In this thesis, a new framework to validate and generate curved high-order meshes for complex models is proposed. The main application of the proposed framework is to generate curved meshes that are suitable for finite element analysis with unstructured high-order methods. Note that the lack of a robust and automatic curved mesh generator is one of the main issues that has hampered the adoption of high-order methods in industry. Specifically, without curved high-order meshes composed by valid elements and that match the domain boundary, the convergence rates and accuracy of high-order methods cannot be realized. The main motivation of this work is to propose a framework to address this issue. First, we propose a definition of distortion (quality) measure for curved meshes of any polynomial degree. The presented measures allow validating if a high-order mesh is suitable to perform finite element analysis with an unstructured high-order method. In particular, given a high-order element, the measures assign zero quality if the element is invalid, and one if the element corresponds to the selected ideal configuration (desired shape and nodal distribution). Moreover, we prove that if the quality of an element is not zero, the region where the determinant of the Jacobian is not positive has measure zero. We present several examples to illustrate that the proposed measures can be used to validate high-order isotropic and boundary layer meshes. Second, we develop a smoothing and untangling procedure to improve the quality for curved high-order meshes. Specifically, we propose a global non-linear least squares minimization of the defined distortion measures. The distortion is regularized to allow untangling invalid meshes, and it ensures that if the initial configuration is valid, it never becomes invalid. Moreover, the optimization procedure preserves, whenever is possible, some geometrical features of the linear mesh such as the shape, stretching, straight-sided edges, and element size. We demonstrate through examples that the implementation of the optimization problem is robust and capable of handling situations in which the mesh before optimization contains a large number of invalid elements. We consider cases with polynomial approximations up to degree ten, large deformations of the curved boundaries, concave boundaries, and highly stretched boundary layer elements. Third, we extend the definition of distortion and quality measures to curved high-order meshes with the nodes on parameterized surfaces. Using this definition, we also propose a smoothing and untangling procedure for meshes on CAD surfaces. This procedure is posed in terms of the parametric coordinates of the mesh nodes to enforce that the nodes are on the CAD geometry. In addition, we prove that the procedure is independent of the surface parameterization. Thus, it can optimize meshes on CAD surfaces defined by low-quality parameterizations. Finally, we propose a new mesh generation procedure by means of an a posteriori approach. The approach consists of modifying an initial linear mesh by first, introducing high-order nodes, second, displacing the boundary nodes to ensure that they are on the CAD surface, and third, smoothing and untangling the resulting mesh to produce a valid curved high-order mesh. To conclude, we include several examples to demonstrate that the generated meshes are suitable to perform finite element analysis with unstructured high-order methods.

A new strategy to describe failure of quasi-brittle materials -concrete, for example- is presented. Traditionally, numerical simulation of quasi-brittle failure has been tackled from two different points of view: damage mechanics and fracture mechanics. The former, which belongs to the family of continuous models, describes fracture as a process of strain localisation and damage growth. The latter, which falls in the family of discontinuous models, explicitly introduces displacement discontinuities. Recently, some new approaches that merge these two classical theories have been devised. Although these combined approaches allow a better characterisation of the whole failure process, there are still some issues that need to be addressed, specially regarding the model switching -from the continuous to the continuous-discontinuous strategy. The goal of this thesis is to present a new contribution in this direction. Our main concern is to properly account for the three main difficulties that emerge when dealing with combined strategies: (1) the pathological mesh-dependence exhibited by local softening models needs to be corrected; (2) the crack-path location has to be determined and (3) the switching from the continuous to the continuous-discontinuous strategy should be done in such a way that the two approaches are energetically equivalent. First, we extend the applicability to a two- and three-dimensional setting of an alternative approach to regularise strain-softening -where non-locality is introduced at the level of displacements rather than some internal variable. To this end, we propose new combined boundary conditions for the regularisation equation (for the smoothed displacement field). As illustrated with different two- and three-dimensional examples, these boundary conditions allow to obtain physical realistic results for the first stages of the failure process. Second, we present a new combined formulation that allows the propagation of cracks through a regularised bulk. To define the crack-path, instead of the classical mechanical criteria, we propose to use a geometrical criterion. More specifically, given a regularised damage field D(x), the discontinuity propagates following the direction dictated by the medial axis of the isoline (or isosurface in 3D) D(x) = D*. That is, a geometric tool widely used for image analysis, computer vision applications or mesh generation purposes is used here to locate cracks. We illustrate the capabilities of this new approach by carrying out different two- and three-dimensional numerical tests. Last, we propose a new criterion to estimate the energy not yet dissipated by the bulk when switching models, so it can be transferred to the cohesive crack. This ensures that the continuous and the continuous-discontinuous strategies are energetically equivalent. Compared to other existing techniques, we present a strategy that accounts for the different unloading branches of damage models thus better estimating the energy that has to be transferred. We illustrate the performance of this technique with one- and two-dimensional examples. / En aquesta tesi, presentem una nova estratègia per tal de descriure el procés de fallida de materials quasi-fràgils, com ara el formigó. Típicament la simulació numèrica d'aquest procés s'ha dut a terme mitjançant models de dany o models de fractura. Els primers |models continus| descriuen la fractura com un procés de localització de deformacions on el dany creix i es propaga. Els models de fractura, en