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En la pràctica de l’enginyeria, quan un model explícit d’un procés està disponible, es poden realitzar experiments numèrics per tal de predir el comportament futur del sistema, explicar o descriure el seu estat ocult, guiar la recopilació de dades,... Generalment, les dinàmiques del sistema són complexes i difícils d’observar amb precisió. Qualsevol aproximació de la realitat observada per mitjà d’un modelatge implica necessàriament incertesa. Per fomentar la confiança en els resultats del model, aquesta incertesa ha de ser caracteritzada i quantificada de forma explícita. En aquest projecte de tesi, particular atenció es proporciona a la incertesa associada als paràmetres del model i les seves implicacions per a l’optimització de bio-processos. Com a cas d’estudi, es considera per a la modelització la digestió anaeròbia. La producció controlada de biogàs per digestió anaeròbica s'ha trobat una activitat rendible, a més de ser una font d'energia renovable. No obstant això, els marges de millora per a aquesta tecnologia són amplis. La co-digestió anaeròbia amb dos o més materials d’entrada és una manera de fer que la biomassa de baixa producció de biogàs sigui aplicable a escala industrial. Entre els possibles co-substrats, els residus orgànics rics en lípids resulten atractius pel seu alt potencial energètic. El principal factor limitant per a aquesta estratègia és la inhibició de la digestió anaeròbica pels àcids grassos de cadena llarga. La modelització matemàtica ofereix una aproximació útil de la complexa i delicada activitat microbiologia d’aquest sistema de digestió anaeròbica. L’objectiu subjacent del projecte de tesi és millorar el procés de tractament d'aigües residuals amb l’ajuda de la modelització i l’anàlisi d’incertesa. D’acord amb aquest objectiu, es desenvolupa un entorn de simulació anomenat “planta virtual” (VP) amb la fi de aplicar-lo al modelatge de la co-digestió anaeròbia i fangs activats. A l’entorn de la VP, es proposa i testeja noves dinàmiques fonamentals del procés d’inhibició pels àcids grassos de cadena llarga i es compara diferents procediments d’inferència per l’estimació del la incertesa dels paràmetres. D’altra banda, es proposa una anàlisi de criteris múltiples en condicions d’incertesa. El mètode s’aplica a una planta industrial de co-digestió anaeròbica. Com a conclusió, l’eina de la "planta virtual" es va trobar fiable i fàcil d’usar en el modelat dels processos de tractament biològics com fangs activats i digestió anaeròbia. El model d’inhibició per àcids grassos a cadena llarga ha estat capaç de reproduir i interpretar les dades experimentals obtingudes en prèvies investigacions. No obstant això, l’estimació de la incertesa dels paràmetres i la falsificació del model d’inhibició són tasques d’investigació futura. El procediment d’inferència Bayesiana s’ha demostrat útil per enfrontar-se amb èxit al problema de l’estimació de la incertesa dels paràmetres relatius a models de la digestió anaeròbia i dels fangs activats. La anàlisi de criteris múltiples sota incertesa ha permès una considerable millora en l’eficiència i de la fiabilitat d’operació d’una planta industrial de biogàs. No obstant això, com a treball futur es fa necessari millorar el procediment d’obtenció de les entrades a l’anàlisi de criteris múltiples i disminuir la càrrega computacional requerida per aquesta anàlisi. / In engineering practice, when an explicit model of a system is available, numerical experiments can be performed in order to predict the future behavior of the system, explain or describe its hidden state, guide data collection, etc. Typically, the dynamics of the system are complex and difficult to observe with precision. Any approximation of the observed reality within an explicit model necessary implies uncertainty, which should be characterized and quantified to build confidence over model results. Uncertainty associated with model-parameter and its implications for bio-process optimization are of main concern in this PhD work. As a bio-process case study, the anaerobic digestion is considered for modeling. The production of biogas by controlled anaerobic digestion could be a profitable activity, apart of being a renewable energy source. However, the margins to improve this technology are wide. Anaerobic co-digestion with two or more input materials is a way to make low biogas yield biomass applicable at industrial scale. Among the possible co-substrates, lipids-rich wastes are attractive for their high energetic potential. The main limiting factor for this strategy is the inhibition of anaerobic digestion by long chain fatty acids. Modeling provides a useful approximation of the complex and delicate microbiology activity of this anaerobic digestion system. The underlying goal of the PhD project is to improve biotechnological processes with the aid of modeling and uncertainty