-acu fero agregadas a lo largo de toda la red de drenaje. La principal conclusi on de estas aplicaciones es que la selecci on de uno u otro m etodo de reducci on depende del tipo de problema que se est a enfrentando y de los par ametros de control requeridos por este. / Álvarez Villa, ÓD. (2014). Simulación eficiente de las relaciones río-acuífero en sistemas de utilización conjunta mediante técnicas de reducción de modelos lineales invariantes en el tiempo [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/39336 / TESIS

[ES] El objetivo de esta tesis es el desarrollo de algoritmos e implementaciones innovadoras de altas prestaciones (HPC) para la computación de funciones de matrices basadas en series de polinomios matriciales. En concreto, se desarrollarán algoritmos para el cálculo de las funciones matriciales más utilizadas: la exponencial, el seno y el coseno. El estudio de los polinomios ortogonales matriciales es un campo emergente cuyo avance está alcanzando importantes resultados tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Las ¿últimas investigaciones realizadas por el doctorando, junto a los miembros del grupo de investigación al que está vinculado, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), revelan por qué los polinomios matriciales desempeñan un papel fundamental en la aproximación de funciones de matrices, proporcionando propiedades muy interesantes. En esta tesis se han desarrollado nuevos algoritmos de alto rendimiento basados en series polinomiales matriciales. En particular, se han implementado algoritmos para el cálculo de la exponencial, el seno y el coseno de una matriz usando las series matriciales polinomiales de Taylor y de Hermite. Además, se han proporcionado cotas del error cometido en las aproximaciones calculadas, proporcionando además los parámetros teóricos y experimentales óptimos de dichas aproximaciones. Los algoritmos finales han sido comparados con otras implementaciones del estado del arte para probar la mejora que presentan en cuanto a eficiencia y prestaciones. Los resultados obtenidos a lo largo de la investigación y presentados en esta memoria han sido publicados en varias revistas de alto nivel y se han presentado como ponencias en diversas ediciones del congreso internacional Mathematical Modelling in Engineering & Human Behaviour para dotarlas de la mayor difusión posible. Por otra parte, los códigos informáticos implementados han sido puestos a disposición de la comunidad científica internacional a través de nuestra página web http://hipersc.blogs.upv.es. / [CAT] L'objectiu d'aquesta Tesi és el desenvolupament d'algoritmes i implementacions innovadores d'altes prestacions (HPC) per a la computació de funcions de matrius basades en sèries de polinomis matricials. En concret, es desenvoluparan algoritmes per al càlcul de les funcions matricials més emprades: l'exponencial, el sinus i el cosinus. L'estudi dels polinomis ortogonals matricials és un camp emergent, el creixement del qual està aconseguint importants resultats tant des del punt de vista teòric com pràctic. Les últimes investigacions realitzades pel doctorand junt amb els membres del grup d'investigació on està vinculat, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), revelen per què els polinomis matricials exerceixen un paper fonamental en l'aproximació de funcions de matrius, proporcionant propietats molt interessants. En aquesta Tesi s'han desenvolupat nous algoritmes d'alt rendiment basats en sèries polinomials matricials. En particular, s'han implementat algoritmes per al càlcul de l'exponencial, el sinus i el cosinus d'una matriu usant les sèries matricials polinomials de Taylor i d'Hermite. A més, s'han proporcionat cotes de l'error comès en les aproximacions calculades, proporcionant a més els paràmetres teòrics i experimentals òptims d'aquestes aproximacions. Els algoritmes finals han estat comparats amb altres implementacions de l'estat de l'art per a provar la millora que presenten en termes d'eficiència i prestacions. Els resultats obtinguts al llarg de la investigació i presentats en aquesta memòria han estat publicats en diverses revistes d'alt nivell i s'han presentat com a ponències en diferents edicions del congrés internacional Mathematical Modelling in Engineering \& Human Behaviour per a dotar-les de la major difusió possible. D'altra banda, s'han posat els codis informàtics implementats a disposició de la Comunitat Científica Internacional mitjançant la nostra pàgina web http://hipersc.blogs.upv.es. / [EN] The aim of this thesis is the development of high performance computing (HPC) innovative algorithms and implementations for computing matrix functions based on matrix polynomials series. Specifically, algorithms for the calculation of the most commonly-used functions, the exponential, sine and cosine have been developed. The study of orthogonal matrix polynomials is an emerging field whose growth is achieving important results both theoretically and practically. The last investigations made by the doctoral student, together with the members of the research group, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), he is linked, reveal why the matrix polynomials play a fundamental role in the approximation of matrix functions, providing very interesting properties.In this thesis new high-performance algorithms based on matrix polynomial series have been developed. In particular, algorithms for computing the exponential, sine and cosine of a matrix using Taylor and Hermite matrix polynomial series have been implemented.In addition, the error bounds for the approximations calculated have been provided and optimal theoretical and experimental parameters for such approximations have also been provided. Final algorithms have been compared to other state of the art implementations to test the improvement obtained in terms of efficiency and performance. The results obtained during the investigation and presented in this memory have been published in several high-level journals and presented as papers at various editions of the International Congress Mathematical Modelling in Engineering & Human Behaviour to give them the widest possible distribution. On the other hand, implemented computer codes have been made freely available to the international scientific community at our web page http://hipersc.blogs.upv.es. / Ruiz Martínez, PA. (2020). Nuevos métodos y algoritmos de altas prestaciones para el cálculo de funciones de matrices [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/137035 / TESIS