canvi, són models discontinus que introdueixen de manera explícita discontinuïtats en el camp de desplaçaments. Recentment s'han proposat estratègies que combinen aquestes dues teories clàssiques. Tot i que aquestes formulacions alternatives permeten simular millor el procés de fallida, encara queden alguns aspectes per aclarir, especialment pel que fa al canvi de models |de l’estratègia contínua a la discontínua. En aquesta tesi es presenta una nova estratègia contínua-discontínua. El nostre principal objectiu és proposar nous mètodes per tal de resoldre tres de les dificultats que presenten aquests models combinats: (1) solucionar la dependència patològica de la malla d'elements finits que presenten els models locals amb reblaniment; (2) determinar la trajectòria de la fissura i (3) assegurar-se que el canvi de models del continu al discontinu| es fa de manera que les dues estratègies siguin energèticament equivalents. En primer lloc, ampliem l’ús |per tal de poder simular problemes dos i tres dimensionals d'una estratègia alternativa que regularitza el reblaniment de les lleis de tensió-deformació. Aquí la no-localitat s'introdueix a nivell del camp de desplaçaments i no a través d'una variable interna com succeeix en les formulacions estàndards. Per aquest motiu, proposem noves condicions de contorn combinades per l’equació de regularització (pel camp de desplaçaments suavitzat). Tal com s'observa en diferents exemples dos i tres dimensionals, aquestes condicions permeten simular de manera físicament realista les primeres etapes del procés de fallida. En segon lloc, presentem una nova formulació combinada on les fissures es propaguen a través del medi regularitzat. Per tal de definir la trajectòria d'aquestes fissures, utilitzem un criteri geomètric, a diferència dels criteris mecànics clàssics. En particular, sigui D(x) un camp regularitzat de dany, les discontinuats es propaguen seguint la direcció marcada per l'eix mitjà de la isolínia (o isosuperfície mitjana en 3D) D(x) = D_. _Es a dir, utilitzem aquí aquesta eina geomètrica, molt emprada en d'altres aplicacions com ara l’anàlisi d'imatges, la visió artificial o la generació de malles| per tal de propagar les fissures. En aquest cas, donem també exemples dos i tres dimensionals. Finalment, proposem un nou criteri per tal d'estimar l'energia que l'estructura encara no ha dissipat en el moment en que canviem de model, per tal que pugui ser transferida a la fissura cohesiva. D'aquesta manera, s'assegura que l’estratègia contínua i la contínua-discontínua siguin energèticament equivalents. En comparació amb d'altres tècniques, aquesta estratègia té en compte les diferents branques de descàrrega dels models de dany i permet estimar de manera més precisa l'energia que cal transmetre. Per tal de mostrar aquest balanç energètic es duen a terme diferents exemples en una i dues dimensions.

Nonlinear fibre beam models, due to its intrinsic simplicity and computational efficiency, are often an adequate alternative to the complex nonlinear plane and solid FE models for the assessment of entire frame structures. Nevertheless, simulations of structural concrete members undergoing relevant shear stresses cannot be performed by these models, as nonlinear shear effects and shear-bending interaction are neglected. In turn, the presence of shear stresses in cracked reinforced concrete (RC) elements leads to a rather complex resistant mechanism which numerical modelling is neither straightforward nor clearly established. Within this problematic, the formulation proposed in this thesis is an upgrade version of an existent flexural fibre beam model for the time-dependent analysis of segmentally constructed RC frames by taking into account the shear effects. The model is devised for the analysis of 2D RC and prestressed frame elements under combined axial, bending and shear forces. Shear-bending interaction is taken into account by means of a hybrid kinematic/force-based sectional approach. The key characteristics of the proposed model are: (i) at the material level RC is simulated through a smeared cracked approach with rotating cracks; (ii) at the fibre level an iterative procedure guarantees equilibrium between concrete and transversal reinforcement, allowing to compute the biaxial stress-strain state of each fibre; (iii) at the section level a uniform shear stress flow is assumed in order to estimate the internal shear stress-strain distribution and (iv) at the element level, the Timoshenko beam theory takes into account the deformation due to shear. As a result, the relevant attributes of the proposed formulation can be resumed as: (i) its capability for considering shear effects in both service and ultimate levels; (ii) the time step-by-step solution procedure enables taking into account the time-dependent response due to creep and shrinkage of concrete, temperature variations and relaxation of prestressing steel considering the multiaxial stress-strain state of the fibres and; (iii) the sequential type of analysis allows capturing the strengthening effects, accounting for the state of the structure prior to the intervention. The model is validated through experimental tests available in the literature, as well as through an experimental campaign carried out by the author. Accordingly, the capacity of the model to efficiently reproduce the behaviour of shear critical beams is demonstrated. The importance of including shear-bending interaction in the numerical analysis is underlined by comparing the results with the ones provided by the pure flexural basis model. The influence of transversal stresses on the time-dependent response of shear and bending dominant beams is also studied with the proposed model. Considering shear effects in modelling the time-dependent response of diagonally cracked RC and prestressed beams is found to be relevant. The proposed model is successfully used to predict the experimental results of a shear damaged and subsequently strengthened RC beam, available in the literature. An alternative strengthening solution for the damaged beam based on post-tensioned stirrups is numerically analysed. This technique showed to be effective to avoid brittle shear failure allowing for the development of all the flexural capacity of the repaired beam. The importance of considering previous damage in the numerical assessment of strengthened RC beams is revealed. Finally, the response of a dismantled prestressed concrete bridge, with deficient shear resistance, submitted to full-scale tests is successfully simulated with the proposed model. In addition, different strengthening proposals based on post-tensioning measures are studied for this bridge. In this manner, the capacity of the model to determine the safety of existent structures and to analyse the performance of strengthening measures is demonstrated. / Los modelos de vigas, debido a su simplicidad inherente y eficiencia computacional, pueden ser alternativas adecuadas a