analysis. With this goal in mind, a general purpose, user-friendly, simulation environment called “virtual plant” (VP) was build and applied to anaerobic co-digestion and activated sludge modeling. Within the VP tool, new core dynamics of the long chain fatty acids (LCFA) inhibition process were proposed and tested and different inferential procedures for the estimation of parameter-uncertainty were compared. Finally, a proposed multi-criteria analysis under uncertainty and multiplicity was applied to an industrial anaerobic co-digestion biogas plant. In conclusion, the developed VP toolkit was found reliable and user-friendly when modeling activated sludge and anaerobic digestion systems. The proposed LCFA-inhibition model was able to reproduce correctly the experimental data at hand and enabled its interpretation. However, uncertainty estimation of parameters and falsification of the proposed model of LCFA-inhibition are still missing. The Bayesian procedure was proved useful when addressing the estimation of parameter uncertainty of anaerobic digestion and activated sludge models. A considerable improvement in the operation efficiency and reliability of an industrial biogas plant was possible within the proposed multi-criteria analysis. However, future work is needed to improve the procedure of elicitation of the inputs for this multi-criteria analysis and decrease its computational burden. / En la práctica de la ingeniería, cuando un modelo explícito de un proceso está disponible, se pueden realizar experimentos numéricos para predecir el comportamiento futuro del sistema, explicar o describir su estado oculto, guiar la recopilación de datos,. . . Generalmente, las dinámicas del sistema son complejas y difíciles de observar con precisión. Cualquier aproximación de la realidad observada a través de un modelado implica necesariamente incertidumbre. Para fomentar la confianza en los resultados del modelo, esta incertidumbre debe ser caracterizada y cuantificada de forma explícita. En este proyecto de tesis, particular atención se proporciona a la incertidumbre asociada a los parámetros del modelo y sus implicaciones para la optimización de bio-procesos. Como caso de estudio, se considera para la modelización la digestión anaerobia. La producción controlada de biogás por digestión anaeróbica se ha encontrado una actividad rentable, además de ser una fuente de energía renovable. Sin embargo, los márgenes de mejora para esta tecnología son amplios. La co-digestión anaerobia con dos o más materiales de entrada es una manera de hacer que la biomasa de baja producción de biogás sea aplicable a escala industrial. Entre los posibles co-sustratos, los residuos orgánicos ricos en lípidos resultan atractivos por su alto potencial energético. El principal factor limitante para esta estrategia es la inhibición de la digestión anaeróbica por los ácidos grasos de cadena larga. La modelización matemática ofrece una aproximación útil de la compleja y delicada actividad microbiológica de este sistema de digestión anaeróbica. El objetivo subyacente del proyecto de tesis es mejorar los procesos biotecnológicos con la ayuda de la modelización y el análisis de incertidumbre. De acuerdo con este objetivo, se desarrolla un entorno de simulación llamado “planta virtual” (VP) con el fin de aplicarlo al modelado de la co-digestión anaerobia y fangos activados. En el entorno de la VP, se propone y testea nuevas dinámicas fundamentales del proceso de inhibición por ácidos grasos de cadena larga y se compara diferentes procedimientos de inferencia para la estimación del la incertidumbre de los parámetros. Por otra parte, se propone un análisis de criterios múltiples en condiciones de incertidumbre y multiplicidad de equilibrios. El método se aplica a una planta industrial de co-digestión anaeróbica. Como conclusión, la herramienta de la “planta virtual” se encontró fiable y fácil de usar en el modelado de los procesos de tratamiento biológicos como lodos activados y digestión anaerobia. El modelo de inhibición por ácidos grasos a cadena larga ha sido capaz de reproducir y ha permitido de interpretar los datos experimentales obtenidos en previas investigaciones. Sin embargo, la estimación de la incertidumbre de los parámetros y la falsificación del modelo de inhibición son tareas de investigación futura. El procedimiento de inferencia Bayesiana se ha demostrado útil para enfrentarse con éxito al problema de la estimación de la incertidumbre de los parámetros relativos a modelos de la digestión anaerobia y de los lodos activados. La propuesta análisis de criterios múltiples ha permitido una considerable mejora en la eficiencia y de la fiabilidad de operación de una planta industrial de biogás. Sin embargo, como trabajo futuro se rende necesario mejorar el procedimiento de obtención de las entradas al análisis de criterios múltiples y disminuir la carga computacional requerida por tal análisis.

