Thesis (MA. (Mathematics)) -- University of Limpopo, 2012 / Topological structures called Yosida frames and related algebraic frames are studied in the realm of Pointfree Topology. It is shown that in algebraic frames regular elements are those for which compact elements are rather below the regular elements, and algebraic frames are regular if and only if every compact element is rather below itself if and only if the frame has the Finite Intersection Property (FIP) and each prime element is minimal. We also show that Yosida frames are those algebraic frames with the Finite Intersection Property and are finitely subfit; that these frames are also those semi-simple algebraic frames with FIP and a disjointification where dim (L)≤ 1; and we prove that in an algebraic frame with FIP, it holds that dom (L) = dim (L). In relation to normality in Yosida frames, we show that in a coherent normal Yosida frame L, the frame is subfit if and only if it is regular if and only if it is zero- dimensional if and only if every compact element is complemented.

The increasing importance of data in the modern world has created a need for new mathematical techniques to analyze this data. We explore and develop the use of geometry—specifically differential geometry—as a means for such analysis, in two parts. First, we provide a general framework to discover patterns contained in time series data using a geometric framework of assigning distance, clustering, and then forecasting. Second, we attempt to define a Riemannian metric on the space containing the data in order to introduce a notion of distance intrinsic to the data, providing a novel way to probe the data for insight.

De nombreux domaines comme le jeu vidéo, l’architecture, l’ingénierie ou l’archéologie font désormais appel à la modélisation géométrique. Les objets à représenter sont de natures diverses, et leurs opérations de manipulation sont spécifiques. Ainsi, les modeleurs sont nombreux car tous spécialisés à leur domaine d’application. Or ils sont à la fois chers à développer, souvent peu robustes, et difficilement extensibles. Nous avons proposé dans la thèse l’approche alternative suivante :– fournir un langage dédié à la modélisation qui permet de définir les opérations quelque soit le domaine d’application ; dans ce langage, les objets sont représentés avec le modèle topologique des cartes généralisées, dont nous avons étendu la définition aux plongements ; les opérations sont elles définies par des règles de transformation de graphes, issues de la théorie des catégorie ;– garantir les opérations définies dans le langage à l’aide de conditions de cohérence ; une opération dont la définition vérifie ces conditions ne produit pas d’anomalie ;– développer un noyau de modeleur générique qui interprète ce langage ; les opérations définies sont directement appliquées dans le modeleur, sans implantation dans un langage de programmation ; l’outil assure également la vérification automatique des conditions du langage pour prévenir un utilisateur lorsqu’il propose une opération incohérente.Le langage et le modeleur développés se sont révélés performants à la fois en termes de temps de développement et en termes de temps machine. L’implantation d’une nouvelle opération par une règle ne prend que quelques minutes à l’aide des conditions du langage, au contraire de l’approche classi / Geometric modeling is now involved in many fields such as: video games, architecture, engineering and archaeology. The represented objects are very different from one field to another, and so are their modeling operations. Furthermore, many specific types of modeling software are designed for high programing costs, but with a relatively low rate of effectiveness.The following is an alternative approach:– we have conceived a dedicated language for geometric modeling that will allow us to define any operation of any field; objects in this language are defined with the topological model of generalized maps, this definition has been extended to the embedding informations; here the operations are defined as graph transformation rules which originate from the category theory;– we have ensured operation definitions with consistency conditions; these operations that satisfy those conditions do not generate anomalies; – we have designed generic modeling software to serve as an interpreter of this language; the operation definitions are directly applied without the need for more programing; the software also automatically checks the language conditions and warns the user if he designs a non-consistent operation.The provided language and software prove to be efficient, and all for a low programing cost. Designing a new operation takes only minutes thanks to the language conditions, as opposed to hours of programming and debugging with the past approach.