complejos modelos de elementos finitos planos y sólidos. Sin embargo, el comportamiento de elementos estructurales de hormigón sometidos a fuertes esfuerzos cortantes, no pueden ser correctamente simulado mediante estos modelos, ya que no consideran los efectos no lineales del cortante y la interacción cortante-flexión. A su vez, la presencia del cortante en el hormigón armado fisurado da lugar a un complejo mecanismo resistente cuya modelización no está aún claramente definida. En esta tesis si propone un modelo de vigas que considera la no linealidad y el comportamiento paso-a-paso en el tiempo de estructuras porticadas de hormigón construidas evolutivamente teniendo en cuenta los efectos del cortante. El modelo se basa en una formulación existente de flexión y está concebido para el análisis de estructuras planas porticadas de hormigón armado (HA) y pretensado sometido a la acción combinada del esfuerzo axil, flexión y cortante. La interacción cortante-flexión si consigue mediante una formulación seccional basada en suposiciones mixtas de cinemática y fuerza. Las características clave del modelo son: (i) a nivel del material el HA se simula mediante una aproximación de fisuración distribuida rotacional; (ii) a nivel de la fibra un procedimiento iterativo garantiza el equilibrio entre el hormigón y la armadura transversal, permitiendo calcular el estado biaxial de tensiones y deformaciones en cada fibra; (iii) a nivel de la sección un patrón de tensiones tangenciales constantes estima la distribución interna de tensiones y deformaciones de cortante y (iv) a nivel del elemento se aplicada la formulación del elemento de viga Timoshenko. De este modo, los aspectos relevantes de la formulación propuesta se resumen en: (i) su capacidad para considerar los efectos del cortante en estados de servicio y últimos; (ii) el procedimiento paso-a-paso en el tiempo permite tener en cuenta la respuesta diferida debido a fluencia y retracción del hormigón, variaciones de temperatura y relajación del pretensado considerando el estado multiaxial de tensiones y deformaciones en las fibras y; (iii) el análisis secuencial permite evaluar los efectos del refuerzo teniendo en cuenta el estado de la estructura antes de la intervención El modelo se valida mediante ensayos experimentales disponibles en la literatura, así como, a través de una campaña experimental realizada por la autora, demostrando su capacidad para reproducir la respuesta de vigas críticas a cortante. La importancia de incluir la interacción cortante-flexión en el análisis numérico es destacada por medio de la comparación de los resultados con los proporcionados por el modelo básico de flexión. Con el modelo propuesto se estudia la influencia del cortante en la respuesta diferida de vigas dominadas por cortante y flexión. La consideración de los efectos del cortante es relevante en la modelación de la respuesta diferida de vigas de HA con fisuras diagonales y en vigas pretensadas. El modelo propuesto se compara con éxito con los resultados experimentales de una viga dañada a cortante y posteriormente reforzada mediante un recrecido de hormigón y armadura transversal. Adicionalmente, se analiza numéricamente otra solución alternativa de refuerzo basada en estribos pretensados. La importancia de considerar el daño previo de la viga reforzada queda demostrada en la evaluación numérica. Finalmente, se simula la respuesta de un puente pretensado desmantelado con deficiente resistencia a cortante y sometido a ensayos de carga a larga-escala. Son también estudiadas diferentes propuestas de refuerzo basadas en soluciones de pos-tensado. De este modo, se demuestra la capacidad del modelo para determinar la seguridad de estructuras existentes y analizar la eficiencia de las medidas de refuerzo.

Concrete-filled tubes have been increasingly used these recent decades thanks to their improved structural behavior, especially under compression.Concrete filling in these sections improves ¡ts compressive strength thanks to lateral pressure coming from confinement effect provided by the steel tube. At elevated percentages of loading,concrete suffers an important volumetric expansion, which is clearly restricted by the tube. Therefore, the core is subjected to a severe lateral pressure that clearly enhances the compressive response of the concrete filling. This advantageous response under compression is accompanied by a significant ductility and energy absorption, owing to crushing of the cement paste of concrete. The core is subjected to asevere damage process, while mast part of the axial load is still resisted until advanced stages of deformation, thanks to be contained by the tube. These two properties let concrete-filled tubes to play an important role in the construction of really tall buildings in seismic areas. However, confinement effect on the core and the absorption of energy in these sections is clearly different between circular and square-shaped tubes. While in circulartubes, laleral pressure over the core is clearly uniform and constant, in square-shaped tubes, the deformability of the plates implies a notorious reduction of these two mechanical capabilities. This fact can be partially solved by means of introducing stiffening plates in the core. Thus, main purpose of this investigation is to analyze and describe the influence of introducing these plates in the core of concrete-filled tubes; also the influence on circular sections is analyzed in the study. The presence of stiffening plates not only has a clear effect on the confinement effect on the core, but also on the ductility of the section. In square-shaped sections this effect is always positive,independently of the thickness of the plates and the width ofthe section; nevertheless, in circular tubes, their influence is not so significant or even negative, since circular geometry is much more effective than a cruciform shape, in terms of confinement and ductility. ln otherwords, the introduction of stiffening plates in circular concrete-filled tubes is always positive, provided that the presence of these plates does not leadn to consider thinner tubes. The proposal of concrete-filled tubes stiffened with plates, or "reticulated" concrete-filled tubes, is interesting from several points of view. These new embedded plates are normally restricted to buckling by the concrete filling, so that they could be fully loaded according to their plastic capacity, being also protected against fire. The introduction of a couple of plales in the core of these tubes not only enhances the confinement effect and ductility, but also it allows a safer response against fire. The cruciform or grid-shaped geometry is interesting also for an excellent behavior under combined states of compression with shear forces or bending -the first case corresponds exactly to those heavily loaded columns of the ground fioors in tall buildings. What is a solution with a clear structural vocation derives quickly into a new interesting