Hysteresis is a nonlinear behavior encountered in a wide variety of processes including biology, optics, electronics, ferroelectricity, magnetism, mechanics, structures, among other areas. One of the main features of hysteresis processes is the property of consistency formalized in [52]. The class of operators that are considered in [52] consists of the causal ones, with the additional condition that a constant input leads to a constant output. For this class of systems, consistency has been defined formally. This property is useful in system modeling and identification as it limits the search for the system's parameters to those regions where consistency holds. The thesis applies the concepts introduced in [52] to some hysteresis models, namely LuGre model and Duhem model. The aim of the thesis is to derive necessary conditions and sufficient one for consistency (or/and strong consistency) to hold. For the LuGre model, the consistency and the strong consistency are studied under minimal conditions in Chapter 2. As a by-product of this study, explicit expressions are derived for the hysteresis. Such expression may be useful for identification purposes as shown in [53]. A classification of the possible Duhem models in terms of their consistency is carried out in Chapter 3. This study shows that a parameter’s should be one for the Duhem model to be compatible with a hysteresis behavior. / La histéresis es un fenómeno nolineal encontrado en varios procesos como biología, óptica, electrónica, ferroelectricidad, magnetismo, mecánica, estructuras, así como en otras áreas. Una de las características de los sistemas con histéresis es la propiedad de consistencia formalizada en [52]. La clase de operadores considerados en [52] consiste en aquellos que son causales, con la condición adicional que a una entrada constante corresponda una salida constante. Para esta clase d sistemas, la consitencia ha sido definida formalmente. Esta propiedad es útil en modelado e identificación dado que limita la búsqueda de parámetros a aquellas regiones donde la consistencia es válida. * Esta tesis aplica los conceptos introducidos en [52] a algunos modelos de histéresis, más precisamente al modelo de LuGre y al modelo de Duhem. El objetivo de esta tesis es encontrar condiciones necesarias y condiciones suficientes para que se satisfaga la consistencia (o/y la consitencia fuerte). * Para el modelo de LuGre, la consistencia "fuerte" se estudia en el capítulo 2 bajo condiciones mínimas. Como resultado de este estudio, se hallan fórmulas explícitas del lazo de histéresis. Tales fórmulas podrían ser de utilidad para tareas de identificación como se demuestra en [53]. * El capítulo 3 de la tesis presenta una clasificación de los modelos de Duhem posibles en términos de su consistencia. Este estudio muestra que hay un parámetro que tiene que valer uno para que el modelo sea compatible con un comportamiento histerético

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The main object of study of this thesis are invariant manifolds in the field of dynamical systems. We deal with two different and independent topics, namely, the study of exponentially small splitting of invariant manifolds in analytic unfoldings of the Hopf-zero singularity (in Part I) and the applications of dynamical systems in problems inspired by neuroscience (in Part II). In general, this thesis studies both theoretical and applied problems in dynamical systems, using analytical as well as computational tools. In Part I, we consider a certain class of generic unfoldings of the so-called Hopf-zero singularity. One can see that the truncation of the normal form at any finite order of such unfoldings possesses two saddle-focus critical points and, when the parameters lie on a certain curve, they are connected by a one- and a two-dimensional heteroclinic manifolds. However, considering the whole vector field, one expects these heteroclinic connections to be destroyed. This fact can lead to the birth of a homoclinic connection to one of the critical points, producing thus a Shilnikov bifurcation. For the case of $C^\infty$ unfoldings, this was proved by Broer and Vegter during the 80's, but for analytic unfoldings it has remained an open problem. Recently, under some assumptions on the size of the splitting of the heteroclinic connections, Dumortier, Ibáñez, Kokubu and Simó proved the existence of Shilnikov bifurcations in the analytic case. Our study concerns the splitting of the one- and two-dimensional heteroclinic connections. These cannot be detected in the truncation of the normal form at any order, and hence they are exponentially small with respect to one of the perturbation parameters. We give asymptotic formulas of these splittings and, in particular, we prove that under generic conditions the main assumptions made by Dumortier, Ibáñez, Kokubu and Simó hold. In Part II, we deal with tools to provide an accurate prediction of phase variations in an oscillator subject to external stimuli. We construct a method based on the concepts of isochrons, Phase Response Functions (PRF) and Amplitude Response Functions (ARF). In particular, the method can be applied to neurons in a state of repetitive firing. In the special case of a pulse-train periodic stimulus, the