Le théorème de l'indice d'Atiyah et Singer, démontré en 1963, est un résultat qui a permis de relier des thématiques mathématiques variées, allant des équations aux dérivées partielles a la topologie et la géométrie différentielle. Plus précisément, il fait le lien entre la dimension de l'espace des solutions d'une équation aux dérivées partielles elliptique et des invariants topologiques du type (co)homologie, et a des applications importantes, regroupant plusieurs théorèmes majeurs venant de divers domaines (géométrie algébrique, topologie différentielle, analyse fonctionnelle). D'un autre cote, les fonctions zêta associées à des opérateurs pseudo différentiels sur une variété riemannienne close contiennent dans leurs propriétés analytiques des informations intéressantes. On peut par exemple retrouver dans les résidus le théorème de Weyl sur l asymptotique du nombre de valeurs propres d'un laplacien, et en particulier le volume de la variété. En se plaçant dans le cadre de la géométrie différentielle non commutative développée par Connes, on peut pousser cette idée plus loin. Plus précisément, on peut obtenir, en combinant des techniques de renormalisation zêta avec la propriété d'excision en cohomologie cyclique, des théorèmes d'indice dans l'esprit de celui d'Atiyah-Singer. L'intérêt de ce point de vue réside dans sa généralisation possible à des situations géométriques plus délicates. La présente thèse établit des résultats dans cette direction / The index theorem of Atiyah and Singer, discovered in 1963, is a striking result which relates many different fields in mathematics going from the analysis of partial differential equations to differential topology and geometry. To be more precise, this theorem relates the dimension of the space of some elliptic partial differential equations and topological invariants coming from (co)homology theories, and has important applications. Many major results from different fields (algebraic topology, differential topology, functional analysis) may be seen as corollaries of this result, or obtained from techniques developed in the framework of index theory. On another side, zeta functions associated to pseudodifferential operators on a closed Riemannian manifold contain in their analytic properties many interesting informations. For instance, the Weyl theorem on the asymptotic number of eigenvalues of a Laplacian may be recovered within the residues of the zeta function. This gives in particular the volume of the manifold, which is a geometric data. Using the framework of noncommutative geometry developed by Connes, this idea may be pushed further, yielding index theorems in the spirit of the one of Atiyah Singer. The interest in this viewpoint is to be suitable for more delicate geometrical situations. The present thesis establishes results in this direction

Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressé à un jeu minimax différentiel et multi-étages à horizon fini (échéance), motivé par un problème d'évaluation d'options européennes. Le jeu différentiel est en dimension 3 plus temps. Il comporte une commande à la fois continue et impulsionnelle et une commande bornée, ainsi qu'un coût terminal discontinu dans le cas d'une option "digitale" dont l'étude constitue le coeur de la thèse. Ce jeu résulte d'une approche par commande robuste sur l'ensemble des trajectoires de prix permises par l'hypothèse du modèle de marché à intervalles pour le cours de l'actif sur lequel est assise l'option. Du point de vue des techniques financières, notre but est de développer en parallèle une théorie d'évaluation d'options en temps continu et en temps discret, en présence de coûts de transaction et à modèle de marché invariant. Nous obtenons la prime et la stratégie de transaction conseillées au cours du jeu. Notre théorie se veut donc une théorie normative (d'aide à la décision). Pour chaque jeu différentiel, nous utilisons une analyse géométrique des trajectoires extrémales et singulières du jeu qualitatif impulsionnel à cible unique à l'échéance, avec des outils géométriques de la théorie d'Isaacs-Breakwell. Cette analyse nous permet de résoudre complètement le problème. La solution obtenue s'avère riche en variétés singulières de codimension 2, à savoir qu'elle exhibe une dispersion, des variétés équivoques et une variété focale. Cette étude géométrique aboutit à une formule de représentation de la fonction Valeur. faisant intervenir la solution d'un système de deux EDP linéaires couplées du premier ordre. Nous complétons cette étude par une vérification analytique, plus classique, qui consiste à montrer que la fonction construite par la formule de représentation est solution de viscosité de l'équation d'Isaacs associée à un jeu différentiel standard sans commande impulsionnelle ayant la même valeur que le jeu initial. Pour chaque jeu multi-étages, la résolution se fait par le biais d'un algorithme de programmation dynamique classique. Cet algorithme aboutit à une formule de représentation de la Valeur, dont la forme est assez similaire à celle de la solution du jeu différentiel. Il en découle un algorithme rapide applicable en pratique. Nous montrons également la convergence monotone décroissante de la solution du jeu multi-étages vers celle du jeu différentiel lorsque le pas de temps tend vers 0, aussi bien pour une option "vanille" que "digitale", sans changer de modèle d'actif au fur et à mesure que l'on réduit le pas de temps. En conséquent, l'algorithme rapide en temps discret fournit une bonne approximation de la solution (prime et stratégie) en temps continu. Nous terminons ce manuscrit par une analyse critique de la solution du point du vue financier avec en particulier une étude de la robustesse du modèle de marché et une comparaison avec la théorie de F.Black et M.Scholes. Nous insistons sur le fait qu'en aucun cas nous n'avons la prétention de proclamer une quelconque supériorité de notre théorie sur celle de F.Black et M.Scholes. Nous souhaitons seulement montrer qu'elle peut être une alternative en temps discret et/ou en présence de coûts de transaction significatifs, au détriment de la complétude du modèle de marché.