Nous nous intéressons au développement prouvé de composants formels pour un générateur de code pré-qualifié. Ce dernier produit un code séquentiel (C et Ada) pour des modèles d'entrée qui combinent les flots de données et de contrôle et qui présentent des possibilités d'exécution concurrente (Simulink/Stateflow et Scicos). Le développement prouvé permet de réduire le coût des tests et d'augmenter l'assurance des outils développés avec cette approche vis-à-vis de la qualification. Les phases de spécification, de développement et de vérification des outils développés sont effectuées avec l'assistant de preuve Coq. Ce dernier permet d'extraire le contenu calculatoire des composants en préservant les propriétés prouvées en Coq. Ce code extrait est ensuite intégré dans une chaîne complète de développement (chaîne de GeneAuto). Nous présentons un cadre formel, inspiré de l'analyse statique, qui s'appuie sur la sémantique abstraite et qui est instanciable sur plusieurs composants du générateur de code. Nous nous basons sur les ensembles partiellement ordonnés et sur le calcul de point fixe pour définir le cadre et effectuer les différentes analyses des composants du générateur de code. Ce cadre formel comporte toutes les preuves communes aux composants et indépendantes des analyses effectuées. Deux composants sont étudiés : l'ordonnanceur et le typeur des modèles d'entrée. / We are interested in the proved development of formal components for a pre-qualified code generator. This produces a sequential code (C and Ada) for input models that combine data and control flows, with potential concurrent execution (Simulink/Stateflow and Scicos). The proved development reduces test cost and increases insurance of components developed with this approach regarding the qualification. Phases of specification, development and verification of the developed components are done with the Coq proof assistant. This allows to extract the computational content of the components preserving the properties proved in Coq. The extracted code is then integrated into the complete development tool-chain (GeneAuto tool-chain). We present a formal framework, inspired from static analysis, based on the abstract semantics which is instantiable to several components of the code generator. We rely on partially ordered sets and fixed-point to define de formal framework and to perform the various analysis of components of the code generator. This formal framework includes all proofs common to the components and independent from the performed analyses. Two components are studied : the scheduler and the type checker of input models.

Les applications informatiques sont de plus en plus présentes dans nos vies. Pour les applications critiques (médecine, transport, . . .), les conséquences d’une erreur informatique ont un coût inacceptable, que ce soit sur le plan humain ou financier. Une des méthodes pour éviter la présence d’erreurs dans les programmes est la vérification déductive. Celle-ci s’applique à des programmes écrits dans des langages de haut-niveau transformés, par des compilateurs, en programmes écrits en langage machine. Les compilateurs doivent être corrects pour ne pas propager d’erreurs au langage machine. Depuis 2005, les processeurs multi-coeurs se sont répandus dans l’ensemble des systèmes informatiques. Ces architectures nécessitent des compilateurs et des preuves de correction adaptées. Notre contribution est l’extension modulaire d’un compilateur vérifié pour un langage parallèle ciblant des architectures parallèles multi-coeurs. Les spécifications des langages (et leurs sémantiques opérationnelles) présents aux divers niveaux du compilateur ainsi que les preuves de la correction du compilateur sont paramétrées par des modules spécifiant des éléments de parallélisme tels qu’un modèle mémoire faible et des notions de synchronisation et d’ordonnancement entre processus légers. Ce travail ouvre la voie à la conception d’un compilateur certifié pour des langages parallèles de haut-niveau tels que les langages à squelettes algorithmiques. / Nowadays, we are using an increasing number of computer applications. Errors in critical applications (medicine, transport, . . .) may carry serious health or financial issues. Avoiding errors in programs is a challenge and may be achieved by deductive verification. Deductive verification applies to program written in a high-level languages, which are transformed into machine language by compilers. These compilers must be correct to ensure the nonpropagation of errors to machine code. Since 2005, multicore processors have spread in all electronic devices. So, these architectures need adapted compilers and proofs of correctness. Our work is the modular extension of a verified compiler for parallel languages targeting multicore architectures. Specifications of these languages (and their operational semantics) needed at all levels of the compiler and proofs of correctness of this compiler are parameterized by modules specifying elements of parallelism such as a relaxed memory model and notions of synchronization and scheduling between threads. This work is the first step in the conception of a certified compiler for high-level parallel languages such as algorithmic skeletons.