application of this theoretical frame leads to a 2D map, one variable controlling phase jumps and the other controlling amplitude jumps. We compare these maps to the classical 1D maps obtained via Phase Response Curves (PRC) and we identify circumstances in which the 2D maps give a more accurate prediction of the synchronization. Moreover, we implement some numerical methods to compute the invariant curves of the 2D maps as well as the dynamics inside these curves. Finally, we compute Arnold tongues of these maps, which allow to determine regions in the parameter space for which the neuron is synchronized to the external input. / El principal objecte d'estudi d'aquesta tesi són les varietats invariants en el camp dels sistemes dinàmics. Considerem dos temes diferents i independents, concretament l'estudi de l'escissió exponencialment petita de varietats invariants en desplegaments analí­tics de la singularitat Hopf-zero (a la Part I), i les aplicacions dels sistemes dinàmics en problemes inspirats per la neurociència (a la Part II). A la Part I, considerem una classe de desplegaments genèrics de l'anomenada singularitat Hopf-zero. Es pot veure que el truncament de la forma normal a qualsevol ordre finit d'aquests desplegaments té dos punts crítics de tipus sella-focus i, quan els paràmetres estan sobre una certa corba, estan connectats per dues varietats heteroclí­niques, una d'unidimensional i una de bidimensional. No obstant, si es considera tot el camp vectorial, s'espera que aquestes connexions heteroclí­niques desapareguin. Això pot causar el naixement d'una òrbita homoclí­nica en un dels dos punts crí­tics, produint així­ el que es coneix com una bifurcació de Shilnikov. En el cas de desplegaments $C^\infty$, això va ser provat per Broer i Vegter durant els anys 80, però el cas de desplegaments analí­tics ha quedat obert. Recentment, sota certes hipòtesis sobre la mida de l'escissió de les connexions heteroclí­niques, Dumortier, Ibáñez, Kokubu i Simó han provat l'existència de bifurcacions de Shilnikov en el cas analític. El nostre estudi consisteix en el càlcul del trencament de les connexions heteroclí­niques. Aquests trencaments no es poden detectar en la forma normal a cap ordre i, per tant, són exponencialment petits en un dels paràmetres de pertorbació. Donem fórmules asimptòtiques d'aquests trencaments i, en particular, provem que sota certes condicions genèriques les principals hipòtesis fetes per Dumortier, Ibàñez, Kokubu i Simó són vàlides. A la Part II, considerem eines per proporcionar una predicció acurada de la variació de fase en un oscil·lador subjecte a estímuls externs. Construïm un mètode basat en els conceptes d'isòcrones, Funcions de Resposta de Fase (PRF, per les seves inicials en anglès) i Funcions de Resposta d'Amplitud (ARF). En particular, el mètode es pot aplicar a neurones en un estat de dispar repetitiu. En el cas especial d'un tren de pulsos periòdic, l'aplicació d'aquest mètode teòric dóna lloc a una aplicació 2D, on una variable controla els canvis de la fase i l'altra els canvis en l'amplitud. Comparem aquestes aplicacions amb les aplicacions 1D clàssiques obtingudes a través de la Corbes de Resposta de Fase (PRC) i identifiquem circumstàncies en què les aplicacions 2D donen una millora substancial de la predicció de sincronització. A més, implementem alguns mètodes numèrics per calcular les corbes invariants de les aplicacions 2D així­ com la dinàmica dins aquestes corbes. Finalment, calculem les llengües d'Arnold corresponents a aquestes aplicacions, que permeten determinar regions en l'espai de paràmetres per a les quals la neurona es sincronitza amb l'estí­mul extern.

Consider the billiard map defined inside an analytic closed strictly convex curve Q. Given q>2 and 0<p0 is small and continuous so the formulas are exponentially small in 1/h instead. The exponent r has been proved to be (or is strongly numerically supported, depending on the map studied) 2pi times the distance to the real axis of the set of complex singularities of the homoclinic solution of a limit Hamiltonian flow. We propose and study an equivalent limit problem in the billiard setting. Next, we give some insight on how D(p,q) behaves when (p,q)-periodic orbits do not tend to the boundary of Q but to other regions of the phase space. Namely, we consider the cases of p/q tends to an irrational number or to P/Q. The study of D(p,q) in these cases consists of a phenomenological study based on some numerical results. / Considereu l'aplicació billard definida dins d'una corba tancada, analítica i estrictament convexa Q. Per q>2 i 0<p0 és petit i contínu i les fórmules són exponencialment petites en 1/h. S'ha demostrat (o està recolzat fortament per experiments numèriques) que l'exponent r és 2Pi vegades la distància a l'eix real del conjunt de singularitats complexes de la solució homoclínica del flux d'un Hamiltonià límit. Proposem i estudiem un equivalent a problema límit per l'aplicació billar. A continuació, comentem com es comporta D(p,q) per òrbites (p,q)-periòdiques que tendeixen a regions de l'espai de fases diferents de la frontera de Q. En concret, considerem els casos de p/q tendint a un nombre irracional o a P/Q. L'estudi de D(p,q) en aquests casos es basa en un estudi numèric dels fenòmens.