sectional repertoire for designers, by analyzing the load-bearing capacity of each independent loading cell of reticulated sections and combining them in different ways. The possibility of analyzing these cells separately allows determining their compressive response depending on their location in the cross-sectional plane and on the proportion between their width and plate thickness . / Las secciones tubulares mixtas se han utilizado mucho estas últimas décadas dada su magnífica respuesta estructural y su excelente comportamiento mecánico, especialmente bajo estados de compresión. El relleno de hormigón en estas secciones ve mejorada su resistencia gracias a la presión lateral procedente del efecto de confinamiento desarrollado por el tubo. En porcentajes elevados de carga el hormigón sufre una expansión volumétrica importante, quedando ésta restringida por estar embebido dentro del perfil metálico tubular. Por esta cuestión, el núcleo queda sometido a una presión triaxial muy importante, implicando a su vez una clara mejora de la respuesta a compresión Esta respuesta, muy efectiva bajo estados de compresión pura, es acompañada por una importante ductilidad y absorción de energía debido al aplastamiento del hormigón. El núcleo queda sometido a un proceso severo de daño, mientras resiste aún la mayor parte de la carga hasta porcentajes muy elevados de deformación -gracias a estar este último embebido en el tubo. Estas dos propiedades hacen que las secciones mixtas tubulares jueguen un papel muy importante en la construcción de edificios altos en zonas sísmicas. A pesar de todo, el efecto de confinamiento sobre el núcleo y la absorción de energía en estas secciones es claramente distinta entre los tubos circulares y los rectangulares. Mientras que en los circulares la presión lateral es uniforme y constante, en los rectangulares la excesiva deformabilidad de las pletinas implica una reducción importante de estas dos capacidades mecánicas. Este hecho puede ser parcialmente solucionado mediante la introducción de otras pletinas internas rigidizantes, embebidas en el hormigón. Así, el principal objetivo de esta investigación es el de analizar y describir la influencia de dichas pletinas en su respuesta a compresión; se analiza tanto su influencia sobre las circulares como sobre las rectangulares. La presencia de pletinas internas rigidizantes no tiene sólo un efecto determinante sobre el confinamiento del núcleo, sino también sobre la ductilidad de la sección. En las secciones rectangulares, esta influencia es siempre positiva, independientemente del grosor de dichas pletinas; por el contrario, en las secciones circulares, su efecto no es tan determinante, incluso puede ser negativo, dado que la geometría circular es mucho más efectiva que la cruciforme en términos de confinamiento y ductilidad. En otras palabras, la introducción de pletinas rigidizantes resulta por lo general buena, a condición que su disposición no lleve a diseños de tubos más delgados. La propuesta de secciones tubulares mixtas con pletinas rigidizantes o "reticuladas" es interesante desde distintos puntos de vista. Estas nuevas pletinas están normalmente restringidas a pandeo por el relleno de hormigón, de modo que pueden cargarse al 100% de su capacidad axil plástica, estando a su vez relativamente protegidas a incendio. La introducción de un par de pletinas en el núcleo no sólo mejora la resistencia y la ductilidad de las secciones sino que incrementa su seguridad frente a situaciones de incendio. La geometría cruciforme derivada de estas pletinas es interesante también en estados de solicitaciones combinadas (compresión y cortante o momento) -es el caso precisamente de las columnas fuertemente cargadas de las plantas bajas en edificios altos Lo que es una solución con una clara vocación de mejora estructural deriva rápidamente en un nuevo e interesante repertorio seccional disponible para arquitectos y diseñadores, analizando la capacidad de carga de cada célula independiente y combinándolas entre sí de formas muy distintas. La posibilidad de analizar estas células por separado permite determinar su capacidad resistente a compresión dependiendo de su ubicación en el plano de la sección y de la proporción entre el ancho y el grueso de las pletinas.

El levantamiento manual de cargas es un requerimiento de trabajo muy frecuente en Europa y su exposición puede originar importantes daños a la salud, comportando un gran coste socio-económico. En esta investigación, mediante la valoración de expertos y delegados de prevención, se caracterizan las exposiciones a levantamientos manuales de cargas más presentes en las empresas y las prácticas comunes para su evaluación. Se analiza la validez, las limitaciones y la aplicabilidad de los modelos matemáticos actuales para evaluar la exposición al riesgo que comporta ante condiciones de levantamiento de alta variabilidad. Se propone un nuevo modelo matemático para analizar la exposición al riesgo, el índice de levantamiento variable (VLI), y se plantean y analizan diferentes estrategias de aplicación basadas en la reducción de la dimensión de los atributos que la caracterizan, definiendo los indicadores que permiten valorar las estrategias de aplicación del modelo más adecuadas. / L’aixecament manual de càrregues és un requeriment de treball molt freqüent a Europa, i la seva exposició pot generar importants danys a la salut amb un alt cost sòcio-econòmic. En aquesta recerca, mitjançant la valoració d’experts i delegats de prevenció, es caracteritzen les exposicions a aixecaments manuals de càrregues més presents en les empreses i les pràctiques més comuns per a la seva avaluació. S’analitza la validesa, les limitacions i la aplicabilitat dels models matemàtics actuals per avaluar l’exposició al risc en condicions d’alta variabilitat. Es proposa un nou model matemàtic per analitzar l’exposició al risc, l’índex d’aixecament variable (VLI), i es plantegen i analitzen diferents estratègies d’aplicació basades en la reducció de la dimensió dels atributs que la caracteritzen, definint els indicadors que permeten valorar les estratègies d’aplicació del model més adients. / Manual lifting loads is a widely extended requirement at work in Europe. The exposure to this hazard is producing significant work-related musculoskeletal disorders and a high social and economic cost. In this study, the most common characteristics of tasks involving manual lifting loads in companies and how they are currently analyzed are identified, based on perception and opinions of ergonomists and health and safety representatives. The validity, applicability and limitations of current mathematical models for assessing this risk in highly variable conditions are analyzed. A new mathematical model, called variable lifting index (VLI), is proposed. Different strategies for applying the model based on attribute reduction are analyzed. Finally, new indicators to evaluate the goodness of each strategy have been defined.