Les systèmes informatiques critiques - tels que les commandes de vol électroniques et le contrôle des centrales nucléaires - doivent répondre à des exigences strictes en termes de sûreté de fonctionnement. Nous nous intéressons ici à l'application de méthodes formelles - ancrées sur de solides bases mathématiques - pour la vérification du comportement des logiciels critiques. Plus particulièrement, nous spécifions formellement nos algorithmes et nous les prouvons corrects, à l'aide de l'assistant à la preuve Coq - un logiciel qui vérifie mécaniquement la correction des preuves effectuées et qui apporte un degré de confiance très élevé. Nous appliquons ici des méthodes formelles à l'estimation du Temps d'Exécution au Pire Cas (plus connu par son abréviation en anglais, WCET) de programmes C. Le WCET est une propriété importante pour la sûreté de fonctionnement des systèmes critiques, mais son estimation exige des analyses sophistiquées. Pour garantir l'absence d'erreurs lors de ces analyses, nous avons formellement vérifié une méthode d'estimation du WCET fondée sur la combinaison de deux techniques principales: une estimation de bornes de boucles et une estimation du WCET via la méthode IPET (Implicit Path Enumeration Technique). L'estimation de bornes de boucles est elle-même décomposée en trois étapes : un découpage de programmes, une analyse de valeurs opérant par interprétation abstraite, et une méthode de calcul de bornes. Chacune de ces étapes est formellement vérifiée dans un chapitre qui lui est dédiée. Le développement a été intégré au compilateur C formellement vérifié CompCert. Nous prouvons que le résultat de l'estimation est correct et nous évaluons ses performances dans des ensembles de benchmarks de référence dans le domaine. Les contributions de cette thèse incluent la formalisation des techniques utilisées pour estimer le WCET, l'outil d'estimation lui-même (obtenu à partir de la formalisation), et l'évaluation expérimentale des résultats. Nous concluons que le développement fondé sur les méthodes formelles permet d'obtenir des résultats intéressants en termes de précision, mais il exige des précautions particulières pour s'assurer que l'effort de preuve reste maîtrisable. Le développement en parallèle des spécifications et des preuves est essentiel à cette fin. Les travaux futurs incluent la formalisation de modèles de coût matériel, ainsi que le développement d'analyses plus sophistiquées pour augmenter la précision du WCET estimé. / Safety-critical systems - such as electronic flight control systems and nuclear reactor controls - must satisfy strict safety requirements. We are interested here in the application of formal methods - built upon solid mathematical bases - to verify the behavior of safety-critical systems. More specifically, we formally specify our algorithms and then prove them correct using the Coq proof assistant - a program capable of mechanically checking the correctness of our proofs, providing a very high degree of confidence. In this thesis, we apply formal methods to obtain safe Worst-Case Execution Time (WCET) estimations for C programs. The WCET is an important property related to the safety of critical systems, but its estimation requires sophisticated techniques. To guarantee the absence of errors during WCET estimation, we have formally verified a WCET estimation technique based on the combination of two main methods: a loop bound estimation and the WCET estimation via the Implicit Path Enumeration Technique (IPET). The loop bound estimation itself is decomposed in three steps: a program slicing, a value analysis based on abstract interpretation, and a loop bound calculation stage. Each stage has a chapter dedicated to its formal verification. The entire development has been integrated into the formally verified C compiler CompCert. We prove that the final estimation is correct and we evaluate its performances on a set of reference benchmarks. The contributions of this thesis include (a) the formalization of the techniques used to estimate the WCET, (b) the estimation tool itself (obtained from the formalization), and (c) the experimental evaluation. We conclude that our formally verified development obtains interesting results in terms of precision, but it requires special precautions to ensure the proof effort remains manageable. The parallel development of specifications and proofs is essential to this end. Future works include the formalization of hardware cost models, as well as the development of more sophisticated analyses to improve the precision of the estimated WCET.