Esta tesis versa sobre el desarrollo de las tecnologías para la generación de mallas de hexaedros. El proceso de generar una malla de hexaedros no es automático y su generación requiere varias horas te trabajo de un ingeniero especializado. Por lo tanto, es importante desarrollar herramientas que faciliten dicho proceso de generación. Con este fin, se presenta y desarrolla un método de proyección de mallas, una técnica de sweeping o barrido, un algoritmo para la obtención de mallas por bloques, y un entorno de generación de mallas. Las implementaciones más competitivas del método de sweeping utilizan técnicas de proyección de mallas basadas en métodos afines. Los métodos afines más habituales presentan varios problemas relacionados con la obtención de sistemas de ecuaciones normales de rango deficiente. Para solucionar dichos problemas se presenta y analiza un nuevo método afín que depende de dos parámetros vectoriales. Además, se detalla un procedimiento automático para la selección de dichos vectores. El método de proyección resultante preserva la forma de las mallas proyectadas. Esta proyección es incorporada también en una nueva herramienta de sweeping. Dicha herramienta genera capas de nodos internos que respetan la curvatura de las superficies inicial y final. La herramienta de sweeping es capaz de mallar geometrías de extrusión definidas por trayectorias curvas, secciones no constantes a lo largo del eje de sweeping, y superficies inicial y final con diferente forma y curvatura.En las últimas décadas se han propuesto varios ataques para la generación automática de mallas de hexahedros. Sin embargo, todavía no existe un algoritmo rápido y robusto que genere automáticamente mallas de hexaedros de alta calidad. Se propone un nuevo ataque para la generación de mallas por bloques mediante la representación de la geometría y la topología del dual de una malla de hexaedros. En dicho ataque, primero se genera una malla grosera de tetraedros. Después, varió polígonos planos se añaden al interior de los elementos de la malla grosera inicial. Dichos polígonos se denotan como contribuciones duales locales y representan una versión discreta del dual de una malla de hexaedros. En el último paso, la malla por bloques se obtiene como el dual de la representación del dual generada. El algoritmo de generación de mallas por bloques es aplicado a geometrías que presentan diferentes características geométricas como son superficies planas, superficies curvas, configuraciones delgadas, agujeros, y vértices con valencia mayor que tres.Las mallas se generan habitualmente con la ayuda de entornos interactivos que integran una interfaz CAD y varios algoritmos de generación de mallas. Se presenta un nuevo entorno de generación de mallas especializado en la generación de cuadriláteros y hexaedros. Este entorno proporciona la tecnología necesaria para implementar les técnicas de generación de mallas de hexaedros presentadas en esta tesis. / This thesis deals with the development of hexahedral mesh generation technology. The process of generating hexahedral meshes is not fully automatic and it is a time consuming task. Therefore, it is important to develop tools that facilitate the generation of hexahedral meshes. To this end, a mesh projection method, a sweeping technique, a block-meshing algorithm, and an interactive mesh generation environment are presented and developed. Competitive implementations of the sweeping method use mesh projection techniques based on affine methods. Standard affine methods have several drawbacks related to the statement of rank deficient sets of normal equations. To overcome these drawbacks a new affine method that depends on two vector parameters is presented and analyzed. Moreover, an automatic procedure that selects these two vector parameters is detailed. The resulting projection procedure preserves the shape of projected meshes. Then, this procedure is incorporated in a new sweeping tool. This tool generates inner layers of nodes that preserve the curvature of the cap surfaces. The sweeping tool is able to mesh extrusion geometries defined by non-linear sweeping trajectories, non-constant cross sections along the sweep axis, non-parallel cap surfaces, and cap surfaces with different shape and curvature. In the last decades, several general-purpose approaches to generate automatically hexahedral meshes have been proposed. However, a fast and robust algorithm that automatically generates high-quality hexahedral meshes is not available. A novel approach for block meshing by representing the geometry and the topology of a hexahedral mesh is presented. The block-meshing algorithm first generates an initial coarse mesh of tetrahedral elements. Second, several planar polygons are added inside the elements of the initial coarse mesh. These polygons are referred as local dual contributions and represent a discrete version of the dual of a hexahedral mesh. Finally, the dual representation is dualized to obtain the final block mesh. The block-meshing algorithm is applied to mesh geometries that present different geometrical characteristics such as planar surfaces, curved surfaces, thin configurations, holes, and vertices with valence greater than three.Meshes are usually generated with the help of interactive environments that integrate a CAD interface and several meshing algorithms. An overview of a new mesh generation environment focused in quadrilateral and hexahedral mesh generation is presented. This environment provides the technology required to implement the hexahedral meshing techniques presented in this thesis.