Los preliminares sobre funciones, operadores y medidas se centran en exhibir la integral de Bochner como herramienta para definir los espacios de funciones de Lebesgue-Bochner, de operadores de Dinculeanu, p-sumantes y p-sumantes positivos, o la de los operadores cono absolutamente sumantes. La dualidad de los espacios de Lebesgue-Bochner se resuelve dando entrada a las medidas vectoriales y a los conceptos de p-variación y p-semivariación. La propiedad de Radon-Nikodým guarda equivalencia con el teorema de Riesz en contexto también vectorial. La noción de tipo y cotipo de Rademacher se introduce para resolver en la parte final de la memoria el cálculo de estos valores para una familia de espacios de funciones vectoriales. Los espacios de funciones de Banach son los verdaderos protagonistas de la memoria, pues van a parametrizar la gran familia de espacios de medidas vectoriales. Los espacios invariantes por reordenamiento proporcionan un contexto apropiado en el que detenerse. Los espacios de funciones vectoriales de Banach, también llamados espacios de Köthe-Bochner, serán protagonistas como dominios de los operadores lineales y continuos que vienen representados por las medidas vectoriales objeto de nuestro estudio.En el capítulo segundo se introduce el concepto de E-variación, donde E representa el espacio de funciones de Banach, y se define el espacio de medidas de E-variación finita. La E-semivariación que se define a continuación consiste en la traslación al campo de las medidas de la situación de los operadores lineales y continuos con dominio en un espacio de funciones de Banach. El espacio de medidas VE(X) representa al de los operadores lineales y continuos con ciertas limitaciones. Aparecen de manera sistemática la nueva clase de Dinculeanu y la clásica de los operadores cono absolutamente sumantes y se obtiene una nueva caracterización de la propiedad de Radon-Nikodým para E con norma absolutamente continua. La abstracción máxima se tiene al considerar la E[X; Y;Z]-semivariación, pues engloba todos los casos previos. Si se restringe la familia de espacios de funciones de Banach a aquellos que satisfacen la propiedad (J) se comprueba la expresión equivalente de la E-variación definida por Gretsky y Uhl. La (E;∞)-variación viene motivada de forma similar a la que define a los espacios de Lebesgue, así se recuperan los espacios de medidas de M(E)-variación acotada. Como aplicación del desarrollo de la teoría a los espacios invariantes por reordenamiento se presenta la familia de los espacios de medidas vectoriales de Lorentz Vpq(X). Otros espacios de medidas vectoriales que se ajustan a este apartado son los de Orlicz. Los corolarios que se enumeran son ya conocidos y aparecen en las referencias citadas.En el capítulo cuarto se presenta la familia de espacios de Musielak-Orlicz (también llamados de Orlicz generalizados, parametrizados por una función M). Por contener como casos concretos a todos los espacios de Lebesgue y Orlicz, y por tener miembros que no satisfacen la propiedad (J), estos espacios representan, en cierto modo, los límites de la E-variación que se definía en el capítulo anterior. La teoría obtenida hasta entonces es aplicable a parte de la familia de espacios de Musielak-Orlicz. Se destaca un espacio concreto para comprobar cómo la hipótesis de la propiedad (J) es imprescindible en una definición de E-variación como la de Gretsky y Uhl. El ejemplo utilizado es un espacio de la clase de espacios de Nakano (con función M de tipo potencial). Se finaliza esta memoria caracterizando el tipo y el cotipo de Rademacher para los espacios de sucesiones de Nakano vectoriales afinando resultados previos. / Preliminary chapter is focused on function, operator and measure spaces. Duality and Radon-Nikodým property are examined in Lebesgue-Bochner function spaces. Banach funciton spaces are the true main characters of this memoir, within which rearrangement invariant spaces deserve special attention. Vector-valued Banach function spaces, also called Köthe-Bochner spaces, play an important role in the last step.The concepts of E-variation and E-semivariation are introduced in chapter 2, where E is a Banach function space. They are used to help representing the space of continuous linear operatos under some limitations. A new characterization of Radon-Nikodým property is shown for spaces E with absolute coninuous norm. When restricting to spaces satisfying property (J) it is shown that the E-variation coincides with the one given by Gretsky and Uhl. Measure spaces related to Lorentz and Orlicz spaces are defined and studied.In chapter four, Musielak-Orlicz function spaces (also called generalized Orlicz spaces, parametrized by a function M). One space in this family is used to prove that property (J) is essential in variation by Gretsky and Uhl. Nakano sequence spaces (with potential function M) are investigated through the study of their Rademacher type and cotype.