Cette thèse présente une coopération entre l'assistant de preuve Coq et certains prouveurs externes basée sur l'utilisation de traces de preuves. Nous étudions plus particulièrement deux types de prouveurs pouvant renvoyer des certicats : d'une part, les réponses des prouveurs SAT et SMT peuvent être vériées en Coq afin d'augmenter à la fois la confiance qu'on peut leur porter et l'automatisation de Coq ; d'autre part, les théorèmes établis dans des assistants de preuves basés sur la Logique d'Ordre Supérieur peuvent être exportés en Coq et re-vérifiés, ce qui permet d'établir des preuves formelles mêlant ces deux paradigmes logiques. Cette étude a abouti à deux logiciels : SMTCoq, une coopération bi-directionnelle entre Coq et des prouveurs SAT/SMT, et HOLLIGHTCOQ, un outil important les théorèmes de HOL Light en Coq. L'architecture de chacun de ces deux développements a été pensée de manière modulaire et efficace, en établissant une séparation claire entre trois composants: un encodage en Coq du formalisme de l'outil externe qui est ensuite traduit avec soin vers des termes Coq, un vérificateur certifié pour établir les preuves, et un pré-processeur écrit en Ocaml traduisant les traces venant de prouveurs différents dans le même format de certicat. Grâce à cette séparation, un changement dans le format de traces n'affecte que le pré-processeur, sans qu'il soit besoin de modier du code ou des preuves Coq. Un autre composant essentiel pour l'efficacité et la modularité est la réflexion calculatoire, qui utilise les capacités de calcul de Coq pour établir des preuves à la fois courtes et génériques à partir des certificats.

En ajoutant au lambda-calcul des structures de données algébriques, des types dépendants et un système de modules, on obtient un langage de programmation avec peu de primitives mais une très grande expressivité. L'assistant de preuve Coq s'appuie sur un tel langage (le CIC) à la sémantique particulièrement claire. L'utilisateur n'écrit pas directement de programme en CIC car cela est ardu et fastidieux. Coq propose un environnement de programmation qui facilite la tâche en permettant d'écrire des programmes incrémentalement grâce à des constructions de haut niveau plus concises. Typiquement, les types dépendants imposent des contraintes fortes sur les données. Une analyse de cas peut n'avoir à traiter qu'un sous-ensemble des constructeurs d'un type algébrique, les autres étant impossibles par typage. Le type attendu dans chacun des cas varie en fonction du constructeur considéré. L'impossibilité de cas et les transformations de type doivent être explicitement écrites dans les termes de Coq. Pourtant, ce traitement est mécanisable et cette thèse décrit un algorithme pour réaliser cette automatisation. Par ailleurs, il est nécessaire à l'interaction avec l'utilisateur de calculer des programmes du CIC sans faire exploser la taille syntaxique de la forme réduite. Cette thèse présente une machine abstraite conçu dans ce but. Enfin, les points fixes permettent une manipulation aisée des structure de données récursives. En contrepartie, il faut s'assurer que leur exécution termine systématiquement. Cette question sensible fait l'objet du dernier chapitre de cette thèse.

Cette thèse porte sur l'adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d'un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques.