The main objective of the thesis is the analytical and geometrical study of several integrable finite-dimentional dynamical systems of classical mechanics, which are closely related, namely: - the classical generalization of the Euler top: the Zhukovski-Volterra (ZV) system describing the free motion of a gyrostat, i.e., a rigid body carrying a symmetric rotator whose axis is fixed in the body; - the Steklov-Lyapunov integrable case of the Kirchhoff equations describing the motion of a rigid body in an ideal incompressible liquid; - a nontrivial integrable generalization of the Steklov-Lyapunov system found by V.Rubanovskii: it describes the motion of a gyrostat in an ideal fluid in presence of a non-zero circulation. In our study we obtained explicit solution of the Zhukovski-Volterra ([2] and the Steklov-Lyapunov systems in terms of sigma- or theta-functions, and performed a bifurcation analysis of these systems, as well as of the Rubanovskii generalization. One should note that the solution of the ZV system was first given by V. Volterra, who, however, presented only its structure, but not the explicit formulas. The thesis gives a new alternative solution of this system by using an algebraic parametrization of the angular momentum. This allowed us to find poles and zeros of angular momentum in an algebraic way. The parametrization was also used to find an explicit solution for the Euler precession angle, and, as a consequence, to solve the Poisson equations describing the motion of the gyrostat in space. Similarly, by giving a geometric interpretation of the separating variables, and using the Weierstrass root functions, we reconstructed the thetafunctional solution of the Steklov-Lyapunov systems, which was first given by F. Kötter in 1899 without a derivation ([3]). In the study of bifurcations and singularities of the ZV system we used its bi-Hamiltonian structure ([1]. According the new method, the solution is critical, if there exist a parameter of corresponding family of Poisson brackets, for wich the rang of the brackets with this parameter drops. Applying new technics, based on the property of the system of being bi-Hamiltonian, we construct the bifurcation diagram of the ZV system. We also find the equilibrium points of the system, check the non-degeneracy condition for such points in the sense of the singularity theory of Hamiltonian systems, determine the types of equilibria points, and verify whether they are stable or not. We also describe the topological type of common levels of the first integrals of the ZV system. Similar problems have been discussed in many papers, but the goal of our work is to study the system and demonstrate the above techniques. It is a remarkable fact that using the bi-Hamiltonian property makes it possible to answer all the above questions practically without any difficult computations. The same method is applied to construct the bifurcation diagram for the Steklov-Lyapunov system, describe the zones of real motion, and analyze stability of critical periodic solutions. Then the bifurcation analysis is extended to the Rubanovskii generalizaton. Here the main difficulty is that the number of different types of the bifurcation diagram is quite high, so we only describe general properties of the bifurcation curves, do stability analysis for closed trajectories, and equilibria. / El objetivo principal de la tesis es el estudio analítico y geométrico de varios sistemas integrables dinámicos y finito-dimensionales de la mecánica clásica que están estrechamente vinculados, a saber: -La generalización clásica de Euler top: el sistema Zhukovski-Volterra (ZV) que describe el movimiento libre de un giróstato, es decir, un cuerpo rígido que lleva un rotor simétrico cuyo eje es fijo al cuerpo. - El caso del sistema integrable de Steklov-Lyapunov de las ecuaciones de Kirchhoff que describen el movimiento de un cuerpo rígido en un líquido incompresible ideal; - Una generalización no trivial del sistema integrable de Steklov-Lyapunov encontrado por V. Rubanovskii que describe el movimiento de un giróstato en un fluido ideal en presencia de una circulación distinta de cero. En nuestro estudio hemos obtenido una solución explícita de los sistemas de Zhukovski-Volterra [2] y de Steklov-Lyapunov en términos de funciones sigma- o theta y hemos realizado un análisis de la bifurcación de estos sistemas, así como de la generalización de Rubanovskii. Hay que señalar que la solución del sistema de ZV fue dado por primera vez por V. Volterra, que, sin embargo, presenta sólo su estructura, pero no las fórmulas explícitas. La tesis ofrece una nueva solución alternativa de este sistema mediante el uso de una parametrización algebraica del momento angular. Esto nos ha permitido encontrar polos y ceros del momento angular en forma algebraica. La parametrización también se utilizó para encontrar una solución explícita para el ángulo de precesión de Euler, y, en consecuencia, para resolver las ecuaciones de Poisson que describen el movimiento de un giróstato en el espacio. Del mismo modo, al dar una interpretación geométrica de las variables de separación, y utilizando las funciones de las raíces Weierstrass, hemos reconstruido la solución thetafunctional de los sistemas de Steklov-Lyapunov, que fue dado por primera vez por F. Kotter en 1899 sin una derivación ([3]). En el estudio de las bifurcaciones y las singularidades del sistema ZV hemos utilizado su estructura bi-Hamiltoniana ([1]). Según el nuevo método, la solución es crítica, si existe un parámetro de la familia correspondiente del paréntesis de Poisson, para que el rango de las paréntesis con este parámetro se disminuye. Aplicando las nuevas técnicas, basadas en la propiedad del sistema de ser bi-Hamiltoniana, construimos el diagrama de bifurcación del sistema ZV. También hemos encontrado los puntos de equilibrio del sistema, verificando la condición de no-degeneración de estos puntos, en el sentido de la teoría de singularidad de los sistemas hamiltonianos, determinando los tipos de puntos de equilibrio, y comprobando si son estables o no. También hemos descrito el tipo topológico de los niveles comunes de los primeros integrales del sistema de ZV. Problemas similares se han discutido en muchas obras, pero el objetivo de nuestro trabajo es estudiar el sistema y demostrar las técnicas anteriormente mencionadas. Es un hecho notable que el uso de la propiedad bi-Hamilton permite responder a todas las preguntas anteriores, prácticamente sin ningún cálculo difícil. El mismo método se aplica para construir el diagrama de bifurcación para el sistema de Steklov-Lyapunov, describir las zonas de movimiento real, y analizar la estabilidad de soluciones periódicas críticas. A continuación, el análisis de bifurcación se extiende a la generalización Rubanovskii. Aquí la principal dificultad consiste en que el número de diferentes tipos del diagrama de bifurcación es bastante alto, por lo que sólo se describen las propiedades generales de las curvas de bifurcación, y el análisis de estabilidad se hace para trayectorias cerradas, y equilibrios .