En este trabajo proporcionamos doce formas normales para todos los campos vectoriales polinomiales Hamiltonianos en el plano que tienen términos lineales más cúbicos homogéneos y que poseen en el origen un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Para estos sistemas caracterizamos sus retratos de fase globales en el disco de Poincaré y describimos sus diagramas de bifurcación. Las formas normales de estos sistemas las obtenemos utilizando las formas normales de los sistemas cúbicos homogéneos dados en [1], y añadiendo a estos los términos lineales de manera que el origen sea un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Luego describimos los retratos de fase globales en el disco de Poincaré de estas doce familias de sistemas. Para ello en primer lugar encontramos los retratos de fase en el infinito de esos sistemas, y luego encontramos los retratos de fase locales en los puntos singulares finitos. Usando estos dos resultados determinamos los posibles retratos de fase globales de cada familia. Para algunas familias los puntos singulares finitos son demasiado complicados para estudiar sus retratos de fase local, y en algunos otros casos ni siquiera podemos calcular los puntos singulares finitos. En estas situaciones primero determinamos el número máximo de puntos singulares finitos que los sistemas pueden tener, a continuación utilizando el hecho de que el índice total de todos los puntos singulares de un campo vectorial en la esfera de Poincaré con un número finito de puntos singulares es 2 (este resultado se conoce como el teorema de Poincaré–Hopf) determinamos el número posible de puntos singulares finitos y sus posibles retratos fase locales posibles. Para determinar los posibles retratos de fase globales posibles miramos el número de puntos de una recta que pasa por el origen que se encuentran en el mismo nivel de energía. Puesto que los polinomios Hamiltonianos de las doce familias de sistemas son de cuarto grado, no puede haber más que cuatro de tales puntos. Si encontramos que sólo un retrato de fase global es posible para una familia, entonces este es el retrato de fase de la familia. Si hay más de un retrato de fase global posible, entonces mostramos que podemos elegir los parámetros de forma que los retratos de fase se realicen. Por último, después de haber determinado los retratos de fase global para cada familia, describimos sus diagramas de bifurcación utilizando las dos diferencias principales entre estos retratos de fase: el número de puntos singulares finitos y el número de sillas en el mismo nivel de energía. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448. / In this work we provide twelve normal forms for all the Hamiltonian planar polynomial vector fields having linear plus cubic homogeneous terms which possess a linear type center or a nilpotent center at the origin, and find their global phase portraits on the Poincaré disk. Moreover we provide the bifurcation diagrams of these differential systems. We obtain the normal forms of these systems using the normal forms of cubic homogeneous systems given in [1], and by adding to them the linear terms such that the origin is a linear type center or a nilpotent center. Then we describe the global phase portraits on the Poincaré disk of these twelve families of systems. To do this we first find the phase portraits at infinity of those systems, and then we find the local phase portraits at the finite singular points. Using these two results we determine the possible global phase portraits of each family. For some families the finite singular points are too complicated to study their local phase portraits, in some other cases we even cannot calculate the finite singular points. In these situations we first determine the maximum number of finite singular points that the systems can have, then using the fact that the total index of all the singular points of a vector field on the Poincaré sphere with a finite number of singular points is 2 (this result is known as the Poincaré–Hopf theorem) we determine the possible number of finite singular points and their possible local phase portraits. To determine the possible global phase portraits we look at the number of points of a straight line passing through the origin that are at the same energy level. Since the Hamiltonian polynomials of the twelve families of systems are quartic, there can be at most four such points. If we find only one possible global phase portrait for a family then we are done. If there are more than one possible global phase portrait then we show that for some specific choice of parameters those phase portraits are indeed realizable. Finally, after having determined the global phase portraits for each fam- ily, we describe their bifurcation diagrams using the two main differences between these phase portraits: the number of finite singular points and the number of saddles at the same energy level. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448.

Els principals objectes d'estudi d'aquesta memòria són les integrals singulars. Per l'elaboració d'aquesta memòria, trobem una especial motivació en tres articles originats a partir de la idea d'acotar la norma de l'operador maximal d'una integral singular per la norma de la integral singular. En el primer article, de J. Mateu i J. Verdera del 2006, [MV], s'hi proven desigualtats puntuals pels casos particulars de la j-èssima transformada de Riesz i de la transformada de Beurling. Es fa notar per primer cop que les acotacions són diferents degut a la paritat del nucli de les respectives transformades. A posteriori, en els articles de J. Mateu, J. Orobitg i J. Verdera de 2011, [MOV], i en [MOPV] de 2010 dels mateixos autors més C. Pérez, s'han provat acotacions puntuals com les esmentades per transformades de Riesz d'ordre superior. En el primer treball es tracta el cas d'operadors amb el nucli parell i en el segon es fa el mateix pels de nucli senar. Aquí, la desigualtat de Cotlar pren protagonisme, ja que es fa notar que la desigualtat puntual pel cas parell és una millora d'aquesta. En [MOV] es demostra que, per les integrals singulars de Calderón-Zygmund de grau parell i amb nucli prou regular, l'acotació puntual de l'operador maximal pel mateix operador és equivalent a l'acotació en L^2 i al mateix temps a una condició algebraica sobre el nucli de la integral singular. En el cas de les integrals de grau senar, en [MOPV], es veu que succeeix el mateix però en la desigualtat puntual necessitem la segona iterada de l'operador maximal de Hardy-Littlewood. Ja s'havia vist en [MV] que l'acotació sense iteració no funcionava en el cas de la transformada de Riesz. A partir