Cette thèse présente des avancées dans l'utilisation des Structures Canoniques, un mécanisme du langage de programmation de l'assistant de preuve Coq, équivalent à la notion de classes de types. Elle fournit un nouveau modèle pour le développement de hiérarchies mathématiques à l'aide d'enregistrements dépendants, et, en guise d'illustration, fournit une reformulation de la preuve formelle de correction du cryptosystème RSA, offrant des méthodes de raisonnement algébrique ainsi que la représentation en théorie des types des notions mathématiques nécessaires (incluant les groupes cycliques, les groupes d'automorphisme, les isomorphismes de groupe). Nous produisons une extension du mécanisme d'inférence de Structures Canoniques à l'aide de types fantômes, et l'appliquons au traitement de fonctions partielles. Ensuite, nous considérons un traitement générique de plusieurs formes de définitions de sous-groupes rencontrées au long de la preuve du théorème de Feit-Thomspon, une large librairie d'algèbre formelle développée au sein de l'équipe Mathematical Components au laboratoire commun MSR-INRIA. Nous montrons qu'un traitement unifié de ces 16 sous-groupes nous permet de raccourcir la preuve de leur propriétés élémentaires, et d'obtenir des définitions offrant une meilleure compositionnalité. Nous formalisons une correspondance entre l'étude de ces fonctorielles, et des propriété de théorie des groupes usuelles, telles que représentées par la classe des groupes qui les vérifie. Nous concluons en explorant les possibilités d'analyse de la fonctorialité de ces définitions par l'inspection de leur type, et suggérons une voie d'approche vers l'obtention d'instances d'un résultat de paramétricité en Coq.

S'assurer qu'un programme informatique se comporte bien, surtout dans des applications critiques (santé, transport, énergie, communications, etc.) est de plus en plus important car les ordinateurs et programmes informatiques sont de plus en plus omniprésents, voir essentiel au bon fonctionnement de la société. Mais comment vérifier qu'un programme se comporte comme prévu, quand les informations qu'il prend en entrée sont de très grande taille, voire de taille non bornée a priori ? Pour exprimer avec exactitude ce qu'est le comportement d'un programme, il est d'abord nécessaire d'utiliser un langage logique formel. Cependant, comme l'a montré Gödel dans, dans tout système formel suffisamment riche pour faire de l'arithmétique, il y a des formules valides qui ne peuvent pas être prouvées. Donc il n'y a pas de programme qui puisse décider si toute propriété est vraie ou fausse. Cependant, il est possible d'écrire un programme qui puisse vérifier la correction d'une preuve. Ce travail utilisera justement un tel programme, Coq, pour formellement vérifier la correction d'un certain programme. Dans cette thèse, nous expliquons le développement d'une nouvelle version de Rainbow, plus rapide et plus sûre, basée sur le mécanisme d'extraction de Coq. La version précédente de Rainbow vérifiait un certificat en deux étapes. Premièrement, elle utilisait un programme OCaml non certifié pour traduire un fichier CPF en un script Coq, en utilisant la bibliothèque Coq sur la théorie de la réécriture et la terminaison appelée CoLoR. Deuxièmement, elle appelait Coq pour vérifier la correction du script ainsi généré. Cette approche est intéressante car elle fournit un moyen de réutiliser dans Coq des preuves de terminaison générée par des outils extérieurs à Coq. C'est également l'approche suivie par CiME3. Mais cette approche a aussi plusieurs désavantages. Premièrement, comme dans Coq les fonctions sont interprétées, les calculs sont beaucoup plus lents qu'avec un langage où les programmes sont compilés vers du code binaire exécutable. Deuxièmement, la traduction de CPF dans Coq peut être erronée et conduire au rejet de certificats valides ou à l'acceptation de certificats invalides. Pour résoudre ce deuxième problème, il est nécessaire de définir et prouver formellement la correction de la fonction vérifiant si un certificat est valide ou non. Et pour résoudre le premier problème, il est nécessaire de compiler cette fonction vers du code binaire exécutable. Cette thèse montre comment résoudre ces deux problèmes en utilisant l'assistant à la preuve Coq et son mécanisme d'extraction vers le langage de programmation OCaml. En effet, les structures de données et fonctions définies dans Coq peuvent être traduits dans OCaml et compilées en code binaire exécutable par le compilateur OCaml. Une approche similaire est suivie par CeTA en utilisant l'assistant à la preuve Isabelle et le langage Haskell. / Making sure that a computer program behaves as expected, especially in critical applications (health, transport, energy, communications, etc.), is more and more important, all the more so since computer programs become more and more ubiquitous and essential to the functioning of modern societies. But how to check that a program behaves as expected, in particular when the range of its inputs is very large or potentially infinite? In this work, we explain the development of a new, faster and formally proved version of Rainbow based on the extraction mechanism of Coq. The previous version of Rainbow verified a CPF le in two steps. First, it used a non-certified OCaml program