Cette thèse introduit la notion de systèmes pédagogiques, qui sont des systèmes de d éducation naturelle contraints de la manière suivante : toutes les hypothèses posées dans une démonstration doivent être motivées par un exemple. Ces systèmes sont par essence sans négation. Nous étudions les systèmes propositionnels pédagogiques du premier ordre, du second ordre et plus généralement tous les systèmes d'ordre supérieur. Nous présentons, quand cela est possible, le lamda-calcul associé à chaque système via l'isomorphisme de Curry-Howard ; la contrainte pédagogique y fait apparaître une nouvelle propriété que nous appelons l'utilité: un lamda-terme typé est utile quand son contenu algorithmique peut être utilisé / The present thesis introduces the notion of pedagogical systems, which are natural deduction systems with the following additional constraint: all hypotheses made in a proof must be motivated by an example. These systems are in essence negationless. We study _rst order, second order and higher order pedagogical propositional systems. We present when it is possible the _-calculi associated to these systems; the pedagogical constraint introduces a new notion we call usefulness: a _-term is usefull when it's algorithmic content can be used.

L'objet de cette thèse est la méta-théorie du Calcul des Constructions Inductives (CCI), c'est à dire les Calcul des Constructions étendu par des types et des prédicats inductifs. Le Calcul des Constructions a été présenté en 1985 par Thierry Coquand. Il s'agit d'un lambda-calcul typé qui, à travers l'isomorphisme dit de Curry-Howard, peut-être vu comme un formalisme logique. Ce système qui étend à la fois la logique d'ordre superieur de Church et les systèmes de Martin-Löf est particulièrement expressif du point de vue algorithmique et peut facilement être mis en oeuvre sur ordinateur.<br />Dans le Calcul des Constructions originel, les types de données (entiers, listes, sommes, etc) sont représentés dans le lambda-calcul à travers un codage imprédicatif. Cette solution est élégante mais conduit à un certain nombre de difficultés pratiques et théoriques. Pour y remédier, Thierry Coquand et Christine Paulin-Mohring on proposé d'étendre le formalisme par un mécanisme génerique de définitions inductives. C'est cette extension, utilisée dans le système Coq, qui est étudiée dans cette thèse. Le résultat essentiel est que le système vérifie bien la proprieté de normalisation forte. On en déduit les proprietés de cohérence logique, de confluence et de décidabilité du typage.<br />L'aspect le plus spectaculaire de l'extension par des types inductifs est la possibilité de définir de nouveaux types et de nouvelles propositions par récurrence structurelle (élimination forte). Cette caractéristique, qui donne toute sa signification à la notion de types dépendants, augmente énormément le pouvoir de la règle de conversion, et par là, la difficulté de la preuve de normalisation. L'interprétation de l'élimination forte dans une preuve de normalisation par réductibilité est la nouveauté essentielle de ce travail.<br />De plus, nous considérons ici un système avec eta-conversion. Une conséquence est que la propriété de confluence n'est plus combinatoire et doit être prouvée après la normalisation, ce qui augmente à nouveau la difficulté de la preuve de celle-ci. A ce titre, nous présentons également quelques résultats nouveaux sur des systèmes non-normalisants qui montrent que pour des lambda-calculs typés, la propriété de confluence est logique et non combinatoire.

Nous nous intéressons ici à la génération de programmes certifiés<br />corrects par construction. Ces programmes sont obtenus en<br />extrayant l'information pertinente de preuves constructives réalisées<br />dans l'assistant de preuves Coq.<br /><br />Une telle traduction, ou "extraction", des preuves constructives<br />en programmes fonctionnels n'est pas nouvelle, elle correspond <br />à un isomorphisme bien connu sous le nom de Curry-Howard. Et<br />l'assistant Coq comporte depuis longtemps un tel outil d'extraction. <br />Mais l'outil précédent présentait d'importantes limitations. Certaines <br />preuves Coq étaient ainsi hors de son champ d'application, alors que <br />d'autres engendraient des programmes incorrects.<br /><br />Afin de résoudre ces limitations, nous avons effectué une refonte<br />complète de l'extraction dans Coq, tant du point de vue de la théorie<br />que de l'implantation. Au niveau théorique, cette refonte a entraîné<br />la réalisation de nouvelles preuves de correction de ce mécanisme<br />d'extraction, preuves à la fois complexes et originales. Concernant<br />l'implantation, nous nous sommes efforcés d'engendrer du code <br />extrait efficace et réaliste, pouvant en particulier être intégré dans des<br />développement logiciels de plus grande échelle, par le biais de<br />modules et d'interfaces.<br /><br />Enfin, nous présentons également plusieurs études de cas illustrant<br />les possibilités de notre nouvelle extraction. Nous décrivons ainsi la<br />certification d'une bibliothèque modulaire d'ensembles finis, et <br />l'obtention de programmes d'arithmétique réelle exacte à partir d'une <br />formalisation d'analyse réelle constructive. Même si des progrès <br />restent encore à obtenir, surtout dans ce dernier cas, ces exemples <br />mettent en évidence le chemin déjà parcouru.

Cette thèse porte sur l'adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d'un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques.

Cette thèse porte sur l’adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d’un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques. / This thesis focuses on the adaptation of realizability and parametricity to dependent types in the framework of Pure Type Systems. We describe a systematic method to build a logic from a programming language, both described as pure type systems. This logic provides formulas to express properties of programs and offers a formal framework that allows us to develop a theory of realizability in which realizers of formulas are exactly programs of the starting programming language. In our framework, the standard representation theorems of Gödel's system T and Girard's system F may be seen as two instances of a more general theorem. Then, we explain how the so-called « logical relations » of parametricity theory may be expressed in terms of realizability, which shows that the generated logic provides an adequate framework for developping a general theory of parametricity. Finally, we show how this parametricity theory can be adapted to the underlying type system of the proof assistant Coq and we give an original example of application of parametricity theory to the formalization of mathematics.