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In the study of the Degasperis-Procesi dierential equation, an eigenvalue problem called the cubic string occurs. This is a third order generalization of the second order problem describing the eigenmodes of a vibrating string. In this thesis we study the eigenfunctions of the cubic string for discrete and continuous mass distributions, using the theory of total positivity, via a combinatorial approach with planar networks.

Cette thèse porte sur les processus croissants pour l'ordre convexe que nous désignons sous le nom de peacocks. Un résultat remarquable dû à Kellerer stipule qu'un processus stochastique à valeurs réelles est un peacock si et seulement s'il possède les mêmes marginales unidimensionnelles qu'une martingale. Une telle martingale est dite associée à ce processus. Mais dans son article, Kellerer ne donne ni d'exemple de peacock, ni d'idée précise sur la construction d'une martingale associée pour un peacock donné. Ainsi, comme d'autres travaux sur les peacocks, notre étude vise deux objectifs. Il s'agit d'exhiber de nouvelles familles de peacocks et de construire des martingales associées pour certains peacocks. Dans les trois premiers chapitres, nous exhibons diverses classes de peacocks en utilisant successivement les notions de monotonie conditionnelle, de peacock très fort et de positivité totale d'ordre 2. En particulier, nous fournissons plusieurs extensions du résultat de Carr-Ewald-Xiao selon lequel la moyenne arithmétique du mouvement brownien géométrique, encore appelée "option asiatique" est un peacock. L'objet du dernier chapitre est de construire des martingales associées pour une classe de peacocks. Pour cela, nous utilisons les plongements d'Azéma-Yor et de Bertoin-Le Jan. L'originalité de ce chapitre est l'utilisation de la positivité totale d'ordre 2 dans l'étude du plongement d'Azéma-Yor / This thesis deals with real valued stochastic processes which increase in the convex order. We call them peacocks. A remarkable result due to Kellerer states that a real valued process is a peacock if and only if it has the same one-dimensional marginals as a martingale. Such a martingale is said to be associated to this process. But in his article, Kellerer provides neither an example of peacock nor a concrete idea to construct an associated martingale to a given peacock. Hence, as other investigations on peacocks, our study has two purposes. We first exhibit new families of peacocks and then, we contruct associated martingales to certain of them. In the first three chapters, we exhibit several classes of peacocks using successively the notions of conditional monotonicity, very strong peacock and total positivity of order 2. In particular, we provide many extensions of Carr-Ewald-Xiao result which states that the arithmetic mean of geometric Brownian motion, also called "Asian option" is a peacock. The purpose of the last chapter is to construct associated martingales to certain peacocks. To this end, we use Azéma-Yor and Bertoin-Le Jan embedding algorithms. The originality of this chapter is the use of total positivity of order 2 in the study of Azéma-Yor embedding algorithm