Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :<br /><br />1. Cycles algébriques sur les surfaces.<br />2. Topologie des variétés algébriques réelles.<br />3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.<br /><br />1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.<br /><br />2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :<br />Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.<br />Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.<br /><br />3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).<br />Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.<br />De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.

Cette thèse d'habilitation contient un traitement systématique des algorithmes d'élimination pour décomposer des systèmes arbitraires de polynômes à plusieurs variables en systèmes triangulaires de différentes sortes (réguliers, simples, irréductibles, ou munis de propriétés de projection), en fournissant les décompositions des ensembles des zéros associés. Beaucoup de ces algorithmes et les théories sous-jacentes sont proposés et développés par l'auteur sur la base des travaux de J.F. Ritt, W.-t. Wu, A. Seidenberg et J.M. Thomas. Certains algorithmes pertinents comme ceux fondés sur les résultants ou les bases de Groebner sont passés en revue. Des applications de ces méthodes d'élimination sont présentées, concernant des aspects algorithmiques en géométrie algébrique, la théorie des idéaux de polynômes, la résolution des systèmes algébriques, la démonstration automatique en géométrie, etc.