d'aquí, en el treball que ens ocupa, ens hem dedicat a estendre aquestes acotacions. En el primer capítol es resol una pregunta oberta que es planteja a [MOV]. Es demostra que l'acotació en L^p (i en L^p amb pesos) és també equivalent a la desigualtat puntual, no només amb p=2. Aquests resultats estan reflectits en [BMO1]. En el segon capítol es treballa una altra pregunta plantejada al mateix article. Es tracta de veure si es pot relaxar la regularitat del nucli i que segueixi passant el mateix. Quan ens trobem al pla, donem una bona resposta fixant una diferenciabilitat inicial que ha de tenir el nucli. En el cas de que la dimensió és més gran que 2, tenim una resposta parcial, en el sentit de que aquesta regularitat inicial depèn del grau d'un cert polinomi que depèn del nucli. Això podria fer que s'hagués de demanar una diferenciabilitat molt gran. Però, això sí, finita. En el tercer capítol donem un exemple pel qual no tenim acotació de la norma L^1 feble de la funció maximal en termes de la norma L^1 de l'operador. Presentem el cas d'un polinomi harmònic de grau 3 en el pla i expliquem com es pot generalitzar al cas d'operadors de qualsevol grau senar en el pla. Tot i això, degut a la difícil caracterització dels polinomis harmònics en dimensions superiors, ens ha quedat obert el problema a R^n, per n>2. En l'últim capítol considerem el mateix problema d'acotar puntualment l'operador maximal d'una integral singular pel mateix operador, però en aquest cas definim una nova maximal on trunquem amb cubs en lloc de boles. Treballem el cas de la transformada de Beurling i veiem que per poder acotar ho hem de fer utilitzant la segona iterada del maximal de Hardy-Littlewood, i que no ho podem reemplaçar per la primera iteració. Aquests resultats estan reflectits en [BMO2]. Bibliografia [BMO1] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «L^p estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral», J. Analyse Math. 126 (2015), 287-306. [BMO2] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «The maximal Beurling transform associated with squares», Ann. Acad. Sci. Fenn. 40 (2015), 215-226. [MOPV] J. Mateu, J. Orobitg, C. Perez, J. Verdera, «New estimates for the maximal singular integral», Int. Math. Res. Not. 19 (2010), 3658-3722. [MOV] J. Mateu, J. Orobitg, J. Verdera, «Estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral: the case of even kernels», Ann. of Math. 174 (2011), 1429-1483. [MV] J. Mateu, J. Verdera, «L^p and weak L^1 estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform, Math. Res. Lett. 13 (2006), 957-966. / The main objects of study of this dissertation are the singular integrals. We find an special motivation in three papers originated from the idea of bounding the norm of maximal operator of a singular integral by the norm of the singular integral itself. In the first one, of J. Mateu and J. Verdera from 2006, [MV], they prove pointwise inequalities for the particular cases of the j-th Riesz transform and the Beurling transform. For the first time, one notice that we obtain different bounds depending on the parity of the kernel of each operator. A posteriori, in the papers of J. Mateu, J. Orobitg and J. Verdera from 2011, [MOV], and in [MOPV] from 2010 from same authors plus C. Pérez, they prove pointwise inequalities as the aforementioned for higher order Riesz transforms. In the first work they treat the case of operators with even kernel, and in the second one, they do the same but for odd kernels. Here is when Cotlar inequality takes shows of, because we can notice that the inequality for the even case is an improvement of this one In [MOV] they prove that, for even Calderón-Zygmund singular integrals with smooth kernel, the pointwise inequality of the maximal operator bounded by the operator itself is equivalent to the L^2 estimate and also to an algebraic condition on the kernel of the singular integral. For the odd operators, in [MOPV], it's proved the same result, but in the pointwise inequality we need the second iteration of the Hardy-Littlewood maximal operator. It was proved before, in [MV], that one cannot bound without this iteration in the case of the Riesz trasnform. From here on, in this dissertation we have been working on this kind of estimates. In the first chapter we give a positive answer to one open question in [MOV]. We prove that the L^p estimate (and the weighted L^p) is also equivalent to the pointwise inequality, not only with p=2. This results are reflected in [BMO1]. In the second chapter we work on another open question from the same paper. We deal with the same estimates but relaxing the regularity of the kernel. When we are in the plane, we give a good answer, setting an initial differenciability for the kernel. For higher dimensions, with n bigger than 2, we have a partial answer, in the sense that the initial regularity depends on the degree of a polynomial depending on the kernel. This means that we may should ask for a very big differentiability, but a finite one. In the third chapter, we give an example for which we can't bound de weak L^1 norm of the maximal function in terms of the L^1 norm of the operator. We give the case of a harmonic polynomial of degree 3 in the plane and we explain how we can generalize to all polynomials with odd degree in the plane. However, because of the difficult caracterization of the harmonic polynomials en higher dimensions, the problem in R^n, for n>2, is open. In the last chapter, we consider the same problem of pointwise estimating the maximal operator of a singular integral by the same operator, but in this case we define a new maximal where we truncate by cubes instead of balls. We work with the Beurling transform and we prove that we need the second iteration of the Hardy-Littlewood maximal operator, and that we can't replace it for the first iteration. This results are reflected in [BMO2]. Bibliography [BMO1] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «L^p estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral», J. Analyse Math. 126 (2015), 287-306. [BMO2] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «The maximal Beurling transform associated with squares», Ann. Acad. Sci. Fenn. 40 (2015), 215-226. [MOPV] J. Mateu, J. Orobitg, C. Perez, J. Verdera, «New estimates for the maximal singular integral», Int. Math. Res. Not. 19 (2010), 3658-3722. [MOV] J. Mateu, J. Orobitg, J. Verdera, «Estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral: the case of even kernels», Ann. of Math. 174 (2011), 1429-1483. [MV] J. Mateu, J. Verdera, «L^p and weak L^1 estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform, Math. Res. Lett. 13 (2006), 957-966.

