L'objet de cette thèse est la méta-théorie du Calcul des Constructions Inductives (CCI), c'est à dire les Calcul des Constructions étendu par des types et des prédicats inductifs. Le Calcul des Constructions a été présenté en 1985 par Thierry Coquand. Il s'agit d'un lambda-calcul typé qui, à travers l'isomorphisme dit de Curry-Howard, peut-être vu comme un formalisme logique. Ce système qui étend à la fois la logique d'ordre superieur de Church et les systèmes de Martin-Löf est particulièrement expressif du point de vue algorithmique et peut facilement être mis en oeuvre sur ordinateur.<br />Dans le Calcul des Constructions originel, les types de données (entiers, listes, sommes, etc) sont représentés dans le lambda-calcul à travers un codage imprédicatif. Cette solution est élégante mais conduit à un certain nombre de difficultés pratiques et théoriques. Pour y remédier, Thierry Coquand et Christine Paulin-Mohring on proposé d'étendre le formalisme par un mécanisme génerique de définitions inductives. C'est cette extension, utilisée dans le système Coq, qui est étudiée dans cette thèse. Le résultat essentiel est que le système vérifie bien la proprieté de normalisation forte. On en déduit les proprietés de cohérence logique, de confluence et de décidabilité du typage.<br />L'aspect le plus spectaculaire de l'extension par des types inductifs est la possibilité de définir de nouveaux types et de nouvelles propositions par récurrence structurelle (élimination forte). Cette caractéristique, qui donne toute sa signification à la notion de types dépendants, augmente énormément le pouvoir de la règle de conversion, et par là, la difficulté de la preuve de normalisation. L'interprétation de l'élimination forte dans une preuve de normalisation par réductibilité est la nouveauté essentielle de ce travail.<br />De plus, nous considérons ici un système avec eta-conversion. Une conséquence est que la propriété de confluence n'est plus combinatoire et doit être prouvée après la normalisation, ce qui augmente à nouveau la difficulté de la preuve de celle-ci. A ce titre, nous présentons également quelques résultats nouveaux sur des systèmes non-normalisants qui montrent que pour des lambda-calculs typés, la propriété de confluence est logique et non combinatoire.

Nous étudions comment faciliter la réutilisation des <br />preuves formelles en théorie des types. Nous traitons cette question <br />lors de l'étude <br />de la correction du programme de calcul de la racine carrée de GMP. <br />A partir d'une description formelle, nous construisons <br />un programme impératif avec l'outil Correctness. Cette description <br />prend en compte tous les détails de l'implantation, y compris <br />l'arithmétique de pointeurs utilisée et la gestion de la mémoire. <br />Nous étudions aussi comment réutiliser des preuves formelles lorsque<br />l'on change la représentation concrète des données. <br />Nous proposons un outil qui permet d'abstraire <br />les propriétés calculatoires associées à un type inductif dans<br />les termes de preuve.<br />Nous proposons également des outils pour simuler ces propriétés<br />dans un type isomorphe. Nous pouvons ainsi passer, systématiquement,<br />d'une représentation des données à une autre dans un développement<br />formel.