Some physical systems exhibit topological properties in the form of topological invariants— features of the system that remain constant unless the system undergoessignificant changes i.e. changes that require closing the energy gap of the Hamiltonian.This work studies one example of a system with topological properties — a Kitaevchain. Here, this model is studied when it is coupled to an environment. We studythe effect of the coupling on the topology of the system and attempt to find signaturesof topological phases in the dynamics of the system. By using the Lindblad equationdefined in the formalism of third quantization, we study the time evolution of thesystem numerically by using the Euler method. We find that the dynamics of theentanglement spectrum of half of the chain is different in the topological and trivialphases: if the system undergoes a quench from trivial to topological phase, the entanglementspectrum exhibits crossings as the system evolves in time. We also studythe topological phases when disorder is added to the system. We test the stabilityof the topological phases of the system against disorder and find that the topologicalphases are not affected by a weak disorder. Moreover, by studying the statistics of theminimum entanglement spectrum gap, we find that, in general, a stronger disordermakes the crossings less likely to appear in the topological phase and more likely toappear in the trivial phase. / Det finns fysiska system som visar topologiska egenskaper i form av topologiska invarianter,som ändras inte så länge systemet genomgår ändringar som inte stängerHamiltonianens energigap. I det här arbetet undersöker vi ett exempel av ett systemmed topologiska egenskaper — en Kitaev kedja. Denna modell är studerat närden är kopplad till en omgivning. Vi undersöker kopplingens påverkan på systemetstopologi och vi försöker hitta tecken på topologiska faser i systemets dynamik. Vianvänder Lindblads ekvation definierat i tredje kvantiserings formalism för att studerasystemets tidsutveckling numeriskt, genom att använda Eulers metod. Vi upptäckeratt det finns skillnader i tidsutveckling av kvantsammanflätningsspektrumav häften av kedjan som beror på systems topologiska fas. Om systemet genomgåren kvantsläckning från den triviala till den topologiska fasen, kommer det finnas korsningari kvantsammanflätningensspektrum som uppstår under dess tidsutveckling.Dessutom studerar vi de topologiska faserna när det finns oordning i systemet. Viundersöker topologiska fasernas stabilitet mot oordning och upptäcker att en svagoordning påverkar inte de topologika faserna. Dessutom, genom att studera den minstakvantsammanflätningsspektrumsgap upptäcker vi att en starkare oordning ledertill kvantsammanflätningsspektrumskorsningar att vara mindre sannolika i den topologiskafasen och mer sannolika i den triviala fasen.

This report discusses higher differential forms with applications in the study of topological phenomena. The integer quantum Hall effect is first discussed, demonstrating a connection between models on a lattice and quantum field theories bridged by a topological invariant, namely the Chern number. Next, for parametrized models on a lattice, the higher Berry curvature is described. This is a rank-(d + 2) differential form on a (d + 2)-dimensional parameter manifold which provides a relation between models in a bulk and on a lower-dimensional interface. Finally, a family of quantum field theories connected to a (d + 1)-dimensional manifold, termed a target space, is constructed. This connection is realized through the incorporation of a set of classical fields, and the effective action of the full field theories all contain a Wess-Zumino-Witten term given by the pullback of a rank-(d + 1) differential form from the target space to spacetime. By performing an extension of spacetime, a (d + 2)-form on a (d + 2)-dimensional target space is constructed in a similar way. Extending a theory in d dimensions thus yields a form on a target space of the same dimension as that of a (d + 1)-dimensional theory without extension, defining a dimensional hierarchy. The dimensional relations inherent in the two higher forms studied indicate the possibility of a relation between them. / Denna rapport beskriver högre ordningens differentialformer med tillämpningar inom topologiska fenomen. Den heltaliga kvantmekaniska Halleffekten beskrivs först, som ett exempel på ett samband mellan modeller på ett gitter och kvantfältteorier som förbindas av topologiska invarianter, specifikt Chern-talet. För parametriserade modeller på ett gitter beskrivs därefter den högre Berrykrökningen. Detta är en differentialform av ordning (d + 2) definierad på en (d + 2)-dimensionell parametermångfald som ger en koppling mellan modeller i en kropps inre och på dens gränsskikt, som är i en lägre dimension. Slutligen konstrueras en familj av kvantfältteorier som är kopplade till en (d + 1)-dimensionell mångfald kallad modellens målrum. Denna koppling realiseras genom introduktionen av ett antal klassiska fält, och den effektiva verkan för den fullständiga teorin innehåller en Wess-Zumino-Witten-term som ges av en tillbakadragen (d + 1)-form från målrummet till rumtiden. Genom att utvidga rumtiden kan även en (d + 2)-form på en (d + 2)-dimensionellt målrum konstrueras på ett motsvarande sätt. Utvidgningen av en teori i d dimensioner ger därmed en differentialform på ett målrum med samma dimension som målrummet för en (d + 1)-dimensionell teori utan utvidning, vilket definierar en dimensionell hierarki. Dimensionsrelationerna inbyggda i dessa två differentialformer indikerar den möjliga existensen av en relation mellan dem.