Dans ce travail, on explique quelques résultats de base en théorie des D-modules arithmétiques de Berthelot. Parmi ces résultats, un résultat important est un théorème de comparaison avec la théorie des D-modules p-adiques introduite par Mebkhout et Narvaez-Maccarro. Ce résultat intervient dans des travaux récents de Caro, pour démontrer les conjectures de Berthelot sur les D-modules arithmétiques holonomes munis d'un Frobenius. Un autre résultat concerne un analogue, dans le cadre arithmétique, du théorème de Beilinson-Bernstein concernant les D-modules.

Nous montrons que les puissances de la fonction profil isopérimétrique, associée à une variété riemannienne fermée, vérifient une famille d'inéquations différentielles non linéaires du second ordre, paramétrées par un minorant de la courbure de Ricci et la dimension de la variété. Nous en déduisons des propriétés analytiques du profil, des renseignements géométriques et topologiques concernant les domaines minimisants et des théorèmes de comparaison et de pincement du profil isopérimétrique. Nous retrouvons en particulier des versions améliorées de l'inégalité de Lévy-Gromov. Ensuite, nous observons que tous ces résultats de comparaison se généralisent au cadre des variétés fermées munies de la distance riemannienne et d'une mesure ayant une densité régulière positive par rapport à la mesure riemannienne, la minoration uniforme sur la courbure de Ricci étant alors remplacée par une hypothèse de type courbure-dimension. Enfin, nous précisons, lorsqu'une suite de variétés compactes converge vers une variété compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff, dans quel sens la suite de leurs profils tend vers le profil de la variété limite.