The estimation of occurrence probabilities of extremal quantities is essential in the study of hazards associated with natural phenomena. The extremal quantities of interest usually correspond to phenomena characterized by two or more magnitudes, often showing dependence among them. In order to better characterize situations that could be dangerous, the magnitudes that describe the phenomenon should be jointly described. A Poisson-GPD model, which describes the occurrence of extremal events and their marginal sizes, has been established: the occurrence of the extremal events is represented by means of a Poisson process, and each event is characterized by a size modelled by a Generalized Pareto Distribution, GPD. The dependence between events is modelled through copula functions: a family of Gumbel copulas, suitable for the type of data treated, and a new type of copula that is introduced, the CrEnC copula. The CrEnC copula minimizes the mutual information in situations in which only partial information in the form of restrictions is available, such as marginal models or joint moments of the variables. In this context, data are often scarce, and the uncertainty in the estimation of the model will be great. A Bayesian estimation process that takes into account this uncertainty has been established. Goodness-of-fit of some aspects of the model (GPD goodness-of-fit, GPD-Weibull hypothesis and global goodness-of-fit) has been checked using a selection of Bayesian p-values, which incorporate the uncertainty of the parameter estimation. Once the model has been estimated, a post-process of information has been performed to obtain a posteriori quantities of interest, such as exceedance probabilities of reference values or return periods of events of a certain size. The proposed model is applied to three datasets, with different characteristics. The results obtained are good: the introduced CrEnC copulas correctly represent the dependence in situations in which only partial information is available, and the Bayesian estimation of the parameters of the model gives added value to the results, because it allows the uncertainty of the posterior estimates, such as hazard and dependence parameters, to be evaluated. / La estimación de probabilidades de ocurrencia de cantidades extremales es imprescindible en el estudio de la peligrosidad de fenómenos naturales. Las cantidades extremales de interés suelen corresponder a fenómenos caracterizados por dos o más magnitudes, que en muchos casos son dependientes entre sí. Por tanto, para poder caracterizar mejor las situaciones que pudieran resultar peligrosas, se deben estudiar conjuntamente las magnitudes que describen el fenómeno. Se ha establecido un modelo Poisson-GPD que permite describir la ocurrencia de los sucesos extremales y sus tamaños marginales: la ocurrencia de los sucesos extremales se representa mediante un proceso de Poisson y cada suceso se caracteriza por un tamaño modelado según una distribución generalizada de Pareto, GPD. La dependencia entre sucesos se modeliza mediante funciones cópula: se utiliza una familia de cópulas Gumbel, adecuada al tipo de datos, y se introduce un nuevo tipo de cópula, la cópula CrEnC. La cópula CrEnC minimiza la información mutua en situaciones donde se dispone de información parcial en forma de restricciones, tales como los modelos marginales o momentos conjuntos de las variables. La representación de estas cópulas en R^2 permite mejorar tanto su estima como la apreciación de la bondad de ajuste a los datos. Se proporciona un algoritmo de estimación de cópulas CrEnC, que incluye una aproximación de las funciones normalizadoras mediante el método Montecarlo. En este contexto los datos suelen ser escasos, por lo que la incertidumbre en la estimación del modelo será elevada. Se ha establecido un proceso de estimación bayesiana de los parámetros, la cual permite tener en cuenta esta incertidumbre. La bondad de ajuste de diversos aspectos del modelo (bondad de ajuste GPD, hipótesis GPD-Weibull y bondad de ajuste global) se ha valorado mediante una selección de p-valores bayesianos, los cuales incorporan la incertidumbre de la estimación de los parámetros. Una vez estimado el modelo, se realiza un post-proceso de la información, donde se obtienen cantidades a posteriori de interés, como probabilidades de excedencia de valores de referencia o periodos de retorno de sucesos de un tamaño determinado. El modelo propuesto se aplica a tres conjuntos de datos de características diferentes. Se obtienen buenos resultados: las cópulas CrEnC introducidas representan correctamente la dependencia en situaciones en las que sólo se dispone de información parcial y la estimación bayesiana de los parámetros del modelo proporciona valor añadido a los resultados, ya que permite evaluar la incertidumbre de las estimaciones y tenerla en cuenta al obtener las cantidades a posteriori deseadas