to translate a CPF file into a Coq script, using the Coq libraries on rewriting theory and termination CoLoR and Coccinelle. Second, it called Coq to check the correctness of the script. This approach is interesting for it provides a way to reuse in Coq termination proofs generated by external tools. This is also the approach followed by CiME3. However, it suffers from a number of deficiencies. First, because in Coq functions are interpreted, computation is much slower than with programs written in a standard programming language and compiled into binary code. Second, because the translation from CPF to Coq is not certified, it may contain errors and either lead to the rejection of valid certificates, or to the acceptance of wrong certificates. To solve the latter problem, one needs to define and formally prove the correctness of a function checking whether a certificate is valid or not. To solve the former problem, one needs to compile this function to binary code. The present work shows how to solve these two problems by using the proof assistant Coq and its extraction mechanism to the programming language OCaml. Indeed, data structures and functions de fined in Coq can be translated to OCaml and then compiled to binary code by using the OCaml compiler. A similar approach was first initiated in CeTA using the Isabelle proof assistant.

Cette thèse présente une formalisation en Coq des langages et des algorithmes fondamentaux portant sur les bases de données. Ainsi, ce fourni des spécifications formelles issues des deux approches différentes pour la définition des modèles de données: une basée sur l’algèbre et l'autre basée sur la logique.A ce titre, une première contribution de cette thèse est le développement d'une bibliothèque Coq pour le modèle relationnel. Cette bibliothèque contient les modélisations de l’algèbre relationnelle et des requêtes conjonctives. Il contient aussi une mécanisation des contraintes d'intégrité et de leurs procédures d'inférence. Nous modélisons deux types de contraintes: les dépendances, qui sont parmi les plus courantes: les dépendances fonctionnelles et les dépendances multivaluées, ainsi que leurs axiomatisations correspondantes. Nous prouvons formellement la correction de leurs algorithmes d'inférence et, pour le cas de dépendances fonctionnelles, aussi la complétude.Ces types de dépendances sont des instances de contraintes plus générales : les dépendances génératrices d'égalité (equality generating dependencies, EGD) et, respectivement, les dépendances génératrices de tuples (tuple generating dependencies, TGD), qui appartiennent a une classe encore plus large des dépendances générales (general dependencies). Nous modélisons ces dernières et leur procédure d'inférence, i.e, "the chase", pour lequel nous établissons la correction. Enfin, on prouve formellement les théorèmes principaux des bases de données, c'est-à-dire, les équivalences algébriques, la théorème de l' homomorphisme et la minimisation des requêtes conjonctives.Une deuxième contribution consiste dans le développement d'une bibliothèque Coq/ssreflect pour la programmation logique, restreinte au cas du Datalog. Dans le cadre de ce travail, nous donnons la première mécanisations d'un moteur Datalog standard et de son extension avec la négation. La bibliothèque comprend une formalisation de leur sémantique en theorie des modelés ainsi que de leur sémantique par point fixe, implémentée par une procédure d'évaluation stratifiée. La bibliothèque est complétée par les preuves de correction, de terminaison et de complétude correspondantes. Cette plateforme ouvre la voie a la certification d' applications centrées données. / This thesis presents a formalization of fundamental database theories and algorithms. This furthers the maturing state of the art in formal specification development in the database field, with contributions stemming from two foundational approches to database models: relational and logic based.As such, a first contribution is a Coq library for the relational model. This contains a mechanization of integrity constraints and of their inference procedures. We model two of the most common dependencies, namely functional and multivalued, together with their corresponding axiomatizations. We prove soundness of their inference algorithms and, for the case of functional ones, also completeness. These types of dependencies are instances of equality and, respectively, tuple generating dependencies, which fall under the yet wider class of general dependencies. We model these and their inference procedure,i.e, the chase, for which we establish soundness.A second contribution consists of a Coq/Ssreflect library for logic programming in the Datalog setting. As part of this work, we give (one of the) first mechanizations of the standard Datalog language and of its extension with negation. The library includes a formalization of their model theoretical semantics and of their fixpoint semantics, implemented through bottom-up and, respectively, through stratified evaluation procedures. This is complete with the corresponding soundness, termination and completeness proofs. In this context, we also construct a preliminary framework for dealing with stratified programs. This work paves the way towards the certification of data-centric applications.

