Les étoiles de la branche asymptotique (AGBS) sont surtout connues pour deux faits historiques: - le "mystère des éléments s": riches en neutrons et possédant une durée de vie inférieure à celle des AGBS, ces éléments sont néanmoins présents dans les enveloppes de ces étoiles. De plus, les abondances de ces éléments "s" sont mal reproduites par les modèles existants. - le "mystère des étoiles carbonées": ces étoiles, dont les abondances vérifient C/O>1, sont majoritairement de faible luminosité. C'est un drainage (DUP) qui permet aux AGBS de devenir carbonées: l'enveloppe convective (CE) descend là où brûle 1H et prélève du Carbone, produit plus bas par la combustion de 4He et amené là par des languettes convectives récurrentes, les pulses thermiques. Or, les profondeurs des DUP modélisés pour des AGBS de faibles masses n'expliquent la forte proportion de Carbone observée. Ces deux mystères conduisent à identifier deux paramètres majeurs de l'évolution des abondances: la perte de masse et le DUP. Le premier contrôle la fin de la phase AGB et la température à la base de la CE, à masse stellaire fixée. Le deuxième maîtrise l'apport de protons entre les couches de 1H et de 4He et la modification des abondances de surface. Et c'est de la physique non standard qui est sous-jacente à ces paramètres: couplage gaz-poussière, pulsations, ondes de chocs, dégénérescence, convection avec gradient de composition, mélange non standard (non thermiquement induit)... Plusieurs études ayant été faites, tant sur les mécanismes de production que sur le paramétrage de la perte de masse, ce travail est centré sur l'influence du traitement du DUP sur la nucléosynthèse des AGBS de masses intermédiaires. La nucléosynthèse étant connue grâce à une coopération étroite entre méthodes observationnelles et théoriques, cette thèse a été menée sur les deux fronts. Cela rend possible "l'éclairage" de chacune des méthodes par les forces et les faiblesses de l'autre et donc de mieux évaluer la fiabilité d'une mesure réalisée sur Terre lorsqu'on veut l'interpréter en terme d'abondances au centre de l'étoile. La partie observationnelle de ce travail est focalisée sur l'amélioration de la précision de rapports isotopiques délicats à interpréter dans des enveloppes particulières: rapports d'éléments lourds de sources brillantes ou rapports des CNO dans des sources présentant des anomalies d'abondances. L'interprétation des observations a requis deux modélisations avancées dont l'une, faisant partie intégrante de cette thèse, porte sur l'émission de l'enveloppe, et l'autre, portant sur le processus "s", a fait l'objet d'une collaboration. Dans le domaine théorique, le code d'évolution stellaire de Grenoble a été optimisé pour les AGBS afin d'étudier l'influence de la modélisation physique et du traitement numérique du DUP sur la nucléosynthèse. Le cœur de la modélisation d'une étoile, l'équation d'état (EOS), a été réécrite et une grande partie du traitement numérique du code a été revue. La physique du mélange non standard a été incorporée et "l'arsenal" numérique nécessaire à la mise en œuvre de cette physique a fait l'objet d'une collaboration. Ce travail a permis la précision des caractéristiques d'enveloppes d'étoiles J (riches en 13C), la détermination de 35Cl / 37Cl dans IRC+10216 et la production d'outils de calcul performants pour les étoiles (même de faibles masses) et leurs enveloppes moléculaires. Mais il a surtout montré que l'incorporation de mélange non standard permet à la fois d'augmenter la profondeur du DUP et de produire une poche de 13C propice au processus "s". Ce fait, ajouté aux difficultés pour concilier les résultats d'observations des étoiles J avec les modèles, tend à réorienter le futur des modèles d'AGBS. Il faudrait disposer de modèle d'AGBS plus généraux, notamment pour les faibles masses, cohérents avec la physique et le numérique de la phase évolutive qui les précède, elle qui est naturellement modélisée avec du mélange non standard. En prime, les changements effectués dans le code et notamment l'élaboration d'une nouvelle EOS, ont permis de modéliser le flash de l'Helium et de produire des tracés d'étoiles pré séquence principale (PMS) jusqu'à 0.1 masse solaire concurrençant les codes les plus spécialisés.