The objective of this thesis is the derivation and implementation of a unified Finite Element formulation for the solution of uid and solid mechanics, Fluid-Structure Interaction (FSI) and coupled thermal problems. The unified procedure is based on a stabilized velocity-pressure Lagrangian formulation. Each time step increment is solved using a two-step Gauss-Seidel scheme: first the linear momentum equations are solved for the velocity increments, next the continuity equation is solved for the pressure in the updated configuration. The Particle Finite Element Method (PFEM) is used for the fluid domains, while the Finite Element Method (FEM) is employed for the solid ones. As a consequence, the domain is remeshed only in the parts occupied by the fluid. Linear shape functions are used for both the velocity and the pressure fields. In order to deal with the incompressibility of the materials, the formulation has been stabilized using an updated version of the Finite Calculus (FIC) method. The procedure has been derived for quasi-incompressible Newtonian fluids. In this work, the FIC stabilization procedure has been extended also to the analysis of quasi-incompressible hypoelastic solids. Specific attention has been given to the study of free surface flow problems. In particular, the mass preservation feature of the PFEM-FIC stabilized procedure has been deeply studied with the help of several numerical examples. Furthermore, the conditioning of the problem has been analyzed in detail describing the effect of the bulk modulus on the numerical scheme. A strategy based on the use of a pseudo bulk modulus for improving the conditioning of the linear system is also presented. The unified formulation has been validated by comparing its numerical results to experimental tests and other numerical solutions for fluid and solid mechanics, and FSI problems. The convergence of the scheme has been also analyzed for most of the problems presented. The unified formulation has been coupled with the heat tranfer problem using a staggered scheme. A simple algorithm for simulating phase change problems is also described. The numerical solution of several FSI problems involving the temperature is given. The thermal coupled scheme has been used successfully for the solution of an industrial problem. The objective of study was to analyze the damage of a nuclear power plant pressure vessel induced by a high viscous fluid at high temperature, the corium. The numerical study of this industrial problem has been included in the thesis. / El objectivo de la presente tesis es la derivación e implementación de una formulación unificada con elementos finitos para la solución de problemas de mecánica de fluidos y de sólidos, interacción fluido-estructura (Fluid-Structure Interaction (FSI)) y con acoplamiento térmico. El método unificado està basado en una formulación Lagrangiana estabilizada y las variables incognitas son las velocidades y la presión. Cada paso de tiempo se soluciona a través de un esquema de dos pasos de tipo Gauss-Seidel. Primero se resuelven las ecuaciones de momento lineal por los incrementos de velocidad, luego se calculan las presiones en la configuración actualizada usando la ecuación de continuidad. Para los dominios fluidos se utiliza el método de elementos finitos de partículas (Particle Finite Element Method (PFEM)) mientras que los sólidos se solucionan con el método de elementos finitos (Finite Element Method (FEM)). Por lo tanto, se ramalla sólo las partes del dominio ocupadas por el fluido. Los campos de velocidad y presión se interpolan con funciones de forma lineales. Para poder analizar materiales incompresibles, la formulación ha sido estabilizada con una nueva versión del método Finite Calculus (FIC). La técnica de estabilización ha sido derivada para fluidos Newtonianos casi-incompresibles. En este trabajo, la estabilización con FIC se usa también para el análisis de sólidos hipoelásticos casi-incompresibles. En la tesis se dedica particular atención al estudio de flujo con superficie libre. En particular, se analiza en profundidad el tema de las pérdidas de masa y se muestra con varios ejemplos numéricos la capacidad del método de garantizar la conservación de masa en problemas de flujos en supeficie libre. Además se estudia con detalle el condicionamiento del esquema numérico analizando particularmente el efecto del módulo de compresibilidad. Se presenta también una estrategia basada en el uso de un pseudo módulo de compresibilidad para mejorar el condicionamiento del problema. La formulación unificada ha sido validada comparando sus resultados numéricos con pruebas de laboratorio y resultados numéricos de otras formulaciones. En la mayoría de los ejemplos también se ha estudiado la convergencia del método. En la tesis también se describe una estrategia segregada para el acoplamiento de la formulación unificada con el problema de transmisión de calor. Además se presenta una simple estrategia para simular el cambio de fase. El esquema acoplado ha sido utilizado para resolver varios problemas de FSI donde se incluye la temperatura y su efecto. El esquema acoplado con el problema térmico ha sido utilizado con éxito para resolver un problema industrial. El objetivo del estudio era la simulación del daño y la fusión de la vasija de un reactor nuclear provocados por el contacto con un fluido altamente viscoso y a gran temperatura. En la tesis se describe con detalle el estudio numérico realizado para esta aplicación industrial