La confiance formelle en une propriété abstraite provient de l'existence d'une preuve de sa correction, qu'il s'agisse d'un théorème mathématique ou d'une qualité du comportement d'un logiciel ou processeur. Il existe de nombreuses définitions différentes de ce qu'est une preuve, selon par exemple qu'elle est écrite soit par des humains soit par des machines, mais ces définitions sont toutes concernées par le problème d'établir qu'un document représente en fait une preuve correcte. Le cadre des Certificats de Preuve Fondamentaux (Foundational Proof Certificates, FPC) est une approche proposée récemment pour étudier ce problème, fondée sur des progrès de la théorie de la démonstration pour définir la sémantique des formats de preuve. Les preuves ainsi définies peuvent être vérifiées indépendamment par un noyau vérificateur de confiance codé dans un langage de programmation logique. Cette thèse étend des résultats initiaux sur la certification de preuves du premier ordre en explorant plusieurs dimensions logiques essentielles, organisées en combinaisons correspondant à leur usage en pratique: d'abord, la logique classique sans points fixes, dont les preuves sont générées par des démonstrateurs automatiques de théorème; ensuite, la logique intuitionniste avec points fixes et égalité,dont les preuves sont générées par des assistants de preuve. Les certificats de preuve ne se limitent pas comme précédemment à servir de représentation des preuves complètes pour les vérifier indépendamment. Leur rôle s'étend pour englober des transformations de preuve qui peuvent enrichir ou compacter leur représentation. Ces transformations peuvent rendre des certificats plus simples opérationnellement, ce qui motive la construction d'une suite de vérificateurs de preuve de plus en plus fiables et performants. Une autre nouvelle fonction des certificats de preuve est l'écriture d'aperçus de preuve de haut niveau, qui expriment des schémas de preuve tels qu'ils sont employés dans la pratique des mathématiciens, ou dans des techniques automatiques comme le property-based testing. Ces développements s'appliquent à la certification intégrale de résultats générés par deux familles majeures de démonstrateurs automatiques de théorème, utilisant techniques de résolution et satisfaisabilité, ainsi qu'à la création de langages programmables de description de preuve pour un assistant de preuve. / Formal trust in an abstract property, be it a mathematical result or a quality of the behavior of a computer program or a piece of hardware, is founded on the existence of a proof of its correctness. Many different kinds of proofs are written by mathematicians or generated by theorem provers, with the common problem of ascertaining whether those claimed proofs are themselves correct. The recently proposed Foundational Proof Certificate (FPC) framework harnesses advances in proof theory to define the semantics of proof formats, which can be verified by an independent and trusted proof checking kernel written in a logic programming language. This thesis extends initial results in certification of first-order proofs in several directions. It covers various essential logical axes grouped in meaningful combinations as they occur in practice: first,classical logic without fixed points and proofs generated by automated theorem provers; later, intuitionistic logic with fixed points and equality as logical connectives and proofs generated by proof assistants. The role of proof certificates is no longer limited to representing complete proofs to enable independent checking, but is extended to model proof transformations where details can be added to or subtracted from a certificate. These transformations yield operationally simpler certificates, around which increasingly trustworthy and performant proof checkers are constructed. Another new role of proof certificates is writing high-level proof outlines, which can be used to represent standard proof patterns as written by mathematicians, as well as automated techniques like property-based testing. We apply these developments to fully certify results produced by two families of standard automated theorem provers: resolution- and satisfiability-based. Another application is the design of programmable proof description languages for a proof assistant.