En aquesta tesi s’obtenen nous resultats sobre l’acotació d’operadors de Calderón-Zygmund en espais de Sobolev en dominis de Rd. En primer lloc es demostra un teorema de tipus T(P) vàlid per a Wn,p(U), a on U és un domini uniforme acotat de Rd, n és un nombre natural arbitrari, i p>d. Essencialment, el resultat obtingut afirma que un operador de Calderón-Zygmund de convolució és acotat en aquest espai si i solament si per a tot polinomi P de grau menor que n restringit al domini, T(P) pertany a Wn,p(U). Per a índexs p menors o iguals que d, es demostra una condició suficient per a l'acotació en termes de mesures de Carleson. En el cas n=1 i p<=d, es comprova que aquesta caracterització en termes de mesures de Carleson és també una condició necessària. El cas en què n és no enter i 0<n<1 també s'estudia, obtenint-se resultats anàlegs als anteriors per una família d'espais més àmplia que Sobolev, els anomenats espais de Triebel-Lizorkin. Una altra de les aportacions de la tesi consisteix en l'obtenció de condicions òptimes per a caracteritzar quan la transformada de Beurling de polinomis restringits a dominis B(P) pertany a l'espai de Sobolev Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla, en termes de la regularitat Besov de la frontera de U. Aquest resultat, en combinació amb els descrits en el paràgraf anterior, proporciona una condició òptima per a poder determinar quan la transformada de Beurling és acotada en Wn,p(U) en termes de la regularitat de la frontera de U per a p>2. La darrera aportació de la tesi és l'aplicació dels resultats anteriorment descrits a l'estudi de la regularitat de l'equació de Beltrami que satisfan les aplicacions quasiconformes. Essencialment, es demostra que si el coeficient de Beltrami pertany a l'espai Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla complex amb parametritzacions de la frontera en un cert espai de Besov i p>2, llavors l'aplicació quasiconforme associada està en l'espai Wn,p(U). / In this dissertation some new results on the boundedness of Calderón-Zygmund operators on Sobolev spaces on domains in Rd. First a T(P)-theorem is obtained which is valid for Wn,p (U), where U is a bounded uniform domain of Rd, n is a given natural number and p>d. Essentially, the result obtained states that a convolution Calderón-Zygmund operator is bounded on this function space if and only if T(P) belongs to Wn,p (U) for every polynomial P of degree smaller than n restricted to the domain. For indices p less or equal than d, a sufficient condition for the boundedness in terms of Carleson measures is obtained. In the particular case of n=1 and p<=d, this Carleson condition is shown to be necessary in fact. The case where n is not integer and 0<n<1 is also studied, and analogous results to the former are obtained for a larger family of function spaces, the so-called Triebel-Lizorkin spaces. The thesis also contains some optimal conditions to establish when the Beurling transform of a polynomial restricted to a domain is contained in the Sobolev space Wn,p(U), where U is a bounded planar Lipschitz domain, in terms of the Besov regularity of the boundary of U. This result, in combination with the results mentioned above, provides an optimal condition to determine wether the Beurling transform is bounded on Wn,p(U) or not in terms of the regularity of the boundary for p>2. Finally, an application of the aforementioned results is given for quasiconformal mappings in the complex plane. In particular, it is checked that the regularity Wn,p(U) of the Beltrami coefficient of a quasiconformal mapping for a bounded Lipschitz domain U with boundary parameterizations in a certain Besov space and p>2, implies that the mapping itself is in Wn+1,p(U).

Les restriccions reals quantificades (QRC) formen un formalisme matemàtic utilitzat per modelar un gran nombre de problemes físics dins els quals intervenen sistemes d'equacions no-lineals sobre variables reals, algunes de les quals podent ésser quantificades. Els QRCs apareixen en nombrosos contextos, com l'Enginyeria de Control o la Biologia.La resolució de QRCs és un domini de recerca molt actiu dins el qual es proposen dos enfocaments diferents: l'eliminació simbòlica de quantificadors i els mètodes aproximatius. Tot i això, la resolució de problemes de grans dimensions i del cas general, resten encara problemes oberts.Aquesta tesi proposa una nova metodologia aproximativa basada en l'Anàlisi Intervalar Modal, una teoria matemàtica que permet resoldre problemes en els quals intervenen quantificadors lògics sobre variables reals.Finalment, dues aplicacions a l'Enginyeria de Control són presentades. La primera fa referència al problema de detecció de fallades i la segona consisteix en un controlador per a un vaixell a vela. / A Quantified Real Constraint (QRC) is a mathematical formalism that is used to model many physical problems involving systems of nonlinear equations linking real variables, some of them affected by logical quantifiers. QRCs appear in numerous contexts, such as Control Engineering or Biology. QRC solving is an active research domain for which two radically different approaches are proposed: the symbolic quantifier elimination and the approximate methods. However, solving large problems within a reasonable computational time and solving the general case, still remain open problems. This thesis proposes a new approximate methodology based on Modal Interval Analysis (MIA), a mathematical theory that allows solving in an elegant way, problems involving logical quantifiers over real variables.Finally, two control engineering applications are presented. The first refers to the problem of fault detection and the second consists of the realization of a controller for a sailboat.